Esfera (grezieratik: σφαίρα - sphaira, "globoa, baloia") hiru dimentsioko espazioan puntu jakin batetik distantzia berera dauden espazioko puntu guztiek osatzen duten azalera da. Era berean, zirkulu bat bere ardatzaren inguruan biratzen denean sortzen den gorputz geometrikoa ere bada. Alde guztietatik begiratuta, erabat biribila den gorputza da esfera.

Esfera bat
3D irudia

Esferaren atalakAldatu

 
Esferaren atalak
  • [1]Zentroa: puntu guztietatik distantzia berera dagoen barne-puntua da.
  • Erradioa: zentrotik gainazaleraino dagoen distantzia da.
  • Korda: bi puntu lotzen dituen zuzena da.
  • Diametroa: zentrotik pasatzen den korda da. Erradioa halako bi luze da.
  • Biraketa-ardatza: esferako puntu guztiak biratzen diren lerroa da.
  • Poloak: biraketa-ardatzaren eta gainazalaren arteko ebaki-puntuak dira.

Esferaren zirkunferentziakAldatu

Esferaren gaineko koordenatuakAldatu

Esferaren gainazalean dagoen puntu bat aurkitzeko, egokiagoa da koordenatu esferikoak erabiltzea koordenatu kartesiarrak baino; honako arrazoiengatik: batetik, azalera esferikoa bi dimentsioko espazioa delako eta koordenatu kartesiarrak hiru koordenatuetan banatzen direlako; bestetik, esfera batean lan egitean, angeluen terminoa erabiltzea egokiagoa delako koordenatu ortogonalak erabiltzea baino.

 
Esferaren[Betiko hautsitako esteka] koordenatuen adierazpena.

Koordenatu esferikoen bi jatorri ortogonalakAldatu

Koordenatu esferikoen bi jatorri ortogonalak kalkulatzeko, ekuatore bat eta horren puntu bat angelu horizontalen abiapuntu gisa aukeratzen dira. Lehenik eta behin,   angeluaren ikurra definitzeko, ekuatorearen orientazio bat hautatzen da. Ondoren,   angeluaren ikurra definitzeko, esferaren bi poloetatik polo bakarra aukeratzen da. Poloak esferaren ekuatoretik urrutien dauden puntuak dira, eta esfera batek, hain zuzen, bi polo ditu.

Puntuak angeluen bidez zehazteaAldatu

  eta   angeluek esferaren puntu guztiak mugatzen dituzte. Plano horizontaleko (ekuatorearen planoa) eta plano bertikaleko angeluei esker esferaren edozein puntu aurki daiteke.

Geometrian eta geografian   eta   angeluak modu ezberdinetan neurtzen dira. Normalean arku-luzera kalkulatu ahal izateko, geometrian, angelu horiek radianetan neurtzen dira. Geografian, aldiz, gradu sexagesimalak edo ehundarrak erabiltzen dira angeluak lortzeko. Geografiaren kasuan, puntuak angeluen bidez zehazteko, jatorriak Greenwich-eko meridianoaren ekuatoreko puntuan eta Ipar poloko puntuan hartzen dira; era horretan,   angelua latitudea dela lortzen da, eta   angelua, longitudea.

Koordenatu esferikoekin espazioko edozein puntu aurkitu ahal izateko,   izeneko hirugarren parametroa sartu behar da  ; esferaren erradioa da  .

  koordenatu esferikoen bitartez, espazioko edozein puntu aurkitu daiteke. Hori kontuan hartuta,   koordenatu kartesiarrak   koordenatu esferikoen bidez adieraz daitezke. Honako eran adierazten dira:

 , non   eta   diren.

Koordenatu kartesiarretatik abiatuta, koordenatu esferikoak lortzen dira:

 

Ekuazioak hiru dimentsioko espazioanAldatu

 
Esfera baten bi erradio ortogonal

Hiru dimentsioko espazio euklidear bateko koordenatu kartesiarreko sistema batean, esfera unitarioaren (erradioa   duen esferaren) ekuazioa honakoa da:

 .

Jarraian azalduko da nola lortzen den aurreko ekuazioa.

Izan bitez esferaren jatorria   eta esferaren edozein puntu  . Lehenengo elementua   baten bidez adieraziko da, eta bigarren elementua, aldiz,   baten bidez. Esferaren   puntuan   bektore normalak   balioa duela jota, hasierako formula lortzen da.

Formula hori orokortzeko, demagun esferaren jatorria   dela. Hortaz,

 .

Bestalde,   puntuan   plano tangentearen ekuazioa aldagai-banaketaren bitartez lortzen da. Esfera unitarioaren kasuan, jatorria   da:

 .

Formula hori orokortzeko, demagun esferaren jatorria   dela. Beraz,

 .

Izan bitez   eta   zenbaki errealak,   izanik eta

       .

Orduan, esfera adierazteko beste era bat honako hau da:

 .

  -k hartzen duen balioaren arabera, zenbait esfera mota ezberdindu daitezke.

·   bada,   ekuazioaren soluzioak ez dauka puntu errealik. Beraz, aurreko ekuazioa esfera irudikari baten ekuazioa da.

·   bada,   ekuazioaren soluzio bakarra   puntua da. Beraz, aurreko ekuazioa esfera puntual baten ekuazioa da.

·   bada,   ekuazioak, aldiz,   zentrodun eta   erradiodun esferaren ekuazioa adierazten du.[2]

Aurreko ekuazioan  -ren balioa   bada, orduan   plano baten ekuazioa da.

Gainera, hiru dimentsioko espazio euklidear batean, esferaren gainazaleko puntuak modu honetan parametriza daitezke:

 , non   eta   diren[3].

  da esferaren erradioa;  , zentroaren koordenatuak, eta  , ekuazioaren parametro angeluarrak.

Bestalde,   puntuan zentratutako edozein erradiotako esfera gainazal integral bat da. Honela definitzen da esfera forma diferentzialean:

 .

Azkenengo ekuazio horrek adierazten du esfera baten posizio-bektorea   eta puntuaren abiadura   elkarrekiko ortogonalak direla.

BolumenaAldatu

 
Zilindro[Betiko hautsitako esteka] zirkunskribatuaren bolumena eta azalera ateratzeko eredua.

Esferaren bolumena

 

da, non   esferaren erradioa den.

Esfera baten bolumena esfera horretan zirkunskribatutako zilindroaren bolumenaren   dela esan daiteke. Kontuan izanda zilindroaren oinarria esferak duen diametro bereko zirkulu bat dela eta altuerak aipatutako diametroaren neurri bera duela, ondorengoa adieraz daiteke:

 .

Adierazitako bolumenen arteko erlazioa Arquimesek frogatu zuen.

Bestalde, posible da esferaren bolumena kalkulatzea   erabili gabe, horren errore-marjina  koa izanik.

 .

AzaleraAldatu

  erradiodun esfera baten azalera hurrengoa da:

 .

Arquimedesek[4],   formula lortu zuen zilindro zirkunskribatuaren alboko gainazalerako proiekzioak eremua mantentzen duela kontuan hartuz. Dena den, azaleraren formula beste era batera lor daiteke: bolumenaren formula  -rekiko deribatuz.

Edozein   erradio emanda, bolumen graduala     erradiodun azaleraren   eta egituraren lodieraren   arteko biderkaduraren berdina da.

 .

Egituren arteko bolumen guztien gehiketa esferaren bolumenaren totala da.

 .

 -ren limitean  -ra[5] hurbiltzen denez,

 .

Bolumena ordezkatuz,

 .

Bi aldeak  -rekiko deribatuz gero,

 .

Ondorioz, azalera hurrengoa da:

 ,

non   esferaren erradioa den.

KurbakAldatu

 
Esfera baten sekzio lana: zirkulu bat
 
Esfera baten eta zilindro baten ebakidura ardazkidea: 2 zirkulu

ZirkuluakAldatu

  • Esferaren eta planoaren arteko ebaketaren emaitza zirkulu bat, puntu bat edo hutsa ( ) izan daiteke.

Zirkulu bat denean, ekuazio parametriko batekin adieraz daiteke.

 

Aldiz, beste zenbait gorputzek esfera moztean zirkuluak ere sortzen dituzte:

  • Biraketa-gainazal baten eta esfera baten arteko ebakidura ez hutsak zirkuluez edota puntuez osatuta daude.

Irudian ikus daitekeenez, zilindroa eta esfera ebakitzen direnean, bi zirkulu sortzen direla. Zilindroak eta esferak erradio bera badute eta haien artean tangenteak badira zirkulu bakarra sortzen da.

 
Espiral esferikoa   denerako

Clelia kurbakAldatu

Esfera modu honetan definituta badago,

 

Clelia kurbak lortzen dira angeluek hurrengo ekuazioa betetzen badute:  

  •    .

Kasu bereziak: Viviani´s kurba   eta espiral esferikoak  .

 
Zilindro esferikoaren elkargune orokorra

Gorputz orokorren eta esferaren arteko ebaketaAldatu

Esfera bat beste gainazal batekin ebakitzean, kurba esferiko konplexuagoak sortu daitezke.

Adibidea: esfera eta zilindroa

Esferaren eta zilindroaren arteko ebaketen emaitzak ekuazioen arteko sistema eginez lortzen dira eta ez dira beti bi zirkulu edo zirkulu bakarra izan behar.

Esferaren ekuazioa:   .

Zilindroaren ekuazioa:    .

 
Esfera baten hemisferioak eta esferaerdiak.
 
Esfera baten ziri-gainazala eta horren azalera kalkulatzeko parametroak.
 
Esfera baten ziria, kalota eta esfera-zona.

Esferetatik lortzen diren irudi geometrikoakAldatu

- [6]Hemisferioa: esferaren zentrotik pasatzen den planoak bi zatitan banatzen du gainazala. Bi zati horiei hemisferio deritze.

- Esferaerdia: esferaren diametroan ebakitzen diren bi planoen artean dagoen esferaren zatia da.

- Ziri-gainazal esferikoa: esferaren diametroan ebakitzen diren bi planoen arteko gainazalaren zatia da.

Ziri-gainazal esferikoaren azalera   da non   bi planoen arteko angelua den.

- Ziri esferikoa: esferaren diametroan ebakitzen diren bi planoen arteko esferaren zatia da.

Ziri esferiko baten bolumena   da non   bi planoen arteko angelua den.

- Kalota esferikoa: plano ebakitzaile batek zehazten duen esferaren zati bakoitza da.

Kalota esferikoaren azalera:  .

Kalota esferikoaren bolumena:  .

- Esfera-zona: Bi plano ebakitzaile paraleloen arteko esferaren zatia da.

Esfera-zonaren azalera: .

Esfera-zonaren bolumena:  .

Esferaren 11 propietateAldatu

Geometry and the Imagination liburuan[7] David Hilbertek eta Stephan Cohn-Vossenek esferaren 11 propietate deskribatzen dituzte, eta eztabaidatzen dute ea 11 propietate horiek esfera modu bakarrean zehazten duten edo ez. 11 propietate horiek ondorengoak dira:

1. Esferaren puntu guztiak puntu finko batekiko distantzia berdinera daude. Gainera, bere puntuetatik bi puntu finkoetara dagoen distantziaren ratioa konstantea da.

2. Esferaren perimetroak eta sekzio lauak zirkuluak dira.

3. Esferaren zabalera eta zirkunferentzia konstanteak dira.

4. Esferaren puntu guztiak unbilikalak dira.

5. Esferak ez dauka zentro gainazalik.

6. Esferaren geodesiko guztiak kurba itxiak dira.

7. Bolumena duten gorputz guztietatik esfera da gainazal txikiena duen gorputza, eta gainazala duten gorputz guztietatik esfera da bolumen handiena duen gorputza.

8. Esfera, gainazal zehatza duten gorputz ganbil guztietatik, batez besteko kurbadura txikiena duen gorputza da.

9. Esferak batez besteko kurbadura konstantea du.

10. Esferak Gaussen kurbadura positiboa eta konstantea du.

11. Esfera bere baitan transformatzen da hiru parametroetako familia zurrun baten higiduraren bidez.

Esfera forma duten hainbat objektuAldatu

ErreferentziakAldatu

  1. (Gaztelaniaz) Serra, Bernat Requena. (2017-05-06). «Esfera» Universo Formulas Noiz kontsultatua: 2020-11-15.
  2. Albert, A. Adrian (Abraham Adrian), 1905-1972,. Solid analytic geometry. ISBN 978-0-486-81468-1. PMC 953977182. Noiz kontsultatua: 2020-11-15.
  3. Kreyszig, Erwin.. ([1972]). Advanced engineering mathematics.. (3d ed. argitaraldia) Wiley ISBN 0-471-50728-8. PMC 314161. Noiz kontsultatua: 2020-11-15.
  4. Weisstein, Eric. (2007-08-07). «Making MathWorld» The Mathematica Journal 10 (3) doi:10.3888/tmj.10.3-3. ISSN 1097-1610. Noiz kontsultatua: 2020-11-15.
  5. Borowski, E. J. (Ephraim J.). (1989). Dictionary of mathematics. Collins ISBN 0-00-434347-6. PMC 21295708. Noiz kontsultatua: 2020-11-15.
  6. (Gaztelaniaz) Maths, Sangaku. «Esferas y sus figuras geométricas» www.sangakoo.com Noiz kontsultatua: 2020-11-15.
  7. Hilbert, David, 1862-1943.. (1990). Geometry and the imagination. Chelsea ISBN 0-8284-1087-9. PMC 22280007. Noiz kontsultatua: 2020-11-15.

BibliografiaAldatu

  • Albert, Abraham Adrian (2016) [1949], Solid Analytic Geometry, Dover, ISBN 978-0-486-81468-1.
  • Woods, Frederick S. (1961) [1922], Higher Geometry / An Introduction to Advanced Methods in Analytic Geometry, Dover.
  • Kreyszig, Erwin (1972), Advanced Engineering Mathematics (3rd ed.), New York: Wiley, ISBN 978-0-471-50728-4.
  • Serra, Bernat Requena. (2017-05-06).«Esfera» Universo Formulas.
  • Maths, Sangaku. «Esferas y sus figuras geométricas» www.sangakoo.com.

Kanpo estekakAldatu