e (zenbakia)

konstante matematikoa, 2,718... balio duena. Zenbaki transzendente garrantzitsua da, ezaugarri bereziak baititu; besteak beste, ƒ(x) = e^x funtzioaren deribatua funtzioa bera da, logaritmo nepertarren oinarria da

e konstante matematikoa zenbaki irrazional garrantzitsuenetariko bat da. Bere balioa 2,71828 da eta matematikako adar desberdinetan agertzen da. Izan ere, e konstante matematikoa logaritmo nepertarraren oinarria da. Bere lehenengo 29 dezimalen balioa hau da:

e = 2.71828 18284 59045 23536 02874 7135...

Batzuetan, e zenbakiari Eulerren Zenbakia esaten zaio, Leonhard Eulerren omenez. Beste batzuetan, berriz, Napierren konstantea, John Napier logaritmo-garatzailearen omenez.

Zenbaki horrek garrantzi handia dauka kalkulu eta analisi matematikoan, hain zuzen ere, matematikako funtziorik garrantzitsuenean, hau da, funtzio esponentzialean, geometrian eta i (zenbaki irudikaria) analisi konplexuan eta aljebran den bezala.

Hasieran aipatu dugunez, e zenbakia zenbaki irrazional bat da , zenbakia eta urrezko zenbakia (φ) diren moduan. e zenbakia ezin da bi zenbaki osoren arteko zatidura gisa ezarri. Bestalde, zenbakia bezala, zenbaki transzendentea da, ez baita koefiziente arrazionalak dituen ekuazio aljebraiko baten erroa.

π eta unitate irudikaria (i) ostean, e da matematiketan zenbakirik garrantzitsuenetariko bat.

Eulerrek (1707-1783) erabaki zuen e zenbakiaren ikurra letra horrek izan behar zuela.
John Napier (1550-1617) logaritmoen garatzailea.
« Harrigarria da zenbait zenbaki naturan aurkitzea, esate baterako, π eta e zenbaki irrazionalak. Desintegrazio erradioaktiboan ere agertzen dira. Ezin dira digituen bidez adierazi. Zenbaki horiek idazten hasi eta inoiz ez duzu amaituko, infinitura zoaz, baina aldi berean logikoak dira. Eta logika hori aurki dezakegu bai gizakion baitan eta baita gizakiongandik aparte dagoen errealitatean ere. »

Jose Ramon Etxebarria [1] [2]


HistoriaAldatu

  zenbakiaren aurkikuntza   zenbakiarenarekin alderatuta, duela gutxikoa dela esan daiteke. Izan ere,   zenbakiaren aurkikuntzak jatorri analitikoa du eta   zenbakiarenak, aldiz, geometrikoa.

Konstante horren inguruko lehen aipamenak 1618an argitaratu ziren, John Napier[3]-ek egindako logaritmoen inguruko lan bateko taula batean. Berez, taula horretan ez zen agertzen   zenbakiaren benetako baliorik, zenbaki horretatik abiatutako logaritmo natural batzuen kalkuluak baizik. Taula horren egilea Willian Oughtred dela esaten da. Urte batzuk geroago, 1624an,   zenbakia matematikako literaturan aipatu zen berriro. Urte horretan, Briggs-ek 10 oinarriko logaritmoekin lortutako hurbilketa bat eman zuen, baina bere lanean ez zuen   zenbakiaren izenik zehaztu.

  zenbakiaren ondorengo agerpena zalantzazkoa da. 1647an Saint Vicent-ek hiperbola angeluzuzenaren azpiko azalera kalkulatu zuen. Kalkulatutako azalerak logaritmoekin zuen erlazioa ez zen oso fidagarria, ez baitzegoen arrazoi garbirik   zenbakiarekin lotuta egoteko. Urte batzuk geroago, 1661ean, Huygens-ek hiperbolaren azalera eta logaritmoen arteko erlazioa aztertu zuen   kurbaren inguruko problema lantzean.

Hala ere,   zenbakiaren aurkikuntza ez dator logaritmoetatik, Jacob Bernoulli matematikari ezagunak 1683an egindako kapitalizazio konposatuaren  inguruko lanetik baizik. Moneta unitate (MU)  bat inbertitzen bada urteko % 100eko interesarekin eta interesak urtean behin ordaintzen badira, 2 MU lortuko genituzke. Interesak urtean bi aldiz ordaintzen badira, eta interes hori birekin zatitzen bada, lortutako emaitza   da. Urtea lau zatitan zatitzen badugu eta aurreko prozesua errepikatuz, honako hau lortuko genuke:   … Era berean, urtea hamabi hilabetetan banatuz gero, hau da, interesa hilero ordainduz gero, emaitza hau lortuko genuke:  … Beraz, urteko interesak ordaintzeko epea handitzean, eta interes tasa txikitzean, moneta-unitatearen honako adierazpen hau lortuko genuke, n periodoa izanik eta   interes tasa:

 

Bernoullik azken limitearen balioa bi eta hiru artean zegoela frogatzeko, newtonen binomioa erabili zuen. Esan daiteke, limitearen balioa bi eta hiru artean egotea dela   zenbakiaren inguruko lehen hurbilpena. Gainera, adierazpen hori   zenbakiaren definiziotzat hartuz gero, limite baten bidez adierazten den lehen zenbakiaren definizioa izango litzateke. Bernoullik ez zuen bere lanaren eta logaritmoen arteko erlaziorik zehaztu. Hortik dator finantza-arloan ematen den   zenbakiaren definizioa:   zenbakia, urteko %100eko interes-tasa konposatua duen MU baten inbertsioaren limitea da. Modu orokorrago batean, K kapital bateko inbertsioak eta R urteko interes tasak   interes konposatua du.

Konstantearen lehen erabilera 1690koa da, izan ere, Gottfried Leibniz-ek Christian Huygens-i bidalitako gutun batean zenbaki hau b letraz adierazi zuen. Leonhard Euler izan zen konstantea adierazteko   letra erabiltzen hasi zen lehenengoa 1727an eta publikoki lehen aldiz 1936an egin zen ezaguna Eulerren liburu batean. Nahiz eta ondorengo urteetan ikertzaile batzuk c letra erabili zuten konstantea adierazteko,   erabiltzea zen ohikoena, ondorioz, zenbakiaren adierazpen ofizialtzat hartu zen. 1748an, Eulerrek Introductio in analysin infinitorum liburua argitaratu zuen eta bertan   zenbakiarekin lotutako informazio guztia bildu zuen. Adibidez, honako hau frogatu zuen:

 

Honela,   zenbakiaren hurbilpen bat eman zuen 18 hamartarrekin. Horrez gain, zatiki jarraituen egituran ere   zenbakiaren definizioa eman zuen. Azken karakterizazio horrekin ondorioztatu zen   zenbakia zenbaki irrazionala zela, eta beraz, ikerkuntza honengatik, matematika-adituen komunitateak dio Euler izan zela propietate hau frogatu zuen lehena.

Bestalde,   zenbakiarekin gertatu ez zen bezala, orokorrean ez zen   zenbakiaren hamartarrak aurkitzeko interesik agertu. Baina, matematikari batzuei hamartar horiek aurkitzeko grina piztu zitzaien eta 1854an lan hori egiten hasi zen lehena William Shanks izan zen. Esan beharra dago Shanks bera izan zela gehien saiatu zena   zenbakiaren hamartar desberdinak aurkitzen. James Whitbread Lee Glainser matematikariak frogatu zuen Shanks-ek ikertutako lehen 137 zenbaki hamartarrak zuzenak zirela, baina akats bat aurkitu zuen, nahiz eta gero Shanks-ek zuzendu eta 205 zifra hamartarretara iritsi. Izan ere, 200 hamartar lortzeko, 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + … moduko 120 termino inguru behar dira.

Boorman-ek 1884an egindako lanei esker, zenbaki hamartarren aurkikuntzek gora egin zuten eta 346 hamartar inguru kalkulatu zituen Boorman-ek. Kalkuluak egin ostean, ohartu zen berak aurkitutako lehen 187 hamartarrak eta Shanks-ek aurkitutakoak berdinak zirela, baina, gero, dibergitu egiten zutela. 1887an, Adams-ek  -ren logaritmoa 10 oinarrian hurbildu zuen 272 zifra zehatzekin.

1873an, Charles Hermitek   zenbakia transzendentea dela frogatu zuen. Lorpen hau polinomio bat erabiliz lortu zuen, Lambert-ek landutako zatiki jarraituen laguntzaz. David Hilbert-ek lehen frogapenak egin zituen egindako ikerketa guztien inguruan[4].

DefinizioakAldatu

Definizio ugari ditu, baina e zenbakiaren hiru definiziorik garrantzitsuenak hauek dira:

 
x-ren eta y=1/x-ren arteko azalera x=1 eta x=e artean 1 da.
  1.     segidaren limite moduan definitzen da:[5]  
  2.   serie infinitu baten batukari gisa definitzen da:   non n! n-ren faktoriala den.
  3.   zenbakia   ekuazioaren soluzioa da[6]. Hau da,   honela definitzen da:  .

Hiru definizio hauek baliokideak direla frogatu da.

Propietate matematikoak eta horien aplikazioakAldatu

Analisi matematikoakAldatu

Funtzio esponentzialaAldatu

Edozein   -rako  segida konbergentea da. Limite hau   modura idatz dezakegu:

    Funtzio esponentziala, funtzio erreal bati deritzo non bere aldagai independenteak   osoa zeharkatzen duen. Honako hau da:

 

Funtzio esponentzialaren ezaugarri nagusia da funtzioa eta bere deribatua berdinak izatea.

 

Gainera, deribatua  -ko puntu guztietan existitzen da.

Deribatuaren ezaugarri horretatik ondorioztatzen da funtzio esponentzialaren integrala eta funtzioa berdinak direla.

  non C integraleko konstante bat den.

Gainera, deribatuaren propietate hori betetzen duen funtzioa bakarra da edozein   baliorako zero balioa hartuko ez duena (edozein    ). Horregatik, analisi matematikoko funtzio garrantzitsuena da; bereziki, ekuazio diferentzialetarako.

  funtzioaren seriea, Maclauriren formula bidez lortzen da.

  (1)

  (2)

Maclauriren formula   denez, aurreko (1) eta (2) berdintzak kontuan hartuz, honako hau dugu:


 


  hartuz, e zenbakiaren hurbilpen bat lortzen da,


 

non ≈ -k balio hurbildua adierazten duen.[7]

Steiner-en problemaAldatu

 
 -ren maximo absolutuko puntua   da.

Steiner-en problemaren helburua da,   funtzioaren maximo absolutua aurkitzea. Maximo absolutua,   zenbakia da hain zuzen.[8]

Bestalde,     funtzioaren minimo absolutua da   kasurako.

Azken funtzio hori orokortuz,   funtzioaren maximo absolutua   puntua da   kasurako, eta minimo absolutua      denean.


Leonhard Euler-en teorema batetik ondokoa ondorioztatzen da:[9][10]

Tetrazio infinitua

 edo  

konbergentea da baldin eta soilik baldin   betetzen bada.

Zenbaki konplexuakAldatu

  Euler-en formulan zenbaki konplexuekin erlazionatuta agertzen den zenbaki garrantzitsuenetarikoa da.

 

Aurreko honetan   denean, Eulerren identitatea izango dugu:

 

Hemendik, hau ondorioztatzen da:

 

Gainera, esponentzialaren legeak aplikatuz, honako hau lor dezakegu:

 

Hau, De Moivre-ren formula da.

Harvard-eko irakaslea den Benjamin Peirce-k ezagutarazi zuen formula hau, eta aditzera eman zuen, formulak aldi berean matematikan dauden bost zenbakirik garrantzitsuenak (0, 1, π, i eta e) batzen dituela.[11]

Probabilitatea eta estatistikaAldatu

  zenbakia probabilitate-teoriaren aplikazioetan ere agertzen da. Horren adibide da subfaktorialaren problema, neurri batean Jacob Bernoulli-k Pierre Raymond de Montmort-en laguntzaz aurkitua, Txapelen problema ere deitzen zaio:[12] Festa bateko   gonbidatuk diskoteka bateko sarreran beraien txapelak maiordomoari uzten dizkiote; honek, gonbidatu bakoitzaren izena duten   konpartimentu desberdinetan uzten ditu txapelak. Baina maiordomoak gonbidatuak ezagutzen ez dituenez, txapelak modu aleatorioan uzten ditu konpartimentuetan. De Montmort-en probleman, hain zuzen, txapel bakoitza dagokion konpartimentuan kokatuta ez egoteko probabilitatea kalkulatzen da. Probabilitate hori ondorengoa da:

  .

Gonbidatu kopuruak ( ) infinitura jotzean,   balioa  -ra hurbilduko da  . Are gehiago,  -ren gertueneko zenbaki arrunta da txapel guztiak dagokien konpartimentuetan kokatuta ez egoteko aukera kopurua .[13]


Azken emaitza hau, beste modu honetan ere defini daiteke: izan bedi   ausazko funtzio batek puntu finko bat izateko probabilitatea non n { } den. Orduan,

 


Probabilitatean, ondorengo probleman ere ageri da   zenbakia: izan bitez     [0,1] tarteko banaketa uniformea duten ausazko aldagaien segida bat, eta N,   desberdintza betetzen deneko   zenbaki txikiena:

 

Orduan, N-ren itxaropena   da[14]. Emaitza horrekin, konstantearen balioa estima dezakegu ausazko simulazioak eginez.[15]

Azkenik, esan beharra dago   zenbakiak matematikako arlo honetan agerpenik garrantzitsuena duela μ batezbestekoa eta σ desbideratze estandarreko banaketa normalaren probabilitatearen dentsitate-funtzioan; hau, gauss-en integraletik lortzen da:[16]

 

Zenbaki teoriaAldatu

Bi lotura hauek zenbaki lehenen teoremaren korolarioak dira.[17]

 

non   n. zenbaki lehena eta   n.zenbaki lehenaren eta   baino zenbaki lehen txikiagoen arteko biderkadura diren.

 

non   n baino zenbaki lehen txikiagoen kontagailua den.

GeometriaAldatu

 
α[Betiko hautsitako esteka] angeluko espiral angeluberdina

  zenbakia planoko kurba jakin bati lotutako kantitateen arteko zatidura gisa interpreta daiteke,   zenbakia bezala. Izan bedi   kurba bat non jatorritik datorren edozein zuzenerdik kurba mozten duen   radianeko angelua osatuz.[18][19] Radian bateko banaketa angeluarra duten bi puntu hartzen baditugu, P1 eta P2, eta   definituz, orduan,

 

Formula hori lortzeko radian bat neurtu behar denez, konplexua dela iruditu daiteke. Baina zirkunferentzia bat zuzen baten gainean mugitzen badugu, oso erraz lor daiteke. Aurretik aipatutako propietatea duen kurba, espiral logaritmikoa da, eta kurba horrek angelu guztiak berdinak dituenez, erraz egiazta daiteke koordenatu polarretako bere ekuazioa ondorengoa dela:

 

Espiral logaritmikoak   -ko angelua badu, koodenatu polarretako ekuazioa   da.

Irrazionalitatea eta traszendentziaAldatu

  zenbakia irrazionala denez, ezin da bi zenbaki osoren arteko zatidura gisa idatzi.[20] Horixe frogatu zuen 1737an Euler-ek. Frogapen horretan, Eulerrek   zatiki jarraitu gisa jarri zuen, horrela, infinitua izatean, bazekien ez zegokiola zenbaki arrazional bati. Hala ere, frogapen ezagunena Fourier-ek egindakoa izan zen, eta zenbaki-seriearen garapenean oinarritu zen horretarako. 1768an J.H. Lambert-ek   irrazionala zela frogatu zuen   zenbaki arrazional positiboa izanik.

Gainera,   zenbakia zenbaki traszendentea da, hau da, ez da koefiziente osoak dituen polinomio baten erroa. Zenbaki traszendentetzat hartu zen lehenengo zenbakia izan zen eta Charles Hermitek frogatu zuen mota horretako zenbakia zela.

e zenbakia duten formulakAldatu

Hona hemen   zenbakia barne hartzen duten formula batzuk:

 [21]

 

 

 

  formula hau   identitatetik lortzen da.


 

 


Euler-en formula:  

Stirling-en formula:  

Gosperren formula:  


  zenbakiaren hurbilketa bat, aldi berean urrezko zenbakia eta π erabiliz, honako hau da:

 

e zenbakiaren adierazpenaAldatu

  zenbakia, zenbaki erreal gisa hainbat modutan adieraz daiteke: serie infinitu, biderkadura infinitu, zatiki jarraitu eta segida baten limite bezala.

Limite gisaAldatu

  zenbakiaren definizioa:  

1975ean, Felix A. Keller suitzarrak limite simetrikoa lortu zuen:[22] [23] 

Stirling-en formulatik ondorengoa lortzen da:  

 [24]

  n. zenbaki lehena eta   n. zenbaki lehenaren eta   baino zenbaki lehen txikiagoen arteko biderkadura izanik,   frogatu zen.

Azkenik,   adierazpena lortu zen   n baino zenbaki lehen txikiagoen kontagailua izanik.

Serie edo batura infinitu gisaAldatu

 
 
 
 
  non   Bell-en n. zenbakia den.

Azkeneko karakterizazioaren adibide batzuk:

 
 
 
 
 
 

Biderkadura infinitu gisaAldatu

  zenbakia <<Wallisen erako>> biderkadura infinitu gisa ere adieraz daiteke hainbat modutan:[25]

Pippenger-en biderkadura:[26][27]

 

Catalán-en biderkadura:

 

eta Guillera-ren biderkadura:[28][29]

 
n. faktorea n. erroa izanik
 

eta azkenik, biderkadura infinitu gisa

 

Zatiki jarraitu gisaAldatu

  zenbakiaren hamartarrek ez dute patroi erregular bat jarraitzen. Hala ere, normalizatu daitezkeen zatiki jarraituei esker, zatiki jarraitu normalizatu gisa lor dezakegu:

 

eta   moduan idazten da. Azken propietate hau Leonhard Euler-ek[30] lortu zuen. Zatiki jarraitu ez normalizatuaren adierazpena, berriz,   da.

Bi kasutan, argi ikusten da   zenbakiaren hamartarrek ez dutela patroi bat jarraitzen.

Digitu dezimalen kopuru ezagunaAldatu

 
Poster bat e zenbakiaren lehen 10.000 digituak jasotzen dituena.
 
(1+1/n) eta (1+1/n) sekuentzien bidez e zenbakia kalkulatzeko diagrama

Azken hamarkadetan, asko handitu da ezagunak diren   zenbakiaren digitu dezimalen kopurua. Ordenagailuen errendimendua handitzeari eta hobekuntza algoritmikoei zor zaie hori.[31] [32]1949an, J. Von Neumann eta bere taldeak ENIAC erabili zuten 2010 hamartar lortzeko.

1961ean, D. Shanks eta J.W. Wrecnch-ek 2,5 ordu behar izan zituzten 100.265 hamartar lortzeko Eulerren formularekin. 1994an, R.Nemiroff eta J.Bonellek 10.000.000 hamartar topatu zituzten.

Azken hamarkadetan, ordenagailuek hamartar kopuru handiak dituzten zenbakiak lortu dituzte. 2000. urtean, esaterako, Pentium III 800 ordenagailuko PiFast33 programa erabiliz, 12884901000 zifra hamartar lortu ziren eta hau lortzeko 167 ordu behar izan zituzten.

Urte bakoitzean ezagutzen ziren e zenbakiaren hamartar kopurua eta nork lortu zuen kopuru hori
Urtea Dezimal kopurua Nork
1690 1 Jacob Bernoulli
1714 13 Roger Cotes[33]
1748 23 Leonhard Euler[34]
1853 137 William Shanks[35]
1871 205 William Shanks[36]
1884 346 J. Marcus Boorman[37]
1949 2,010 John von Neumann ( ENIAC konputagailuarekin)
1961 100,265 Daniel Shanks eta John Wrench[38]
1978 116,000 Steve Wozniak, Apple II [39]konptagailu batekin
1994 10000000 Robert Nemiroff eta Jerry Bonnell[40]
1997ko maiatza 18199978 Patrick Demichel
1997ko abuztua 20 000 000 Birger Seifert
1997ko iraila 50 000 817 Patrick Demichel
1999ko otsaila 200 000 579 Sebastián Wedeniwski
1999ko urria 869 894 101 Sebastián Wedeniwski
1999ko azaroaren 21a 1 250 000 000 Xavier Gourdon
2000ko uztailaren 10a 2 147 483 648 Shigeru Kondo eta Xavier Gourdon
2000ko uztailaren 16a 3 221 225 472 Colin Martin eta Xavier Gourdon
2000ko abuztuaren 2a 6 442 450 944 Shigeru Kondo eta Xavier Gourdon
2000ko abuztuaren 16a 12 884 901 000 Shigeru Kondo eta Xavier Gourdon
2003ko abuztuaren 21a 25 100 000 000 Shigeru Kondo eta Xavier Gourdon
2003ko irailaren 18a 50 100 000 000 Shigeru Kondo eta Xavier Gourdon
2007ko apirilaren 27a 100 000 000 000 Shigeru Kondo eta Steve Pagliarulo
2009ko maiatzaren 6a 200 000 000 000 Shigeru Kondo eta Steve Pagliarulo
2010eko otsailaren 21a 500 000 000 000 Alexander J. Yee
2010eko uztailaren 5a 1 000 000 000 000 Shigeru Kondo eta Alexander J. Yee
2015eko ekainaren 24a 1 400 000 000 000 Matthew Hebert[41]
2019 8,000,000,000,000 Gerald Hofmann

Lehenengo ehun hamartarrakAldatu

  zenbakiaren lehenengo 100 hamartarrak ondorengoak dira:

                   

e zenbakiaren inguruko auzi batzukAldatu

  • Ez dakigu e 10 oinarrian edo beste oinarriren batean normala den. Hau da, sistema hamartarraren hamar digituetako bakoitzak hedapen hamartar batean agertzeko probabilitate bera duen ala ez.
  • Ez dakigu   traszendentea den.
  • Ez dakigu   eta   irrazional ak diren. Baina jakina da ez direla 9 baino txikiagoko maila duten eta 109 ordeneko koefiziente osoak dituzten polinomioen erroak.[42]

ErreferentziakAldatu

  1. «JOSE RAMON ETXEBARRIA, INGENIARIA, IRAKASLEA ETA IDAZLEA “Pentsatzeko gaitasuna lortu duen materiamultzo bat gara”» eu.wikisource.org (Noiz kontsultatua: 2021-03-05).
  2. Zapiain, Markos. (2020-02-05). «“Pentsatzeko gaitasuna lortu duen materiamultzo bat gara” JOSE RAMON ETXEBARRIA, INGENIARIA, IRAKASLEA ETA IDAZLEA» www.noticiasdegipuzkoa.eus (Noiz kontsultatua: 2021-03-04).
  3. O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F.. MacTutor History of Mathematics archive. University of St Andrews..
  4. Pro Mathematica (Lima: PUCP) IV7-8 ISSN 1012-3938..
  5. Arias, José María, 1948-. (D.L. 2009). Matemáticas 1, Bachillerato ciencias y tecnología. Bruño ISBN 978-84-216-5985-4. PMC 733850234. (Noiz kontsultatua: 2020-11-13).
  6. (Gaztelaniaz) Spivak, Michael. Cálculo Infinitesimal 2.ª edición. Reverté, 465 or. ISBN 8429151362..
  7. «Supplementum Epigraphicum GraecumSivrihissar (in vico). Op. cit. Op. cit. 334, n. 19.» Supplementum Epigraphicum Graecum (Noiz kontsultatua: 2020-11-13).
  8. Dörrie, Heinrich, 1873-1955,. 100 great problems of elementary mathematics : their history and solution. ISBN 978-0-486-61348-2. PMC 487523. (Noiz kontsultatua: 2020-11-13).
  9. (Latinez) Leonhard, Euler. (1783). De serie Lambertina Plurimisque eius insignibus proprietatibus. Acta Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae, 29-51 or..
  10. Aiton, E.J.. (1978-03). «Leonhardi Euleri Opera Omnia. Series Secunda: Opera Mechanica. Volume XX: Commentationes mechanicae et astronomicae ad scientiam navalem pertinentes. Walter HabichtLeonhardi Euleri Opera Omnia. Series Tertia: Opera physica miscellanea epistolae. Volume IX: Commentationes opticae. Walter Habicht , Emil Alfred Fellmann» Isis 69 (1): 129–130. doi:10.1086/351979. ISSN 0021-1753. (Noiz kontsultatua: 2020-11-13).
  11. Kasner, Edward, 1878-1955.. (2007). Matemáticas e imaginación. (1a ed. en Qed. argitaraldia) CONACULTA, Direccion General de Publicaciones ISBN 978-970-35-1300-0. PMC 476883399. (Noiz kontsultatua: 2020-11-13).
  12. Grinstead, Charles M. (Charles Miller), 1952-. (1997). Introduction to probability.. (2nd rev. ed.. argitaraldia) American Mathematical Society ISBN 0-8218-0749-8. PMC 36511474. (Noiz kontsultatua: 2020-11-13).
  13. Ervin Knuth, Donald. (1997). The Art of Computer Programming. Addison-Wesley Professional, 183 or. ISBN 9780321635747..
  14. Txantiloi:In Ma, Dan. (2015). A randomized definition os the natural logarithm constant. Probability end Stats.
  15. Estimating the Value of e by Simulation. The American Statistician, 66-68 or..
  16. Weisstein, Eric. (2007-08-07). «Making MathWorld» The Mathematica Journal 10 (3) doi:10.3888/tmj.10.3-3. ISSN 1097-1610. (Noiz kontsultatua: 2020-11-13).
  17. S. M. Ruiz 1997
  18. de Bray, M. E. J. Gheury. (1923-03). «Exponentials Made Easy or The Story of 'Epsilon'» The Mathematical Gazette 11 (163): 278. doi:10.2307/3602212. ISSN 0025-5572. (Noiz kontsultatua: 2020-11-15).
  19. Théodore, Olivier. (1845). «Quelques applications des projections coniques ou centrales et des projections cylindriques». Complements de geometrie descriptive.. París: Carilian-Goeury et Dalmont, 445 or..
  20. Sondow, Jonathan. (2006-08-01). «A Geometric Proof that 𝑒 Is Irrational and a New Measure of Its Irrationality» The American Mathematical Monthly 113 (7): 637. doi:10.2307/27642006. ISSN 0002-9890. (Noiz kontsultatua: 2020-11-15).
  21. Brothers, Harlan J.. (). «Improving the Convergence of Newton's Series Approximation for e» The College Mathematics Journal 35 (1): 34-39. doi:10.2307/4146881. ISSN 0746-8342. (Noiz kontsultatua: 2020-11-15).
  22. Brothers, Harlan J.; Knox, John A.. (1998-09). «New closed-form approximations to the logarithmic constant e» The Mathematical Intelligencer 20 (4): 25–29. doi:10.1007/bf03025225. ISSN 0343-6993. (Noiz kontsultatua: 2020-11-15).
  23. Khattri, Sanjay Kumar. (2010-07-12). «From Lobatto Quadrature to the Euler Constante» PRIMUS 20 (6): 488–497. doi:10.1080/10511970802509682. ISSN 1051-1970. (Noiz kontsultatua: 2020-11-15).
  24. y otros, V.Vodney. (1995). Fórmulas matemáticas fundamentales. Euro Omega, Madrid.
  25. http://arxiv.org/ftp/arxiv/papers/1005/1005.2712.pdf. .
  26. (Ingelesez) Weisstein, Eric W.. «Pippenger Product» mathworld.wolfram.com (Noiz kontsultatua: 2020-11-15).
  27. Pippenger, Nicholas. (1980-05). «An Infinite Product for e» The American Mathematical Monthly 87 (5): 391–391. doi:10.1080/00029890.1980.11995044. ISSN 0002-9890. (Noiz kontsultatua: 2020-11-15).
  28. Sondow, Jonathan. (2005-10-01). «A Faster Product for $\pi$ and a New Integral for ln $\frac{\pi}{2}$» The American Mathematical Monthly 112 (8): 729. doi:10.2307/30037575. ISSN 0002-9890. (Noiz kontsultatua: 2020-11-15).
  29. Guillera, Jesús; Sondow, Jonathan. (2008-07-12). «Double integrals and infinite products for some classical constants via analytic continuations of Lerch’s transcendent» The Ramanujan Journal 16 (3): 247–270. doi:10.1007/s11139-007-9102-0. ISSN 1382-4090. (Noiz kontsultatua: 2020-11-15).
  30. [http://dx.doi.org/10.1090/spec/052/36 «Who Proved 𝑒 is Irrational? (February 2006)»] Spectrum: 185–190. 2007 doi:10.1090/spec/052/36. ISSN 2638-6909. (Noiz kontsultatua: 2020-11-15).
  31. Saouter, Yannick; Gourdon, Xavier; Demichel, Patrick. (2011). «An improved lower bound for the de Bruijn-Newman constant» Mathematics of Computation 80 (276): 2281–2281. doi:10.1090/s0025-5718-2011-02472-5. ISSN 0025-5718. (Noiz kontsultatua: 2020-11-15).
  32. Reported large computations with PiFast. .
  33. Roger Cotes (1714) "Logometria," Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 29 (338) : 5–45; see especially the bottom of page 10. From page 10: "Porro eadem ratio est inter 2,718281828459 &c et 1, … " (Furthermore, by the same means, the ratio is between 2.718281828459… and 1, … )
  34. Leonhard Euler, Introductio in Analysin Infinitorum (Lausanne, Switzerland: Marc Michel Bousquet & Co., 1748), volume 1, page 90.
  35. William Shanks, Contributions to Mathematics, ... (London, England: G. Bell, 1853), page 89.
  36. William Shanks (1871) "On the numerical values of e, loge 2, loge 3, loge 5, and loge 10, also on the numerical value of M the modulus of the common system of logarithms, all to 205 decimals," Proceedings of the Royal Society of London, 20 : 27–29.
  37. J. Marcus Boorman (October 1884) "Computation of the Naperian base," Mathematical Magazine, 1 (12) : 204–205.
  38. doi:10.2307/2003813..
  39. Wozniak, Steve. (1981). The Impossible Dream: Computing e to 116,000 Places with a Personal Computer. BYTE, 392 or..
  40. Bonnell, Jerry, Nemiroff, Robert;. The Number e to 1 Million Digits. .
  41. A list of notable large computations of e
  42. Bailey, David H.. (1988-01). «Numerical Results on the Transcendence of Constants Involving π, e, and Euler's Constant» Mathematics of Computation 50 (181): 275. doi:10.2307/2007931. (Noiz kontsultatua: 2020-11-15).

Ikus, gaineraAldatu

Kanpo estekakAldatu

..