Poligono erregular

Poligono aldeberdina eta angeluberdina. Erpin guztiak zirkunferentzia berean ditu, konbexua da eta ordena bereko simetria-zentroa du.

Geometrian, poligono bat erregularra da, aldeberdina (alde guztiak luzera berekoak dira) eta angeluberdina (angelu guztiak neurri berekoak dira) bada.

Zirkunferentzia batean inskribatutako pentagono erregularra:
  • C = zirkunferentzia zirkunskribatuaren zentroa
  • V = poligonoaren erpin bat
  • L = poligonoaren alde bat
  • d = poligonoaren diagonal bat
  • r = zirkunferentzia zirkunskribatuaren erradioa
  • a = poligonoaren apotema

Poligono erregularrak bi motatakoak izan daitezke: ganbilak eta ahurrak (izar itxurakoak azken horiek, izar-poligono izenekoak).

Hiru eta lau aldeko poligono erregularrak triangelu aldeberdina eta karratua dira, hurrenez hurren; alde gehiagoko poligono erregularrak izendatzeko, erregular terminoa gehitzen da (pentagono erregularra, hexagono erregularra...).

Poligono erregularren elementuak Aldatu

  • Aldea (L): poligonoa osatzen duten zuzenkietako bakoitza
  • Erpina (V): poligono baten bi aldek elkar ebakitzen duten puntua
  • Zentroa (C): erpinetatik distantziakidea den puntua
  • Erradioa (r): poligonoaren zentroa eta erpin bat lotzen dituen zuzenkia
  • Apotema (a): aldearekiko elkarzuta den eta poligonoaren zentroraino doan zuzenkia
  • Diagonala (d): ondoz ondokoak ez diren bi erpin lotzen dituen zuzenkia
  • Perimetroa (P): alde guztien luzeren batura

Poligono erregularren propietateak Aldatu

  • Aurreko bi propietateetatik, eta kontuan hartuta aldeak berdinak direla, ondoriozta daiteke poligono erregular guztiek zirkunferentzia inskribatu bat daukatela, alde guztien erdiguneak barnetik ukitzen dituena. Hortaz, poligono erregularrak poligono ukitzaileak dira.
  • Poligono erregularretan, angelu zentralak eta kanpo-angeluak berdinak dira.

Poligono erregularren angeluak Aldatu

 
  α = angelu zentrala,
  β = barne-angelua,
  γ = kanpo-angelua

Angelu zentrala Aldatu

  • Poligono erregular baten angelu zentralak ( ) kongruenteak dira, eta haien neurria honela kalkula daiteke, poligonoaren alde kopuruaren (n) arabera:
  (gradu hirurogeitarretan)
  (radianetan)

Barne-angelua Aldatu

  • Poligono erregular baten barne-angelua ( ) honela kalkula daiteke:
  (gradu hirurogeitarretan)
  (radianetan)
  • Poligono erregular baten barne-angeluen batura ( ), beraz:
  (gradu hirurogeitarretan)
  (radianetan)

Kanpo-angelua Aldatu

  • Poligono erregular baten kanpo-angelua ( ) honela kalkula daiteke:
  (gradu hirurogeitarretan)
  (radianetan)
  • Poligono erregular baten kanpo-angeluen batura ( ), beraz:
  (gradu hirurogeitarretan)
  (radianetan)

Poligono erregular batzuk Aldatu

Oharra: Poligono erregularrak zenbat eta alde gehiago izan, orduan eta zirkunferentzia baten antz handiagoa izango du.

Poligono erregularraren azalera Aldatu

Poligono erregular baten azalera kalkulatzeko, ezagunak ditugun elementuen arabera, hainbat formula daude:

Azalera: perimetroaren eta apotemaren arabera Aldatu

 
Froga
 
  • Poligonoaren aldea L triangeluaren oinarria da, eta a apotema triangeluaren garaiera; beraz, triangeluaren azalera,  , hau da:
 
  • n aldeko poligonoak n triangelu ditu, eta guztizko azalera hau da:
 
  • L aldearen luzera bider n (alde kopurua) perimetroa denez gero, formula hau dugu:
 

Azalera: alde kopuruaren eta apotemaren arabera Aldatu

 
Froga
 
  • Hau jakinda:
 
  • eta   kontuan hartuta, angelu zentralaren erdia baita (radianetan).
 
  • Aldea azalerarako formulan ordezkatuta:
 
  • Azkenik:
 

Azalera: alde kopuruaren eta erradioaren arabera Aldatu

 
Froga
 
  • Trigonometriako formulak erabiliz, hau ondoriozta daiteke:
 
 
  • non angelu zentrala hau den:
 
  • Poligonoaren azalera hau denez:
 
  • eta lehen kalkulatutako aldea eta apotemaren balioak ordezkatuz, hau dugu:
 
  • Ordenatuta:
 
  • Trigonometrian, ezaguna da berdintza hau:
 
  • Emaitza hau da:
 
  • Edo beste era honetan:
 

Azalera: aldearen arabera Aldatu

 
Froga
 
  • Poligonoaren azalera hau denez:
 
  • Erabil dezagun   sinboloa "L" aldearen eta "r" erradioaren arteko angelua izendatzeko:
 
  • Definizioz, tangentearen balioa hau da (apotemaren eta aldearen arabera):
 
  • Apotema askatuz gero, hau dugu:
 
  • Adierazpen hori azaleraren formulara eramanda:
 

Laburpen-taula Aldatu

 
Pentagono erregular bat eraikitzen

Oharra: alde kopuru oso handia duen poligonoaren kasuan, barne-angeluek lauak izatera joko dute, aldea nulua izatera eta azalera π zenbakiaren baliorantz[1].

Alde, angelu
eta erpin kopurua
Poligonoa Irudia Barne-angelua Aldea[1] Azalera[1] Animazioa:
eraikitze grafikoa
erregela eta konpasa erabiliz
3 Triangelu aldeberdina   60° √3≅1,732 3/4·√3≅1,299 Eraikitze zehatza
4 Karratua   90° √2≅1,414 2 Eraikitze zehatza
5 Pentagonoa   108° ≅1,176 ≅2,378 Eraikitze zehatza
6 Hexagonoa   120° 1 3/2·√3≅2598 Eraikitze zehatza
7 Heptagonoa   ≅128,57° ≅0,868 ≅2,736 Gutxi gorabeherako
eraikitzea
8 Oktogonoa   135° ≅0,765 2·√2≅2,828 Eraikitze zehatza
9 Eneagonoa   140° ≅0,684 ≅2,893 Gutxi gorabeherako
eraikitzea
10 Dekagonoa   144° ≅0,618 ≅2,939 Eraikitze zehatza
11 Endekagonoa   ≅147,27° ≅0,563 ≅2,974 Gutxi gorabeherako
eraikitzea
12 Dodekagonoa   150° ≅0,518 3 Eraikitze zehatza
13 Tridekagonoa   ≅152,31° ≅0,479 ≅3,021 Gutxi gorabeherako
eraikitzea
14 Tetradekagonoa   ≅154,29° ≅0,445 ≅3,037 Gutxi gorabeherako
eraikitzea
15 Pentadekagonoa   156° ≅0,416 ≅3,051 Eraikitze zehatza
16 Hexadekagonoa   157,5° ≅0,390 ≅3,061 Eraikitze zehatza
17 Heptadekagonoa   ≅158,82° ≅0,367 ≅3,071 Eraikitze zehatza
34-gonoa, 51-gonoa
85-gonoa, 255-gonoa
18 Oktodekagonoa   160° ≅0,347 ≅3,078 Gutxi gorabeherako
eraikitzea
19 Eneadekagonoa   ≅161,05° ≅0,329 ≅3,085 Gutxi gorabeherako
eraikitzea
20 Ikosagonoa   162° ≅0,313 ≅3,090 Eraikitze zehatza
257 257-gonoa ≅178,6° ≅0,024 ≅3,141 Eraikitze zehatza
65.537 65.537-gonoa ≅179,9945° ≅0,000096 ≅3,1416 Eraikitze partziala

Erreferentziak eta oharrak Aldatu

  1. a b c Zirkunferentzia zirkunskribatuaren erradioak 1 balio duenean.

Kanpo estekak Aldatu