e (zenbakia)

konstante matematikoa, 2,718... balio duena. Zenbaki transzendente garrantzitsua da, ezaugarri bereziak baititu; besteak beste, ƒ(x) = e^x funtzioaren deribatua funtzioa bera da, logaritmo nepertarren oinarria da

e konstante matematikoa logaritmo naturalaren oinarria da. Bere lehenengo 29 dezimalen balioa hau da:

e = 2.71828 18284 59045 23536 02874 7135...

π eta unitate irudikaria (i) ostean e da matematiketan zenbakirik garrantzitsuenetariko bat.

Eulerrek (1707-1783) erabaki zuen e zenbakiaren ikurra letra horrek izan behar zuela.
John Napier (1550-1617) logaritmoen garatzailea.

Batzuetan e deitzeko Eulerren Zenbakia erabiltzen da, Leonhard Eulerren omenez. Beste batzuetan Napierren konstantea John Napier logaritmoen garatzailearen omenez.

« Harrigarria da zenbait zenbaki naturan ere aurkitzea, esate baterako π eta e zenbaki irrazionalak. Desintegrazio erradioaktiboan ere agertzen dira. Pentsatzeko ematen dute. Ezin dira digituen bidez adierazi. Zenbaki horiek idazten hasi eta inoiz ez duzu amaituko, infinitura zoaz, baina aldi berean logikoak dira. Eta logika hori aurki dezakegu bai gizakion baitan eta bai antza denez gizakiongandik aparte ere badagoen errealitatean. »

Jose Ramon Etxebarria[1]


DefinizioakAldatu

Definizio ugari ditu, baina e zenbakiaren hiru definiziorik garrantzitsuenak hauek dira:

  1. e limite moduan definitzen da:

 

  1. e serie infinitu baten batukari gisa definitzen da:

  non n! n-ren faktoriala den.

  1. e zenbaki erreal baten moduan definitzen da x > 0 denean:

  edo, x zenbaki bat non   hiperbola 1etik xera berdin 1 dena)

Hiru definizio horiek baliokideak direla frogatu da.

PropietateakAldatu

 
  ekuazioaren grafika. Hemen,   da 1 baino handiago izanik gune urdina den eremuaren azala 1 egiten duen zenbaki bakarra,.

ex funtzio esponentziala oso garrantzitsua da funtzio bakarra delako bere buruaren deribatua dena, eta beraz bere integrala da ere.

  eta
 , non C integratzeko konstante arbitrario bat den.

e aldi berean zenbaki irrazional eta zenbaki transzendentea da. Bereziki azkeneko honetan e izan zen bere transzendentzia frogatuta geratu zen lehen zenbaki naturala. e Eulerren formularen barruan agertzen da, matematiketako formularik garrantzitsuenetariko bat:

 

Aurreko honetan x = π denean, Eulerren identitatea izango dugu:

 

Formula honek matematiketan dauden bost zenbakirik garrantzitsuenak batzen ditu aldi berean: (0, 1, π, i eta e)

Hurrengo hau eren espantsiorako serie infinitu bat da:

 

Hurrengo hau eren espantsiorako serie infinitu jarraitu bat da:

 

e zenbaki aldi berean hurrengo serie infinituen batukaria da:

 
 
 
 
 
 
 
 

e produktu infinitu gisa ematen da Pippengerren produktuen forman:

 

eta era berean...

 

e sekuentzia infinitu askoren emaitza da:

  eta
  (Stirlingen formula).

eren hurbilketa bat urrezko zenbakia eta π erabiliz aldi berean honako hau da:

 

HistoriaAldatu

e konstantearen lehenengo erreferentziak 1618. urtean agertu ziren John Napierren apendize baten taulan. Hala ere berak ez zuen konstantea bera publikatu, baizik eta logaritmo naturalen kalkulu bat konstantetik kalkulatuta. Konstante moduan e zenbakiaren egin zen lehenengo aipamena Jacob Bernoullik egin zuen, ekuazio hau ebazterakoan:

 

Konstantearen lehengo erabilera ezaguna, b letrarekin eginda, Gottfried Leibniz eta Christiaan Huygensek egin zuten 1690. eta 1691. urteetan hurrenez hurren. Leonhard Euler izan zen lehenengoa e letra erabiltzen 1727an eta bere Mechanica lanean agertu zen lehen aldiz publikatuta. Hala ere urte haietan c letra ere erabili zen. e sinboloa erabiltzearen arrazoia esponente hitzaren lehenengo letra zela izan liteke, edo matematikan erabiltzen ez zen alfabetoko lehenengo letra zelako (a, b, c eta d letrak oso maiz agertzen ziren formula matematikoetan).[2]

Digitu dezimalen kopuru ezagunaAldatu

 
Poster bat e zenbakiaren lehen 10.000 digituak jasotzen dituena.
 
(1+1/n) eta (1+1/n) sekuentzien bidez e zenbakia kalkulatzeko diagrama

Azken hamarkadetan, asko handitu da ezagunak diren e-ren digitu dezimalen kopurua. Ordenagailuen errendimendua handitzeari eta hobekuntza algoritmikoei zor zaie hori.[3][4] Abiadura handiko mahaigaineko ordenagailuak ugaritzeak aukera eman du zale askok e-ren bilioi bat digitu kalkula ditzaten. 2019an 8 bilioi digitu kalkulatu ziren.[5]

Urte hartan e zenbakiaren zenbat digitu dezimal ezagutzen ziren?
Urtea Dezimal kopurua Nork
1690 1 Jacob Bernoulli[6]
1714 13 Roger Cotes[7]
1748 23 Leonhard Euler[8]
1853 137 William Shanks[9]
1871 205 William Shanks[10]
1884 346 J. Marcus Boorman[11]
1949 2,010 John von Neumann ( ENIAC konputagailuarekin)
1961 100,265 Daniel Shanks eta John Wrench[12]
1978 116,000 Steve Wozniak, Apple II konptagailu batekin[13]
2019 8,000,000,000,000 Gerald Hofmann

ErreferentziakAldatu

  1. Zapiain, Markos. (2018). Jose Ramon Etxebarria. Ingeniaria, irakaslea eta idazlea: "Pentsatzeko gaitasuna lortu duen materia-multzo bat gara". Deia. Ostadar gehigarria.
  2. Lakar Iraizoz, Oihane. (2007). «e zenbakiaren bila» Zientzia.eus (Elhuyar) . Noiz kontsultatua: 2020-08-30.
  3. Sebah, P. and Gourdon, X.; The constant e and its computation
  4. Gourdon, X.; Reported large computations with PiFast
  5. «e» www.numberworld.org . Noiz kontsultatua: 2020-08-30.
  6. Aipuaren errorea: Konpondu beharreko erreferentzia kodea dago orri honetan: ez da testurik eman Bernoulli, 1690 izeneko erreferentziarako
  7. Roger Cotes (1714) "Logometria," Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 29 (338) : 5–45; see especially the bottom of page 10. From page 10: "Porro eadem ratio est inter 2,718281828459 &c et 1, … " (Furthermore, by the same means, the ratio is between 2.718281828459… and 1, … )
  8. Leonhard Euler, Introductio in Analysin Infinitorum (Lausanne, Switzerland: Marc Michel Bousquet & Co., 1748), volume 1, page 90.
  9. William Shanks, Contributions to Mathematics, ... (London, England: G. Bell, 1853), page 89.
  10. William Shanks (1871) "On the numerical values of e, loge 2, loge 3, loge 5, and loge 10, also on the numerical value of M the modulus of the common system of logarithms, all to 205 decimals," Proceedings of the Royal Society of London, 20 : 27–29.
  11. J. Marcus Boorman (October 1884) "Computation of the Naperian base," Mathematical Magazine, 1 (12) : 204–205.
  12. doi:10.2307/2003813.
  13. .

Kanpo estekakAldatu