Zenbaki

Zenbakia kantitate baten irudia edo sinboloa da. Zenbaki ezagunenak arruntak dira (0, 1, 2, eta abar), zenbatzeko erabiltzen direnak. Zenbaki negatiboak gaineratzen ba ditugu, osokoak lortzen ditugu. Osokoen arteko zatiduren bidez arrazionalak sor ditzakegu. Beste hamartarrak barne hartzen (irrazionalak, alegia) errealak burutzen ditugu, eta azkenean, konplexuak gaineratzen ekuazio aljebraikoak ebazteko behar diren zenbaki guztiak ditugu. Hala ere, beste zenbaki mota dira, infinituak eta transfinituak. Erreal diren artean, ekuazio aljebraikoaren soluzio ez direnak transzendenteak deritzegu; adibidez, Pi eta e. Bi zenbaki hauek Eulerren identitatearen bidez lotu daude (identitate honi munduko formula ospetsuena deritzete).

Zenbaki mota ezberdinak azaltzen dituen bertso sorta.

Zenbakiak matematikan
Zenbaki multzoak
$\mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C}$ Zenbaki arruntak $\mathbb {N}$ Zenbaki osoak $\mathbb {Z}$ Zenbaki arrazionalak $\mathbb {Q}$ Zenbaki irrazionalak Zenbaki errealak $\mathbb {R}$ Zenbaki konplexuak $\mathbb {C}$ Zenbaki aljebraikoak Zenbaki transzendenteak
Konplexuen hedadurak
Koaternioiak $\mathbb {H}$ Oktonioiak $\mathbb {O}$ Zenbaki hiperkonplexuak
Bestelakoak
Zenbaki kardinalak Zenbaki ordinalak Zenbaki lehenak π = 3.141592654… e = 2.718281828… i unitate irudikaria ∞ infinitua Φ = 1,6180339887...
Zenbaki-sistemak
Zenbaki-sistema hamartarra Zenbaki-sistema bitarra Zenbaki-sistema hamaseitarra Zenbaki-sistema zortzitarra

EgituraAldatu

Aljebra abstktuan eta analisi matematikoan, zenbaki-sistemek honako egitura daukate:

Egitura aljebraikoa: eraztun trukakorra edo gorputz matematikoa izan ohi da.
Egitura-ordena : kasu gehienetan, multzo ordenatuetan banatzen dira. Zenbaki arruntak, osoak, arrazionalak eta errealak erabat ordenatutako multzoak dira. Errealak, gainera, ondo ordenatutako multzoak dira , ordena dentsoarekin.
Egitura topologikoa : zenbaki-multzoak zenbakigarriak dira, gehienetan multzo ez-konexuak, eta topologia diskretuan erabiltzen dira. Bestalde, multzo ez zenbakigarrietan, analisi matematikoarentzat aproposa den topologia erabiltzen da.

Zenbaki-multzoek beste modu batzuetan ere adieraz daitezke, hala nola Hasse-ren diagramarekin, Euler-en diagramarekin eta Venn-en diagramarekin.

Zenbaki kontzeptuaren historiaAldatu

Lehenengo gizakiak konturatu ziren bi multzoren artean aukeratu behar zutenean, handiena eta txikiena zein zen erabakitzeko moduren bat aurkitu behar zutela. Horregatik, zenbatzen hasi ziren. Horretarako, objektu fisikoak (hala nola harriak, hezurrak edo enborrak) erabili zituzten. Horren lekuko dira Lebombon aurkitu zuten 37.000 urteko antzinatasuna duen babuino-hezur landua, 29 hortz markarekin, edo Txekoslovakian aurkitutako otso-hezurra, 5 multzotan banatutako 57 hozkekin.

Ishango-ko^{[Betiko hautsitako esteka]} hezurra, duela 20.000 urte egindako aztarnak dituena.

Marken ordez, sinboloak erabiltzen hasi ziren, zerga- eta jabetza-erregistroak zenbatzeko. Aurkikuntzak Mesopotamian egin ziren, K.a. 8.000. urtean. Hasieran, erregistro horiek zenbatzeko, buztinezko fitxak erabiltzen ziren, baina denbora pasa ahala, buztinezko oholtxoetan hasi ziren idazten zenbakiak, sinbolo desberdinak erabiliz. Hala ere, metodo horiek merkatal edo kontabilitate gaietan bakarrik erabili ziren, nahiz eta lur-neurketan eta astronomian ere oso erabilgarriak izan, esate baterako, mugimendu planetarioak erregistratzeko.^[1]

Duela 5.000 urte hasi ziren erabiltzen gaur egun ezagutzen ditugun zenbaki-sinboloak.

Egipziar zatiki unitarioakAldatu

1858an Henry Rhind-ek Egipton, zatikiei buruzko informazioa zeukan papiro bat aurkitu zuen. Papiro hori, K.a. 2.000. eta K.a. 1.800. urteen artekoa da. Hala ere, zatiki unitarioak soilik hartzen zituzten kontuan, hau da, zenbaki naturalen alderantzizkoak zirenak, $\left({\frac {1}{n}}\right)$ , eta obalo batekin adierazten zituzten. Bazeuden beste sinbolo bereziekin adierazten zituzten frakzioak, hala nola ${\frac {2}{n}}$ edo ${\frac {n}{n}}+1$ itxurakoak. Papiro honetan, ${\frac {2}{n}}$ motako zenbakien deskonposizio-taulak zeuden, adibidez, ${\frac {2}{5}}={\frac {1}{3}}+{\frac {1}{15}}$ edo ${\frac {2}{7}}={\frac {1}{4}}+{\frac {1}{28}}$ . Taula hauetan agertzen ziren frakzioetan erabili zuten $n$ zenbakia 1etik 101era bitartekoa zen.

Zeroaren sorkuntzaAldatu

Grezian, K.a III. mendean, oraindik ez zenez 0 ikurra existitzen, hutsa adierazteko,oudos “o” ikurra erabiltzen hasi ziren, baina ikur horrek, ez zuen gaur egun zeroak duen esanahi bera.

Amerikan, hogei oinarriko zenbaki sistemen lehenengo adierazpena K.a III. mendekoa da. Olmeka zibilizazioko hilarri batean zeroaren eta ordenaren kontzeptuak ageri dira.

Maiek, aldiz, zeroa adierazteko lau ikur asmatu zituzten. Garrantzitsuenak bi dira: batetik, zero matematikoa adierazteko, barraskilo baten oskolaren ebaketa erabiltzen zen, eta bestetik, egutegiko zeroa adierazteko, lore bat erabiltzen zuten.

Zenbaki negatiboakAldatu

628an, Brahmaguptak, bigarren mailako ekuazioen bi erroak hartu zituen kontuan, nahiz eta horietako bat negatiboa edo irrazionala izan. Urte horretan, bere obran agertu ziren lehenengoz zenbaki positiboen, negatiboen eta zeroaren (+, -, *, /, berreketak eta erroak) aritmetika sistematizatuta. Zenbaki negatiboak, entitate isolatu bezala ere erabili zituen, geometria aipatu gabe. Hau guztia, lortu zuen bere zorroztasun eta oinarri logikoekiko kezka eza izateagatik eta praktikotasunaren eta formaltasunaren arteko nahasketagatik.

Baina Brahmaguptak, zenbaki negatiboekin egin zuen lana alde batera geratu zen eta hainbat mende igaro behar izan ziren (Errenazimendura arte) hauek berreskuratzeko.

Antza denez, txinatarrek ere bazuten zenbaki negatiboen ideia, eta kalkuluak egiteko koloretako hagaxkak erabili zituzten; beltzak zenbaki negatiboentzako eta gorriak positiboentzako.

Zenbaki konplexuen formulazioaAldatu

Zenbaki konplexuak gutxitan onartzen ziren erro edo ekuazioen soluzio gisa eta ia inorengandik koefiziente modura. Zenbaki hauek, hasiera batean, ficticii ‘fikziozko’ izena hartu zuten.

G. Cardanok (1501-1576) 10 zenbakia bi zatitan zatitu, haien biderkadurak 40 balio dezan problema ebaztean, soluzio hauek lortu zituen: $5+\surd -15$ eta $5-\surd -15$ .

Ekuazio kubikoak Cardano-Tartaglia formularen bidez ebaztean, nahiz eta erroak errealak izan, zenbaki negatiboen erroak ageri dira tarteko urratsetan. Egoera horretan, R. Bombellik (1526-1573) bere Aljebra liburuan “ideia ero” zeritzona izan zuela dio, hau da, errotzaileek errokizunen erlazio bera izan zezaketen eta haiekin lan egin zezaketen, beranduago, desagerrarazten saiatuz gero.

Indukzio matematikoaren printzipioaAldatu

Indukzio matematikoaren aurrekaria indukzio osoa izeneko frogapen metodoa da. Pascalek (1623-1662) indukzio matematikoaren metodoa erabili zuen, gaur egun ezagutzen dugun moduan, bere izena daraman zenbaki triangeluari dagozkion propietateak frogatzeko. Indukzioaren bidezko frogapenek bi zati dituzte beti: oinarrizko urratsa eta indukziozko urratsa. Ondoren, notazio gaurkotuan deskribatzen dira:

$S$ zenbaki arrunten azpimultzoa bada ( $\aleph$ moduan ezaguna) eta $n$ elementu bakoitzak $P(n)$ propietatea betetzen badu non:

$0$ $S$ azpimultzoan dago.
$n$ $S$ -n badago, orduan $n+1$ ere $S$ -n dago.

Beraz, $S$ = $\aleph$ , hau da, edozein $n$ zenbaki arruntak $P(n)$ propietatea betetzen du.

Intuizioz, indukzioa domino efektu gisa ulertzen da. Domino fitxen errenkada infinitua dugula suposatuz, oinarrizko urratsa lehenengo fitxa jaurtitzean datza; bestalde, urrats induktiboak frogatzen du fitxaren bat erortzen bada, hurrengo fitxa ere eroriko dela. Horren ondorioa errenkada horretako fitxa guztiak bota daitezkeela da.

Zenbaki konplexuen interpretazio geometrikoaAldatu

Interpretazio hau Gaussi (1777-1855) esleitzen zaio. $a+bi$ motako zenbaki konplexu osoekin ere lan egin zuen, $a$ eta $b$ zenbaki osoak izanik. $i$ ikurra Euler hasi zen erabiltzen 1777an eta Gaussek zabaldu zuen 1801ean Disquisitiones arithmeticae obran.

Zenbaki konplexuen irudikapen grafikoa Caspar Wessel-ek (1745-1818) egin zuen, baina oharkabean igaro zen. Horregatik, zenbaki konplexuen planoak <<Gaussen planoa>> du izena. Girard-en garaitik (XVII. mendearen erditik) ezagutzen da zenbaki errealak zuzen baten puntuekin bat egiten dutela.

Multzoen-teoriaAldatu

Multzoen teoriak zenbaki arruntak eta zenbaki errealak zenbaki konplexuek zenbaki errealen multzora hedatzen zituzten modu ezberdinez zabaltzeko modu asko eta askotarikoak iradoki zituen. Multzoaren ideia elementu-kopuru ez finitu batekin atzemateko saiakerak zenbaki transfinituen aritmetikara eraman zuen, zenbaki naturalak orokortzen baitituzte, baina ez zenbaki osoak. Zenbaki transfinituak Georg Cantorrek sartu zituen 1873 inguruan.

Analisi ez-estandarrean erabilitako zenbaki hipererrealek zenbaki errealak orokortzen dituzte, baina ez zenbaki konplexuak (nahiz eta konplexutasun bat onartzen duten, zenbaki konplexuak ere orokortuko lituzkeena). Zenbaki hipererrealak dirudien arren, ez dute emaitza matematiko interesgarririk ematen analisi errealean lor daitezkeenetatik haratago doazenik, frogapen eta froga matematiko batzuek sinpleagoak dirudite zenbaki hipererrealen formalismoan, eta, beraz, ez daude garrantzi praktikotik salbuetsita.

Irrazionalen teoriakAldatu

XIX. mendearen erdialdera arte matematikariak zenbakien ulermen intuitiboarekin konformatzen ziren eta euren propietate sinpleak ez ziren logikoki XIX. mendera arte ezarriak izan. Azterketan zorroztasuna sartzeak agerian utzi zuen zenbaki errealen sistemaren argitasunik eza eta zehaztasunik eza, eta oinarri aritmetikoen gainean egituratze logikoa eskatzen zuen.

Bolzanok zenbaki errealak zenbaki arrazionalen segidetan oinarrituta eraikitzeko saiakera bat egin zuen, baina bere teoria oharkabean igaro zen eta 1962ra arte ez zen argitaratu. Hamiltonek saiakera bat egin zuen, denbora magnitudeari erreferentzia eginez, zenbaki arrazionalen banaketetatik abiatuta:

baldin eta

a={\cfrac {n_{1}}{m_{1}}}

,

b={\cfrac {n_{1}^{2}}{m_{1}^{2}}}

denean eta baldin eta

a={\cfrac {n_{2}}{m_{2}}}

,

b={\cfrac {n_{2}^{2}}{m_{2}^{2}}}

denean

\quad \longrightarrow \quad a={\sqrt {b}}

Baina ez zuen bere teoria gehiago garatu.

Baina 1872an bertan bost matematikarik, frantses batek eta lau alemanek, zenbaki errealen aritmetizazioari buruzko beren lanak argitaratu zituzten

Charles Merayk (1835-1911) Nouveau précis d 'analyse infinitesimale lanean zenbaki irrazionala zenbaki arrazionalen segiden limite gisa definitzen du, kontuan hartu gabe limitearen existentziak berak zenbaki errealaren definizioa suposatzen duela.

Hermann Heinek (1821-1881), Journal de Crelle egunkarian, 1872an, «Funtzioen teoriaren elementuak» izeneko artikulua argitaratu zuen, non Cantorren antzeko ideiak proposatzen zituen, gaur egun «Heine-Cantorren teorema» deitzen dena.

Richard Dedekindek (1831-1916) Stetigkeit und irrationale zahlen argitaratu zuen. Bere ideia zuzen errealaren jarraitutasunean eta zenbaki arrazionalak bakarrik kontuan hartuz dauden "zuloetan" oinarritzen da. «R domeinua» izeneko atalean, zuzenaren jarraitutasuna ezartzen duen axioma bat adierazten du: «Zuzenaren puntu bakoitzak zuzenaren puntuak bi motatan banatzen ditu, hots, lehenengoaren puntu bakoitza bigarren motako puntu bakoitzaren ezkerraldean dago; orduan, zatiketa hori eragiten duen puntu bakarra dago». Ideia hori bera erabiltzen du «zenbaki irrazionalen sorrera» atalean, «Ebakidura» kontzeptua sartzeko. Bertrand Russellek gero esango luke klase batekin nahikoa dela, honek bestea definitzen baitu.

Georg Cantor (1845-1918). Oinarrizko segida, segida elementala eta oinarrizko segidaren limite kontzeptuak definitzen ditu, eta horietatik abiatuz zenbaki erreala definitzen du.

Karl Weierstrass (1815-1897). Ez zuen bere lana argitaratu, Bolzano, Abel eta Cauchykoen jarraipena, baina Berlingo Unibertsitatean ikasi zuelako izan zen ezaguna. «Tarte ahokatuetan» oinarritutako karakterizazioa, zenbaki arrazional bati kontrajar dakizkiokeenak baina ez derrigorrez egiten dutenak, ez da aurrekoak bezain orokorgarria, baina zenbaki errealen irudikapen hamartarrerako sarbide erraza ematen du.

Aljebra hiperkonplexuakAldatu

Zenbaki errealetatik zenbaki konplexuak lortzeko eraikuntzak eta horiek planoko antzeko transformazioen multzoarekin duten loturak zenbaki hiperkonplexuak izenez ezagutzen diren antzeko beste orokortze batzuk iradoki zizkien matematikari batzuei. Orokortze horietan guztietan zenbaki konplexuak zenbaki-sistema berri horien azpimultzo bat dira, nahiz eta orokortze horiek aljebra-egitura matematikoa izan gorputz baten gainean, baina haietan biderkatze-eragiketa ez da kommutatiboa.

Zenbakien sailkapenaAldatu

Zenbaki arruntakAldatu

Sakontzeko, irakurri: «Zenbaki arrunt»

0,1,2,3,4 / ta osteko denak / izenak dion gisan / dira ARRUNTenak / duguna zenbatzeko / balio dutenak.

Zenbaki motarik ezagunenan zenbaki arruntak dira, askotan zenbaki oso ere deituak: 1, 2, 3 eta ondoren doazen guztiak. Tradizionalki zerrenda hau 1 zenbakiarekin hasi da, 0 ez baitzen kontsideratzen zenbaki bat Antzinako Grezian. Hala ere, XIX. mendetik aurrera multzo-teoriaren garatzaileek eta matematikariek 0 gehitzen hasi ziren zenbaki arrunte barnean. Gaur egun, matematikariek bi multzoak izendatzeko erabiltzen dute zenbaki arruntak, 0 barnebildu edo ez^[2]. Matematikan zenbaki hauek izendatzeko erabiltzen den sinboloa N da, baita $\mathbb {N}$ idatzia, eta batzuetan $\mathbb {N} _{0}$ edo $\mathbb {N} _{1}$ beharrezkoa denean adieraztea 0 edo 1 zenbakitik hasten diren.

Zenbaki sistema hamartarrean, gaur egun operazio matematikoetan ia unibertsalki erabiltzen dena, zenbaki naturalak hamar digitu erabiltzen idazten dira: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, eta 9. Zenbaki-sistemaren oinarria zenbaki-sistema batek zenbakiak errepresentatzeko erabiltzen duen digito ezberdinen kopurua da. Zenbaki sistema hamartarrean 10 da^[3]. Sistema honetan, eskuman idazten den sistemak 1-eko leku-balioa du, eta beste edozein digitok bere eskubian dagoen digitoaren 10 aldiz balio handiagoa izango du. Adibidez, 34 zenbakian 4 digitoak $4\times 1$ balioa izango du eta 3 digitoak $3\times 10$ .

Zenbaki osoakAldatu

Sakontzeko, irakurri: «Zenbaki oso»

Jasotzeko adina / dugunez kentzeko / minus-a beharrezko zen / hori azaltzeko / negatiboak / gehitu / ziren OSOtzeko

Zenbaki osoak ulertzeko bideoa.

Bideo hau Jakindun elkarteak egin du. Gehiago dituzu eskuragarri euren gunean. Bideoak dituzten artikulu guztiak ikus ditzakezu hemen.

Zenbaki osoen multzoan zenbaki arruntak biltzen dira (0,1,2,...), beren aurkakoekin batera (-0,-1,-2,...). -0 eta 0 berdintzat jotzen dira. Zenbaki osoen multzoa Z hizkiaz izendatu ohi da (Zahlen germanierazko hitzetik). Zenbaki osoak batu, kendu eta biderkatu egin daitezke: emaitza beti izango da zenbaki oso bat.

x+a=b motako ekuazioen soluzioa, non a eta b zenbaki osoak diren, zenbaki osoa izango da. Zenbaki arrunten kasuan ez da esaterako gauza bera gertatzen. Zorrotzago, zenbaki osoen multzoak, batuketa eta biderketa eragiketak definitu ondoren, eraztun trukakorra osatzen duela esan behar da.

Zenbaki arrazionalakAldatu

Sakontzeko, irakurri: «Zenbaki arrazional»

Ta elkarbanatzea / denez naturala / pizza bat zein pastel bat / zatitu bezala / osoen zatidura / da ARRAZIONALA</poem>

Zenbaki arrazional bat zatiki moduan espresa daitekeen edozein zenbaki da, zenbakitzailea zenbaki oso bat baldin bada eta izendatzailea zenbaki oso positibo bat. Izendatzaile negatiboak baimentzen dira, baina normalki ez dira erabiltzen, edozein zenbaki arrazional izendatzaile positibo bat duen zatiki baten berdina delako. Zatikiak bi zenbaki osorekin osatzen dira, zenbakitzailea eta izendatzailea, barra bat jarrita zatitzen euren erdia. Adibidez ${\tfrac {m}{n}}$ zatikiak m zatitzen du n atal berdinetan. Bi zatiki egon daitezke zenbaki arrazional berdinari dagokionak, adibidez ${\tfrac {1}{2}}$ eta ${\tfrac {2}{4}}$ berdinak dira, hau da,

{1 \over 2}={2 \over 4}.

Oorkorrean

{a \over b}={c \over d}

baldin eta bakarrik

{a\times d}={c\times b}.

mren balio absolutua nrena baino handiagoa bada (positiboak direla pentsatuz), orduan zatikiaren balio absolutua 1 baino handiago izango da. Zatikiak izna daitezke 1 baino handiago, txikiago edo berdin, eta izan daitezke positibo, negatibo edo 0. Zenbaki arrazional guztien multzoak zenbaki oso guztiak barnean hartzen ditu, edozein zenbaki oso idatzi daitekeelako izendatzailearen zatiki gisa. Adibidez, -7 idatzi daiteke ${\tfrac {-7}{1}}$ gisa. Zenbaki arrazionalen ikurra Q da (quotient hitzetik), eta horrela ere idatzi daiteke: $\mathbb {Q}$ .

Zenbaki arrunt bereziakAldatu

Zenbakien ezaugarrien ikerketari esker, bitxiak diren zenbakiak aurkitu dira, matematikoki balio berezirik izan ez arren:

Sheldon, adibidez, 73 zenbakia. 21. zenbaki lehena da, eta 7 · 3 = 21 betetzen da. Digituak trukatzean, 37 zenbakia lortzen da, eta hau, 12. zenbaki lehena da.
Nartzisista, n digituko zenbakia da, haren digituak n. mailara berretzean eta batzean, zenbaki bera ematen dute. Adibidez, 153 = 1³ + 5³ + 3³.
Omirp, zenbaki lehen baten digituak trukatzean, beste zenbaki lehen bat ematen dute. Adibidez, 1597 eta 7951.
Banpiro, bere digituetatik lortutako bi zenbakiren biderkadurak, beste zenbaki lehen bat ematen du.

Beste zenbaki batzukAldatu

Taxicab zenbakiak

Zenbakien adierazpen sistemaAldatu

Zifra, digitu eta zenbakizkoAldatu

Zenbakiak letraz adierazteko modu ohikoenetako bat sinboloen multzo finitu bat edo digitu bat da, eta modu egokian konbinatuz, zenbaki gisa funtzionatzen duten zifrak eratzea ahalbidetzen du. Zeinu-sekuentzia jakin bat zenbaki bat irudikatzeko erabiltzen denean, zenbakizkoa deitzen zaio.

Zenbakizko oinarriaAldatu

Hizkuntza naturalek eta zifren bidez idazten diren zenbakiek arazoak izan ohi dituzte kopuru handiak adierazteko. Hori konpontzeko, matematika arloan oinarri aritmetiko bezala ezagutzen dena erabiltzen hasi zen, hau da, edozein zenbaki beste baten batuketaren edo biderketaren bidez adierazi zen. Adibidez, 13568 zenbaki arabiarra horrela banakatzen da:

8ak, azken zifra denez, unitateak adierazten ditu; 6ak, hamarrekoak; 5ak, ehunekoak; 3ak, milakoak; eta 1ak, hamar milakoak. Hau da:

1 · 10⁴ + 3 · 10³ + 4 · 10² + 6 · 10¹ + 8 · 10⁰ = 13568

Hizkuntza askok oinarri hamartarra erabiltzen dute, sistema arabiarrak bezala, beste hainbat hizkuntzatan, aldiz, ohikoa da hogei oinarriko sistemak erabiltzea.

Zenbakiak hizkuntza naturaletanAldatu

Hizkuntza naturalek izenak erabiltzen dituzte hatz bidezko zenbaketan oinarritutako zenbakietarako. Horregatik, hizkuntza gehienek 10 oinarriko (eskuetako hatzak) edo 20 oinarriko (esku eta oinetako hatzak) zenbaki-sistemak erabiltzen dituzte.