Lankide:Ezuloaga/Proba orria

Pi (Zenbakia)

Pi hizki grekoa. William Jonesek planteatutako ikurra 1706an eta Leonhard Eulerrek gizarteratua ondoren.

π zenbakia (pi ahoskatua) konstante matematiko bat da; geometria euklidearrean, zirkulu baten zirkunferentziaren eta haren diametroaren arteko luzera-arrazoia adierazten du (geometria ez-euklidearrean aldakorra da). Zenbaki irrazionala da, eta fisikan, ingeniaritzan eta matematiketan maiz erabiltzen da. Haren zenbakizko balioa, lehenengo zifrak mozten baditugu, gutxi gorabehera 3,14159 da.

Historian zehar πren balioa askotan ikertu egin da, eta ikerketa horiei esker πren hurbilketa egokia lortu da. Gaur egun, zientzian gehien erabiltzen diren bi konstante matematikoak π eta e zenbakiak dira. Zenbaki irrazional bat denez, pi ezin da zatiki gisa adierazi, haren errepresentazio hamartarra ez da inoiz amaitzen, eta ez du errepikatzen den patroirik; hala ere, 22/7 eta gisako zatikiak eta beste zenbaki arrazional batzuk erabili izan dira π zenbakiaren hurbilpen gisa. Dirudienez, zenbaki dezimalak ausaz daude banatuak, uste da π zenbakiaren digituen sekuentziak ausazko banaketa estatistiko mota bat dela, baina gaur egun ez da horren inguruko froga zehatzik lortu. π zenbaki transzendental bat da; hau da, 'axn + bxn -1 + ... + px + q = 0' ekuazio polinomikoen soluzio ez den zenbaki erreala (non a, b, ..., p, q zenbaki osoak diren eta n>2 betetzen den). Transzendentzia horrek esan nahi du erregela eta konpasa erabilita ezinezkoa dela zirkuluaren koadratura (antzinarotik hedatu dena) ebaztea.

Pi izena

π hizki grekoa περιφέρεια eta περίμετροv grekozko hitzen inizialetik dator (hurrenez hurren, zirkuluaren periferia eta perimetroa). Notazio hori William Oughtred-ek (1574-1660) erabili zuen estreinakoz; William Jones (1675-1749) galestar matematikariak haren erabilpena proposatu zuen, baina Leonhard Euler matematikariak ezagutarazi zuen 1748. urtean, Kalkulu Infinitesimalaren Hastapenak liburuan. Lehenago, Ludolph-en konstante (Ludolph Van Ceulen matematikariaren omenez) edo Arkimedesen konstante (ez nahastu Arkimedes-en zenbakiarekin) izenez ezagutzen zen, baina, azkenean, Jones-ek eta Euler-ek Pi iriztea lortu zuten.

π balioa eta bere kalkuluaren historia

Historian zehar zientzialari asko saiatu dira π-ren zifra hamartar gehienak bilatzen. Hauek dira hurbilketa historiko batzuk:

Antzinako Egipto

π-ren gutxi gorabeherako balioa antzinako kulturetan K.a. 1800. urtean Ahmes egiptoar eskribarekin hasten da lantzen Rhind papiro idatzizko dokumentuan deskribatzen denez. Papiroan Pi-ren balio hurbildua erabiltzen da, eta horrez gain, adierazten da zirkulu baten azalera lauki baten azaleraren antzekoa dela, baina lauki hori dituen aldeen balioa zirkuluaren $8/9$diametroko parekoa izan behar da. Gaur egungo notazioan:

$S=\Pi r^{2}\simeq (\left({\frac {8}{9}}\right)d)^{2}={\frac {64}{81}}d^{2}={\frac {64}{81}}(4r^{2})$

$\Pi \simeq {\frac {256}{81}}=3.16049$

Antzinako egiptoarren kulturan izkribu asko egin ziren; garai honetan aurkitutakoen artean zortzi dira dokumentu matematikoak, eta bakarrik bi dokumentuetan zirkuluei buruz hitz egiten da: Rhind papiroan eta Mosku-ren papiroa. Hala ere, bakarrik lehenengoan mintzatzen da π-ren gutxi gorabeherako balioari buruz. Otto Neugebauer ikertzailea, The Exact Sciences in Antiquity liburuko eranskin batean, π-ren balioa zein den aztertzeko metodo bat deskribatu zuen, 8 aldeko lauki baten azala eta 9 diametroko zirkulu baten arteko hurbilketaren bitartez. Metodo hau Ahmesen papiroko problemetatik ondorioztatu zuen.

Mesopotamia

1900-1600 K.a bitartean, zenbait mesopotamiar matematikariak zuzenkien kalkuluan lan egiten zuten, eta horietan Pi-ren balioa 3 izango balitz bezala erabiltzen zuten; batzuetan beste hurbilketa-bailoetaraino heltzen, esaterako:

$\Pi \simeq 3+{\frac {1}{8}}=3.125$

Erreferentzia Biblikoak

Zehar esaneko erreferentzia zaharretako bat π-ren hurbilketa balioari buruz Bibliako aipu batean aurkitzen da:

Ondoren, Hiramek brontzea urtu eta <<Itsaso>>* deitu zuen uraska biribil bat egin zuen; ertz batetik bestera bost metroko diametroa zuen, bi metro eta erdiko sakona eta hamabost metroko ingurua. Ertzaren azpialdean, inguru guztian, fruitu‑irudiak zituen, hogei fruitu metro bakoitzeko, bi lerrotan jarriak, uraska egin zeneko urtzealdi berean

eginak.

Antzeko aipamen bat dago II Kroniken liburuan. Bertan eskakizun zerrenda bat dago Jerusalemgo tenplua eraikitzeko.:

Brontzezko aldarea ere eginarazi zuen Salomonek; hamar metro zen luze‑zabal eta bost metro gora. Ondoren, brontzea urtu eta <<Itsaso>> deitu zuen uraska biribila eginarazi zuen; bost metroko diametroa zuen, bi metro eta erdiko sakona eta hamabost metroko ingurua.

Bi aipamenetan Pi-ren balioa 3 da, Antzinako Egiptoko eta Mesopotamiar estimazioen atzerapen handia zekarrena. Hori buruz, apologetiko kristauek adierazten dute zehaztasun-falta hori biribiltzearen ondorioa dela.

Antzinate Klasikoa

Arkimedes, greziar matematikaria, π-ren balioa tarte bornatu batean zehazteko gai izan zen; $[3+[{\frac {10}{71}}],3+[{\frac {1}{7}}]]$tartean hain zuzen ere. Hurbilketa hau, Arkimedesen hurbilketa gisa ezagutzen da, eta horrekin eskuratzen dugun balioa, % 0.024 eta % 0.040 arteko errorea izan dezake benetako balio errealarekin konparatuz. Arkimedesen metodoa ez zen oso zaila, haren oinarria zen: zirkunferentzia batzuetan n-aldeko poligono erregularrak zirkunskribatu eta inskribatu, eta poligono hauen perimetroa kalkulatu. Arkimedesek hexagonoarekin hasi zen, eta denborarekin aurrera egin zuen aldeen zenbakia bikoizten; 96 aldeko poligonoa lortu arte.

20 K.a aldean, Vitruvio erromatar arkitekto eta ingeniaria, π-ren balioa ${\frac {25}{8}}$zatikizko zenbaki gisa kalkulatu zuen; ezaguna zuen diametro zehatz bateko gurpila, biraketa batean zenbat distantzia korritzen zuen neurtuz.

II. mendean, Klaudio Ptolomeo zatikizko balio hurbildu bat ematen du:

$\Pi \approx {\frac {377}{120}}=3.1416$

π («pi») koefizientea zenbaki-sistema hogeitarrean

π zenbakia eta zirkunferentzia baten diametroa biderkatzen badugu, emaitza zirkunferentziaren luzera izango da. Hots, zirkunferentzia baten diametroa hirukoizten badugu ez da izango zirkunferentziaren luzera, baina gertu geratuko da. Egia esanda, zenbaki-sistema hamartarreko hiru bateko eta zatiki gisa ari gara adierazten.

Zenbaki-sistema hamartarra:

π = 3,14159...

Zenbaki-sistema hogeitarra:

π = 03,02.16.08.18.04...

Bere dedukzioaren azalpena:

1. Urratsa

Hamartar zatikia	Biderkatzaile	Hogeitar zatikia
0,1 (hamarren)	X 2	00,02 (hogeiren)
0,01 (ehunen)	X 4	00,00.04
0,001 (milaren)	X 8	00,00.00.08
0,0001	X 16	00,00.00.00.16
0,00001	X 32	00,00.00.01.02
...	...	...

Hurrengo urratsan hartu behar dugu kontuan bururakoak.

2. Urratsa

3,	1	4	1	5	9	...
03,	02	16	08	04	04	...
				14		...
03,	02	16	08	18	04	...

Txinerazko Matematika

Pi-ren kalkuloa kultura guztien matematiko adituak erakarri zituen. 120. urtean, π-ren balioa hurbiltzeko ${\sqrt {10}}$ erabiltzen hasi zen zientzialari adituen artean, lehenetariko bat Zhang Heng (78-139) txinatar astronomoa izan zen, honek kubo baten bolumena eta haren esfera inskribatuaren arteko arrazoia ondorioztatu zuen. Mende bat geroago, Wang Fang astronomoa 142/45 (3.155555) balioan balioztatu zuen, baina ez da ezagutzen erabili zuen metodoa. Urte gutxi batzuk geroago, 263. urtearen inguruan, Liu Hui izan zen lehen pertsona iradoki zuena 3.14 balio-hurbilketa egokia zela, horretarako 96 edo 192 aldeko poligono bat erabili zuen. Ondoren, π 314159 bezala estimatu zuen 3072 aldeko poligonoa erabiliz gero.

V. mendearen bukaeran, Zu Chongzhi txinatar matematikaria eta astronomoa π-ren balio berri bat emateko, zenbakia bi zatitan bereizi zituen: 3.1415926 (gutxiagozko balioa) eta 3.1415927 (gehiagozko balioa). Horrez gain, π-ren beste bi hurbilketa arrazionalak eman zituen 22/7 eta 355/113; biak ezagunak, eta gainera bietariko azkena hain hurbilketa ona izan zenez XV. mendera arte iraun zuen, bere balioa aldatu gabe.

Indiar Matematika

V. mendearen bukaeran, Aryabhata indiar matematikaria Pi-ren balioa 3,1416 gisa estimatu zuen, 384 aldeko poligono erregular inskribatu bat erabiliz. VII. mendearen erdialdean Brahmagupta Aryabhata-ren estimazioa ezeztatu zuen, eta gainera adierazi zuen balio hurbildu egokia ${\sqrt {10}}$zela, baina kalkulu hori bere aurrekoa egin zuenarekin konparatuz doitasun gutxiago du. 1400an Madhava, indiar matematikari garrantzitsuenetako bat, 11 digituko hurbilketa zehatza lortu zuen $3.14159265359$, emaitza hori lortzeko serieak erabili zituen; π-ren estimazioa kalkulatzeko seriak erabili zituen lehenengo matematikaria izanez.

Matematika islamikoa

IX. mendean, Al-Jwarizmi persia-islamiar matematikari geografoa eta astronomoa, bere Aljebra (Hisab al yabr ua al muqabala) erreferentziako lanan adierazten du π balioaren erabilera aldatzen dela gizonen artean: gizon praktikoa $\pi ={\frac {22}{7}}$gisa, geometra $\pi =3$ erabiltzen du eta astronomoa $\pi =3,1416$. XV. mendean, Ghiyath al-Kashi persiar matematikaria, 9 digituko Pi-ren balio hurbildua kalkulatzeko gai izan zen, hori lortzeko hirurogeitar zenbaki oinarria erabili zuen, hau da, 16 digitu hamartarren hurbilketa:

$2\pi =6.2831853071795865$

Europar pizkundea

XII. mendetik aurrera, arabiar zifren erabilerarekin kalkuloan, π-ren balio hobeak eskuratzeko posibilitateak asko erraztu ziren. Fibonacci (1170-1250) matematikaria, haren Practica Geometriae erreferentzia lanan Arquimedesen metodoa anplifikatzen du, tarte estuago bat emanez. XVII. mendearen zenbait matematikari,adibidez Viète, π-ren hurbilketa egokia lortzeko, 3.141592653 hain zuzen ere, 393 216 aldeko poligonoak erabili zuten. 1593an Adrian van Roomen (Adrianus Romanus) flandriera Arkimedesen metodoa erabiltzen 16 digituko hurbilketa zehatza lortu zuen.

Garai modernoa (konputazioa baino lehen)

1610ean Ludolph van Ceulen matematikariak pi-ren lehenengo 35 hamartar kalkulatu zituen. Badirudi esan zuen bere hilarrian zenbakia grabatzea oso harro zegoelako. Urte askoan Luldolph-en zenbakia deitzen zuten alemaniar matematikazko liburuek. 1665ean Isaac Newton hurrengo seriezko garapena egin zuen:

$\arcsin {x}=x+{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\cdot {\frac {x^{5}}{5}}+{\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\cdot {\frac {x^{7}}{7}}+\ldots$

$x={\frac {1}{2}}$balioa sartzen, lortu zuen:

$\arcsin \left({\frac {1}{2}}\right)={\frac {\pi }{6}}$

1655ean, John Wallis matematikari ingelesak Wallisen Biderkadura garatu zuen:

${\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\cdot \dots ={\frac {\pi }{2}}$

1699an, Abraham Sharp (1651-1742) matematikari ingelesak pi zenbakia kalkulatu zuen 71 zenbaki zehaztasunarekin Gregory seriea erabiltzen:

$\arctan(x)=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-\ldots$

$x={\frac {1}{\sqrt {3}}}$ egiten lortzen da:

$\arctan \left({\frac {1}{\sqrt {3}}}\right)={\frac {\pi }{6}}$

Zehaztasun hori lortzeko seriezko hirurehun gai inguruan erabili behar izan zen. 1720an frantziarra Thomas de Lagny metodo berdina erabili zuen 127 zenbaki hurbilketa egiteko, baina bakarrik 112 ziren egokiak.

1682an, Leibniz kalkulatu zuen, zailago era batean, bere izena daraman seriea:

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-\dots ={\frac {\pi }{4}}$

Ingeles William Oughtred zirkunferentzia baten luzeraren eta beren diametroren arteko zatidurako ikurra adierazteko greko hizki π erabili zuen. 1706, William Jones esan zuen: «3.14159 = π», eta π ikurra beti erabiltzea proposatu zuen. Baina π ikurra ezagutarazi zuena Leonhard Euler zen, 1737an.

1722an, Takebe matematikari japoniarra Arkimedesek adierazi zuen metodoarekin pi kalkulatzea hasi zen, poligonoren alde kopurua handitzen, 1024 alde eduki arte. Lana hauekin 41 hamartar lortu ziren.

1789an Jurij Vegak, John Machin formularekin, 1706an aurkituta, 140 hamartar lortu zituen. Haien artean, lehenengo 126 egokiak ziren errekorra lortzen. Errekorra 52 urte iraundu zen, baina 1841an, William Rutherford 208 hamartar aurkitu zuen, 152 egokiak.

William Shanks matematikaria 20 urtean zehar landu zuen, 707 hamartar lortzen 1873an. 1944an D. F. Ferguson 528aren hamartarran errore bat aurkitu zuen, eta honen aurrean, guztiok gaizki zeunden Shank seriean.

1948an Ferguson elektroniko kalkulagailu batekin 808 hamartar lortu zituen

Hurrengo taulan agertzen dira pi-ren zenbait hurbilketak:

Urtea	Matematikaria edo dokumentua	Kultura	Hurbilketa	Errorea (ppm)
~1900 K.a.	Ahmesen Papiroa	Egiptoar	28/34 ~ 3.1605	6016 ppm
~1600 a. C.	Susaren Taula	Babiloniako	25/8 = 3.125	5282 ppm
~600 a. C.	Biblia (Erregueak I, 7:23)	Judu	3	45Txantiloi:Esd070 ppm
~500 a. C.	Bandhayana	Indiar	3.09	16Txantiloi:Esd422 ppm
~250 a. C.	Arkimedes de Siracusa	Greko	entre 3 10/71 y 3 1/7 empleó 211875/67441 ~ 3.14163	<402 ppm 13.45 ppm
~150	Klaudio Ptolomeo	Greko-egiptoar	377/120 = 3.141666...	23.56 ppm
263	Liu Hui	Txinatar	3.14159	0.84 ppm
263	Wang Fan	Txinatar	157/50 = 3.14	507 ppm
~300	Chang Hong	Txinatar	101/2 ~ 3.1623	6584 ppm
~500	Zu Chongzhi	Txinatar	entre 3.1415926 y 3.1415929 empleó 355/113 ~ 3.1415929	<0.078 ppm 0.085 ppm
~500	Aryabhata	Indiar	3.1416	2.34 ppm
~600	Brahmagupta	Indiar	101/2 ~ 3.1623	6584 ppm
~800	Al-Juarismi	Persiar	3.1416	2.34 ppm
1220	Fibonacci	Italiar	3.141818	72.73 ppm
1400	Madhava	Indiar	3.14159265359	0.085 ppm
1424	Al-Kashi	Persiar	2π = 6.2831853071795865	0.1 ppm

Garai modernoa (konputazioarekin)

Lehenengo ordenagailua sortu zuenetik, pi-ren hamartarrak kalkulatzeko edozein programa garatzen hasi ziren. Horrela, 1949an, ENIAC bat 2037 hamartar lortu zituen, 70 ordutan, errekorrak gainditzen. Pixkanaka errekorrak gainditzen zituen ordenagailuek sortzen ziren, eta urte batzuk geroago (1954an) NORAC bat 3092 zifra lortu zituen. 1960ko hamarkadan IBM ordenagailuek errekorrak gainditzen jarraitu zituzten. 1966an, IBM 7030 bat 250 000 hamartar lortu zuen 8 ordutan eta 23 minututan. Garai honen bitartean ordenagailu berriak frogatzen ari ziren. Ordenagailu horiek pi-tik datozen serieak sortzeko algoritmoak zeukaten.

2000ko hamarkadan, ordenagailuek hamartar anitz dituen zenbakiek lortu dezakete. 2009an, T2K Tsukuba System ordeganailua erabiliz, bi billoi eta erdi pi-ren hamartar baino gehiago aurkitu. T2K Tsukuba System ordeganailua 640 ordenagailu konposatuta dago, eta guztien artean 95 teraflops prozesaketa-abiadura lortzen dituzte. 73 ordu eta 36 minututan lortu zituzten.

Urtea	Aurkitzaile	Ordenagailua	Hamartarrak
1949	G.W. Reitwiesner y otros	ENIAC	2037
1954		NORAC	3092
1959	Guilloud	IBM 704	16 167
1967		CDC 6600	500 000
1973	Guillord y Bouyer	CDC 7600	1 001 250
1981	Miyoshi y Kanada	FACOM M-200	2 000 036
1982	Guilloud		2 000 050
1986	Bailey	CRAY-2	29 360 111
1986	Kanada y Tamura	HITAC S-810/20	67 108 839
1987	Kanada, Tamura, Kobo y otros	NEC SX-2	134 217 700
1988	Kanada y Tamura	Hitachi S-820	201 326 000
1989	Hermanos Chudnovsky	CRAY-2 y IBM-3090/VF	480 000 000
1989	Hermanos Chudnovsky	IBM 3090	1 011 196 691
1991	Hermanos Chudnovsky		2 260 000 000
1994	Hermanos Chudnovsky		4 044 000 000
1995	Kanada y Takahashi	HITAC S-3800/480	6 442 450 000
1997	Kanada y Takahashi	Hitachi SR2201	51 539 600 000
1999	Kanada y Takahashi	Hitachi SR8000	68 719 470 000
1999	Kanada y Takahashi	Hitachi SR8000	206 158 430 000
2002	Kanada y otros [1]	Hitachi SR8000/MP	1 241 100 000 000
2004		Hitachi	1 351 100 000 000
2009	Daisuke Takahashi	T2K Tsukuba System	2 576 980 370 000
2009	Fabrice Bellard	Core i7 CPU, 2.93 GHz; RAM: 6GiB	2 699 999 990 000
2010	Shigeru Kondo	2 x Intel Xeon X5680, 3.33 GHz	5 000 000 000 000
2011	Shigeru Kondo		10 000 000 000 000

Konputazional epokan, pi-ren hamartarrak gora egin dira, bi arrazoiengatik: kalkuluen indarra handitu da eta ordenagailu bat errekor zerrendan agertzen denean izena ematen du ordenagailuaren markari.

Ezaugarri matematikoak

r luzerako aldea duen karratu baten eta r erradioko zirkulu baten arteko erlazioa erakusten da. Zirkuluaren azalera $\pi r^{2}$da.

Definizioak eta ezaugarriak

Zirkunferentzia baten eta bere diametroaren arteko erlazioa konstantea dela frogatu zuen lehenengo pertsona Euklides izan zen, baina, zenbait definizio existitzen dira π zenbakirako:

• Zirkunferentzia baten eta bere diametroaren arteko luzeraren arrazoia π da. (hau da arruntena)
• Zirkulu unitario baten azalera π da( 1 luzerako erradiokoa, ohiko plano geometrikoan edo plano euklidearrean)
• π da X zenbaki erreal positibo txikiena, zeinetarako sin(x)=0 den.
• Eulerren identitateak $e^{ix}+1=0$hainbat soluzio onartzen ditu, haietako txikiena π da.
• $S''(x)+S(x)=0$ ekuazioa diferentziala $S(0)=0,S'(0)=1$ mugalde-baldintzekin eta soluzio bakarrarekin, Picard-Lindelöf-ren teoremaren bidez kalkulatua, π bere erro positibo txikiena duen funtzio analitikoa da( $\sin(x)$ funtzio trigonometrikoa) .

Zenbaki irrazional eta transzendentea

Zenbaki irrazional bat denez, ezin da jarri bi zenbaki osoren arteko zatiketa moduan, 1761an Johann Heinrich Lambert frogatu zuen bezala. Zenbaki transzendentea da ere, hau da, ez da koefiziente osoen polinomio baten erroa. XIX. mendean Ferdinand Lindeman matematikari alemaniarrak hori frogatu zuen, horrela zirkuluaren koadraturaren problemaren ikerketa itxita geratu zen, ebazpenik ez zuela adieraziz. π zenbakia Liouville zenbaki ez dela jakina da ere( Mahler, 1953).

Lehenengo berrogeita hamar zifra hamartar

Zenbaki arrazionala izan arren, oraindik hamartar kopuru handiena aurkitzeko asmoarekin aztertzen hari da. Hauek dira lehenengo berrogeita hamarrak:

3.1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510

zenbaki honen sekuentzia handiagoak ikusteko joan erreferentzietara edo ikusi "Las primeras diez mil cifras decimales."

Zientzian eta ingenierian, konstante hau gehienetan dozena bat dezimalekin erabiltzen da. Berrogei dezimalekin Esne Bidearen kurbatura deskribatu daiteke, protoi baten tamaina baino txikiagoa den errorearekin.

π duten formulak

Geometrian

• r erradioko zirkunferentziaren luzera: Z = 2 π r
• r erradioko zirkuluaren azalera: A = π r²
• a eta b ardatzerdiak dituen elipse batean azalera: A = π ab,
• Zilindroaren azalera: 2πr(r+h)
• Esfera baten azalera: 4 π r²
• Konoaren azalera: π r² + π r g
• r erradioko esfera baten bolumena: V = (4/3) π r³
• r erradioko eta h altuerako zilindroaren bolumena: V = π r² heule
• r erradioko eta h altuerako konoaren bolumena: V = π r² h / 3
• Angeluetan: 180º π radian dira.

Kalkuluan

• Astroideak mugatutako azalera: (3/8) π a²
• X ardatzak eta zikloidearen arku batek mugatutako eskualdearen azalera: 3 π a²
• Kardioideak sortutako eskualdearen azalera: (3/2) π a²
• Agnesiren kurbaren eta asintotaren arteko eskualdearen azalera: πa²

Probabilitatean

• Ausaz aukeratutako bi zenbaki oso euren artean lehenak izan daitezeneko probabilitatea 6/π² da
• 1 baino txikiagoak diren bi zenbaki positibo hartuta, 1 zenbakiarekin batera hiruko kamuts bateko aldeak izan daitezeneko probabilitatea (π-2)/4 da.
• Buffonen orratza: ausaz, airera, orratz bat botatzen badugu, L luzerakoa dena eta gainazal batean erortzen badira non D distantziara dauden lerro paraleloak marraztuta dauden, orratzak lerro bat mozteko probabilitatea Lπ/2D da.

Analisi matematikoan

${\frac {1}{1}}-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}-\cdots ={\frac {\pi }{4}}$ (Leibnizen Formula)

${\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\cdots ={\frac {\pi }{2}}$ (Wallisen produktua)

$1+{\frac {1}{3}}+{\frac {1\cdot 2}{3\cdot 5}}+{\frac {1\cdot 2\cdot 3}{3\cdot 5\cdot 7}}+\cdots ={\frac {\pi }{2}}$ (Euler)

$e^{\pi i}+1=0\;$ (Eulerren identitatea, "Munduko Formularik Garrantzitsuena" moduen ezaguna)

$\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}dx={\sqrt {\pi }}$

$n!\approx {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}$ (Stirlingen Formula)

$\zeta (2)={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}$ (Euler)

$\zeta (4)={\frac {1}{1^{4}}}+{\frac {1}{2^{4}}}+{\frac {1}{3^{4}}}+{\frac {1}{4^{4}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{4}}{90}}$

${\frac {1}{\pi }}={\frac {2{\sqrt {2}}}{9801}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^{4}396^{4k}}}$Ramanujan

Gainera πk frakzio jarrai gisa hainbat formula ditu. konturatu zenbaki bakoitiak direla zatitzen agertzen direnak, eta zenbaki osoen karratuak beraien zatitzaile bezala:

${\frac {4}{\pi }}=1+{\frac {1}{3+{\frac {4}{5+{\frac {9}{7+{\frac {16}{9+{\frac {25}{11+{\frac {36}{13+...}}}}}}}}}}}}$

$\pi =\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {2(-1)^{k}\;3^{{\frac {1}{2}}-k}}{2k+1}}$

(http://functions.wolfram.com/Constants/Pi/10/ helbidean beste 12 errepresentazio ezberdin daude)

π-ren neurketak

π eta zenbaki lehenak

π eta zenbaki lehenak Riemann-en zeta funtzioarentzat Euler-en biderkaduraren alderantzizkoa erabiliz, eta argumentu bezala 2 erabiliz hurrengo balorea lortzen da:

${\frac {1}{\zeta (2)}}=\lim _{n\to \infty \atop p_{n}\in \mathbf {P} }\left(1-{\frac {1}{2^{2}}}\right)\left(1-{\frac {1}{3^{2}}}\right)\left(1-{\frac {1}{5^{2}}}\right)\left(1-{\frac {1}{7^{2}}}\right)\left(1-{\frac {1}{11^{2}}}\right)...\left(1-{\frac {1}{p_{n}^{2}}}\right)={\frac {6}{\pi ^{2}}}$

Euler izan zen lehenengoa zeta funtzioaren emaitza hau aurkitzen, eta horrela Basilea-ko problema ospetsua ebaztea lortu zuen.

Machin-en formula

π era zehatz batean kalkulatu daiteke Machin-en formularen bidez, 1706an aurkitua, horretarako zatiki unitarioen alderantzizko tangenteak erabiliz. ${\frac {\pi }{4}}=4\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}}$ Matematikari askok metodo hau erabili zuten ehungarren hamartarretik gorako π-ren hamartarrak kalkulatzeko.

π-ren hurbilketa geometrikoak

π balioaren hurbilketa bat era geometrikoan lortu daiteke. Antzina, grekoek π-ren balioa era zehatz batean adierazten saiatu ziren, konpasa eta erregela erabiliz, arrakastarik gabe. Problema zirkuluaren koadratura izenaz ezagutzen da, eta zirkulu jakin baten azalera berdina duen karratu bat lortzean datza. Arazoa hurrengoa zen: Problema hau zehaztasun osoz ebazteko, π-ren balio zehatza behar da.

Erregela eta konpasa soilik erabiliz π-ren balio zehatza lortzea ezinezkoa zela argi geratu zenean, balio horren hurbilketak lortzeko hainbat metodo agertu ziren. Metodo horien artean dotoreenetariko bi Kochanski-ren metodoa (erregela eta konpasa erabiliz) eta Mascheroni-ren metodoa (konpasa soilik erabiliz) dira.

Kochanski-ren metodoa

Kochanski-ren metodoa.

1. r erradioko zirkunferentzia marraztu.
2. OEG triangelu aldekidea inskribatu.
3. EG segmentuarekiko paraleloa den zuzen bat marraztu, A puntutik pasatzen dena.
4. Marraztutako zuzena OE segmentua ebaki arte luzatu, D puntua lortuz.
5. D puntutik abiatuz, eta marraztutako zuzenaren norabidean, zirkunferentziaren erradioaren luzera duen segmentu bat hiru aldiz luzatu eskuinera, C puntua lortuz.
6. BC segmentuaren luzera zirkunferentziaren luzeraren erdiaren balio hurbildua izango da.

Frogapena (r=1 aukeratuz)

$BC^{2}=AB^{2}+(3-DA)^{2}\,\!$

$OF={\frac {\sqrt {3}}{2}}$

${\frac {DA}{EF}}={\frac {OA}{OF}}\rightarrow {\frac {DA}{1/2}}={\frac {1}{{\sqrt {3}}/2}}\rightarrow DA={\frac {\sqrt {3}}{3}}$

Azken emaitza lehenengo formulan ordezkatuz:$BC^{2}=2^{2}+\left(3-{\frac {\sqrt {3}}{3}}\right)^{2}\rightarrow BC={\sqrt {40-6{\sqrt {3}} \over 3}}=3.141533...$

Mascheroni-ren metodoa

Mascheroni-ren metodoa.

1. r erradioko zirkunferentzia marraztu.

1. Zirkunferentzia barruan hexagono erregular bat inskribatu.
2. D puntua bi zirkunferentzia-arkuren ebakidura bezala lortzen da:
   1. BD A’ puntuan zentratua.
   2. CD A puntuan zentratua.
3. Zirkunferentziaren eta DE arkuaren, B puntuan zentratua, ebakiduraren bidez E puntua lortzen da.
4. AE segmentuaren luzera zirkunferentziaren luzeraren laurdenaren hurbilketa da.

Frogapena (r=1 aukeratuz)

$AD=AC={\sqrt {3}}$

$OD={\sqrt {3-1}}={\sqrt {2}}$

$BE=BD={\sqrt {(OD-MB)^{2}+MO^{2}}}$

$BE=BD={\sqrt {\left({\sqrt {2}}-{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)^{2}+{\frac {1}{4}}}}={\sqrt {3-{\sqrt {6}}}}$

Ptolomeo-ren teorema erabiliz:

$BB'\cdot AE=AB\cdot EB'+BE\cdot AB'$

$2\cdot AE={\sqrt {1+{\sqrt {6}}}}+{\sqrt {9-3\cdot {\sqrt {6}}}}=3.142399...$

Zientzian eta matematikan erabilera

π matematikako arlo askotan agertzen da, baita geometria euklidearraren zirkuluekin erlazio zuzena ez duten eremuetan ere.

Geometria eta trigonometria

r erradioko eta d = 2r diametroko edozein zirkulurentzat, zirkunferentziaren luzera π d bezala kalkulatu daiteke, eta π r² adierazpenak zirkuluaren azalera ematen du. Horretaz gain, zirkunferentziarekin erlazionatuta dauden irudi geometriko askoren azalera eta bolumen adierazpenetan π agertzen da; elipse, kono eta toroideen formuletan, besteak beste.

Zirkunferentzia eta zirkuluen bidez sortutako irudien zirkunferentzia, azalera edo bolumena adierazteko erabiltzen diren integral mugatuetan π agertzen da ere. Kasurik errazenean, zirkulu unitario baten azaleraren erdia hurrengo eran idatzi daiteke:

$$\int _{-1}^{1}{\sqrt {1-x^{2}}}\,dx={\frac {\pi }{2}}$$

Eta zirkunferentzia unitarioaren luzeraren erdia:

$$\int _{-1}^{1}{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,dx=\pi$$

Forma konplexuagoak modu berean integratu daitezke, biraketa-solidoak esaterako.

Matematika modernoan π funtzio trigonometrikoak erabiliz definitzen da askotan, batez ere geometria euklidearrarekin eta integrazioarekin lotuta dauden menpekotasunak saihesteko. Alderantzizko funtzio trigonometrikoen serie-garapenak π-ren serie infinituak lortzeko erarik errazena da.

Aldagai konplexua

Euler-en formularen adierazpen geometrikoa.

Euler-en formularen bidez aldagai konplexu bateko funtzio esponentziala funtzio trigonometrikoen eta zenbaki irudikarien menpe adierazi daiteke:

$e^{i\varphi }=\cos \varphi +i\sin \varphi \!$

non i unitate irudikaria ($i^{2}=-1$ ) eta e ≈ 2.71828 Euler-en zenbakia diren. Formula hau da analisi konplexuan π askotan agertzearen arrazoi nagusia. Adierazpen honetan, e zenbakiaren berredura irudikariek plano konplexuko zirkulu unitario baten inguruan birak ematen dituztela ikusten da, bira hauen periodoa 360º = 2π izanda. Horrela, 180º-ko biran, φ = π denean, lehen aipatutako Euler-en identitate ospetsua berreskuratzen da:

$$e^{i\pi }+1=0.\!$$

Unitatearen n n-garren erro desberdin existitzen dira:

$$e^{2\pi ik/n}\qquad (k=0,1,2,\dots ,n-1).$$

Analisi numerikoa

Gauss-en integrala:

$$\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}dx={\sqrt {\pi }}.$$

Zenbaki erdioso (zenbaki bakoiti baten erdia) baten gamma funtzioaren eta √π-ren arteko zatiketa zenbaki arrazionala izango da derrigorrez honen eraginez.

Fisika

Konstante fisiko bat izan ez arren, π maiz agertzen da Unibertsoaren oinarrizko printzipioak adierazten dituzten ekuazioetan, batez ere zirkuluarekin eta, ondorioz, koordenatu esferikoen sistemarekin duen lotura estua dela eta.

• Konstante kosmologikoa:

$$\Lambda ={{8\pi G} \over {3c^{2}}}\rho$$

• Heisenberg-en ziurgabetasun printzipioa:

$$\Delta x\,\Delta p\geq {\frac {h}{4\pi }}$$

• Erlatibitate orokorreko Einstein-en eremuren ekuazioa:

$$R_{ik}-{g_{ik}R \over 2}+\Lambda g_{ik}={8\pi G \over c^{4}}T_{ik}$$

• Indar elektrostatikoa kalkulatzeko Coulomb-en legea:

$$F={\frac {\left|q_{1}q_{2}\right|}{4\pi \varepsilon _{0}r^{2}}}$$

• Hutseango iragazkortasun magnetikoa:

$$\mu _{0}=4\pi \cdot 10^{-7}\,\mathrm {N/A^{2}} \,$$

• Kepler-en hirugarren legea:

$${\frac {P^{2}}{a^{3}}}={(2\pi )^{2} \over G(M+m)}$$

Probabilitatea eta estatistika

Probabilitate eta estatistikako banaketa ugari π dute haien formulan:

• Banaketa normalaren probabilitate dentsitate-funtzioa, μ batezbestekoarekin eta σ desbiderapen estandarrarekin:

$$f(x)={1 \over \sigma {\sqrt {2\pi }}}\,e^{-(x-\mu )^{2}/2\sigma ^{2}}$$

• Cauchy-ren banaketa estandarraren probabilitate dentsitate-funtzioa:

$$f(x)={\frac {1}{\pi (1+x^{2})}}.$$

Probabilitate dentsitate-funtzio hauetarako normalizazio-baldintza betetzen bada, $\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx=1$, orduan aurreko formulak π lortzeko ordezko formula integral bezala erabili daitezke.