Ekuazio

Matematikan, ekuazioa ezezagun bat edo gehiago dituen berdintza aljebraikoa da, adibidez $x+4=7,$ ekuazio bat da, non bi adierazpen matematiko berdintzen diren eta $x$ ezezaguna den. Zenbakizko berdintzetan (2+3=5, esaterako) ez bezala, ekuazioa ez da orohar egiazkoa ezezagunaren edozein baliotarako (aurreko ekuazioan adibidez, $x=5ext{,orduan}5+4e7$). Horrela, ekuazioa ebaztea berdintza betetzen duten ezezagunen balioak aurkitzea da, ezezaguna aurkitzea alegia, ekuazioa identitate edo zenbakizko berdintza bihurtzeko (aurreko ekuazioan, $x+4=7ext{,orduan}x=7-4=3$). Horrela, $x,$ bakandu edo askatu egin dela esaten da.

Berdin zeinuaren lehen erabilera, gaur egungo notazioan 14x + 15 = 71 ekuazioaren baliokidea litzatekeena, Galesko Robert Recorderen The Whetstone of Witte liburutik ateratakoa.

Oro har, ezezagunak x, y, z, etab. hizkiez adierazten dira, eta konstanteak alfabetoko lehenengo hizkiez (a, b, c, eta abar).

Alfabeto-egiunez finkatzeko ideia, ezezagunak konstanteetatik desberdintzeko, François Viète matematikari frantziarrarena izan zen. François Viètek erabili zituen kontsonanteak aldagaietarako eta bokalak konstanteetarako.

Sarrera

Irudikapen baliokidea

Ekuazio baten ilustrazioa, zeinetan x, y eta z diren ezezagunak.

Ekuazio bat pisu balantza bat bezala irudika genezake, berdin zeinuaren alde bakoitza balantzaren beso bat delarik. Bi besoetan elementu ezberdinak jar daitezke eta, pisua berdina den bitartean, balantza orekatua egongo da. Desberdintza bat gertatzen den momentuan, inekuazio bat edukiko genuke.

Ilustrazioan, x, y eta z kopuru ezberdinetan dauzkagu (zenbaki errealak dira, kasu honetan), horietako bakoitzak pisu ezberdina duelarik.

Konstanteak eta ezezagunak

Batzuetan ekuazioek ezezagunetaz gain elementu gehiago izaten dituzte, balio ezagun bat izan ohi dutenak, parametro, konstante edota koefiziente bezala ezagutzen direnak.

Normalean ezezagunak alfabetoaren amaierako hizkiekin adierazten dira: x, y, z, w.... Konstanteak, aldiz, alfabetoaren hasierako hizkiak erabilita adierazten dira: a, b, d... Esate baterako, bigarren mailako ekuazioa normalean ondorengo notazioarekin adierazten da: ax² + bx + c = 0.

Ekuazioaren soluzioa aurkitzearen prozesuari ekuazio ebaztea deritzo.

Ekuazio-sistema bat hainbat ezezagun komun dituzten ekuazioek osatutako multzoa da. Ekuazio-sistema horren soluzioa ezezagun bakoitzarentzako balio multzo bat da, multzoko ekuazio guztientzako baliagarria dena. Adibidez:

${\begin{aligned}3x+5y&=2\\5x+8y&=3\end{aligned}}$

Ekuazio-sistema honek soluzio bakarra dauka, zeinetan x = -1 eta y = 1 diren.

Ekuazioen erabilera

Ekuazioak Zientzian oso erabiliak dira legeak modu zehatzean adierazteko, ekuazioek aldagaien arteko harremana adierazten dute eta. Adibidez, Fisikan, Newtonen bigarren legeak F indarraren, a azelerazioaren eta m masaren arteko harremana adierazten du: $F=ma$. Ekuazio horren emaitza baliozkoak diren balioek Newton-en bigarren legea betetzen dute. Esate baterako, m = 1 kg bada eta azelerazioa a = 1 m/s, ekuazioaren soluzio bakarra F = 1 kg·m/s = 1 newton izango da, legearen ekuazioak onartzen duen balio bakarra delako.

Ekuazioen aplikazio eremua oso zabala da eta, hortaz, esparru askotan erabiltzen da. Ian Stewart matematikariaren arabera, "ekuazioen boterea (...) matematikaren (giza garunaren asmakuntza kolektiboa dena) eta errealitate fisikoaren arteko harreman zaila egin ahal izatean datza".

Historia

Antzina

K.a. XVI. mendea, egiptoarrek eguneroko arazoak ebazten zituzten, elikagaiak, uztak eta materialak banatzearekin zerikusia zutenak, lehen mailako ekuazio aljebraiko sinpleak ebazteko balio zutenak; notazio aljebraikoa existitzen ez zenez, gutxi gorabeherako metodo iteratibo bat erabiltzen zuten, «kokapen faltsuaren metodoa» izenekoa.

Gure aroaren hasierako Txinako matematikariek Matematika-arteari buruzko bederatzi kapituluak liburua idatzi zuten. Bertan, lehen eta bigarren mailako ekuazio aljebraikoak ebazteko zenbait metodo eta bi ezezaguneko bi ekuazioko sistemak planteatu zituzten.

Diofanto Alexandriakoa matematikari grekoak bere Arithmetika III. mendean argitaratu zuen, lehen eta bigarren mailako ekuazioak landuz; ekuazioak irudikatzeko sinboloak erabiltzen lehenetako bat izan zen. Ekuazioak soluzio osoekin ere planteatu zituen, ekuazio diofaniko deituak.

XV-XVI. mendea

Aro Modernoan, ekuazio aljebraikoen azterketak bultzada handia izan zuen. XV. mendean, erronka matematiko publikoak zeuden aztergai, irabazleari sariak emanez; hala, erronka famatu batek hirugarren mailako ekuazioak ebaztera behartu zituen bi matematikari, eta irabazlea Niccolò Fontana Tartaglia izan zen, aljebrista aditua.

XVI. mendearen erdialdean, Girolamo Cardano eta Rafael Bombelli matematikari italiarrek jakin zuten ezen, bigarren, hirugarren eta laugarren graduko ekuazio guztiak ebazteko, ezinbestekoa zela zenbaki irudikariak erabiltzea. Tartagliaren etsai amorratua zen Cardano, eta laugarren mailako ekuazioak ebazteko metodoak ere aurkitu zituen.

Mende berean, René Descartes matematikari frantsesak notazio aljebraiko modernoa ospetsu egin zuen. Notazio horryn, konstanteak alfabetoko lehen letrek adierazten dituzte, a, b, c, …, eta aldagaiak edo ezezagunak azkenek, x, y, z.

Garai horretan, orain dela gutxi ebatzi diren ekuazio-problemak aipatzen dira; besteak beste, Fermat-en azken teorema, matematikaren teorema ezagunenetako bat, 1995 arte Andrew Wilesek eta Richard Taylorrek frogatu ez zutena.

XVII-XVIII. mendea

XVII. mendean, Isaac Newtonek eta Gottfried Leibnizek dinamikaren problemetan agertzen diren ekuazio diferentzialak ebazteko lehen metodoak argitaratu zituzten. Ziurrenik ekuazio horiei buruzko lehen liburua Gabriele Manfrediren Lehen mailako ekuazio diferentzialen eraikuntzei buruzkoa izan zen (1707). XVIII. mendean, Leonhard Euler, Daniel Bernoulli, Joseph-Louis Lagrange eta Pierre Simon Laplacek ekuazio diferentzial arruntei eta deribatu partzialetako ekuazioei buruzko emaitzak argitaratu zituzten.

Aro modernoa

Aurreko garaietako ahalegin guztiak gorabehera, bosgarren mailako eta goi-mailako ekuazio aljebraikoak ez ziren ebatzi; kasu partikularretan bakarrik lortu zen, baina ez zegoen irtenbide orokorrik. . mendearen hasieran, Niels Henrik Abelek frogatu zuen ekuazio ez-ebatzgarriak daudela; zehazki, erakutsi zuen ez dagoela formula orokorrik bosgarren mailako ekuazioa ebazteko; ondoren, Évariste Galoisek, bere talde-teoria erabiliz, frogatu zuen gauza bera esan daitekeela bost edo gehiagoko graduko ekuazio orori buruz.

XIX. mendean, zientzia fisikoek ekuazio diferentzialak erabili zituzten deribatu partzialetan eta/edo ekuazio integraletan, hala nola James Clerk Maxwellen elektrodinamikan, mekanika hamiltonianoan edo fluidoen mekanikan. Ekuazio horien eta ebazpen-metodoen ohiko erabilerak espezialitate berri bat sortzea ekarri zuen, fisika matematikoa.

XX. mendean, fisika matematikoak bere ekintza-eremua zabaltzen jarraitu zuen; Erwin Schrödinger, Wolfgang Ernst Pauli eta Paul Dirac-ek mekanika kuantikorako funtzio konplexuak zituzten ekuazio diferentzialak formulatu zituzten. Albert Einsteinek ekuazio tentsorialak erabili zituen bere erlatibitate orokorrerako. Ekuazio diferentzialek ere aplikazio-eremu zabala dute teoria ekonomikoan.

Praktikan aurkezten diren ekuazio gehienak analitikoki ebazteko oso zailak edo ezinezkoak direnez, ohikoa da zenbakizko metodoak erabiltzea gutxi gorabeherako erroak aurkitzeko. Informatikaren garapenak, gaur egun, milaka eta milioika aldagairen ekuazio arrazoizkoak ebazteko aukera ematen du, zenbakizko algoritmoak erabiliz.

Propietateak

Bi ekuazio edo bi ekuazio-sistema baliokideak dira, soluzio multzo berdina badute. Ekuazio edota ekuazio-sistema bati eragiketa oinarrizko berdina aplikatzen bazaie, berdintza mantentzen duena, horren baliokide bat lortuko dugu:

• Ekuazioaren bi aldeei kopuru berdina gehitu edo kentzen badiegu, berdintza mantentzen da:
  $$a=b\Rightarrow a+c=b+c$$
• Ekuazioaren bi aldeak kopuru berdinarekin biderkatuz gero (balio positibo zein negatiboa), berdintza mantentzen da:

$$a=b\Rightarrow ac=bc$$

• Ekuazioaren bi aldeak kopuru berdinarekin zatituz gero (0 ez den balio positibo zein negatiboa), berdintza mantentzen da:

$$\forall c\neq 0\quad a=b\Rightarrow {\frac {a}{c}}={\frac {b}{c}}$$

Eragiketa batzuk ekuazioaren bi aldeei aplikatuta ekuazioaren soluzioez gain soluzio berriak ager daitezke. Esaterako, $x=1$ ekuazioak soluzio bakarra dauka, $x=1$. Hala ere, ekuazioaren bi aldeei ber 2 berreketa aplikatuko bagenie ekuazioa $x^{2}=1$ bilakatuko litzateke, aurreko soluzioaz gain $x=-1$ soluzioa ere edukiko lukeena. Hortaz, horrelako transformazioak tentuz egin behar dira, ekuazioaren soluzioak ez eraldatzeko.

Ekuazio motak

• Aldagai edo ezezagun bakarreko ekuazioa: ezezagun horren balio egokiarentzat bakarrik egiaztatzen den ekuazioa; adibidez, 3x+1=10; x=3.
• Aljebrako ekuazioa: ezezaguna aljebrako eragiketa arruntetara (batuketa, kenketa, biderketa, erroketa) mendekotua duen ekuazioa. Aztertu ziren lehenengo ekuazioak aljebrakoak izan ziren; horretarako, hainbat polinomio berdindu ziren beren artean, balio ezezagunak argitzeko.
• Ekuazio diferentziala, ezezagunak deribatu moduan agertzen direnean;
• Integralen ekuazioa.
• Aplikazio jakina duten ekuazioak ere badaude, aplikazio horren izenarekin izendatzen direnak; adibidez, mugimendu-ekuazioak, denbora-ekuazioak.

Kanpo estekak

• Datuak: Q11345
• Multimedia: Equations