Azalera espazio metriko bat da, eta, haren bidez, gainazal baten neurria kalkula daiteke. Matematikan, azalera neurtzeko unitatea metro karratua da (). Azalerak luzera neurri baten zehaztasuna eskatzen du.[1] Azalera txukuna ez delakoan zenbaitzuk eremu eta luze-zabal izenak hobetsi izan dituzte.[2]

Azalera kontzeptua intuitiboagoa da gainazal lauak erabiltzen badira. Edozein gainazal lau, hau da, edozein poligono, hirukitan banatu daiteke, eta beraz, gainazal horren azalera kalkula daiteke gainazal hori banatzen duten hiruki guztien azaleren batura egiten bada.[3] Azalera hitza izaria adierazteko baino ez da erabiltzen; bestetarako azal (leun, zakar...), gainazal, eremu (lurralde batena, adib.) eta abar daude.[2][4]

Gainazal kurbatuen azalera kalkulatu ahal izateko, ezinbestekoa da geometria diferentzialeko metodoak erabiltzea. Gainazal orokor baten azalera kalkulatzeko, aldiz, gainazal horren tentsore metriko bat definitu behar da; gainazala espazio euklidear baten barnean badago, gainazal horrek metrika euklidearraren bidez induzitutako egitura metriko arrunta hartzen du.

HistoriaAldatu

Antzinatik uste izan da azalera irudi geometriko baten barruko eskualdearen tamaina ematen duen neurria dela. Antzinako Egipton, urteroko Nilo ibaiko uraldien ondoren eta eragindako uholdeen ondorioz, nekazaritza lursail bakoitzaren azalera kalkulatzeko beharra agertu zen, lursail mugak berrezartzeko. Arazo honi konponbidea aurkitu nahian, Egiptoarrek geometria sortu zuten.[5]

Poligono baten azalera triangeluen azaleren batura gisa kalkulatzeko metodoa, lehen aldiz Antifón greziar jakintsuak proposatu zuen, K.a 430. urtearen inguruan. Irudi kurbadun baten azalera kalkulatzeak zailtasun gehiago sortzen du. Metodo exhaustiboa poligonoak irudi geometrikoan zirkunskribatzean eta inskribatzean datza, poligono horien alde kopurua handitzean eta azalera kalkulatzean.

Eudoxo-ren metodo exhaustibo deritzon izenez ezagutzen den sistemarekin, zirkuluaren azalera kalkulatzeko hurbilketa lortu zuen. Sistema hori, geroago Arkimedes-ek erabili zuen, antzeko problemak ebazteko,[6] hala nola pi zenbakiaren balioaren hurbilketa.

Gainazal lauen azalera:Aldatu

Hirukien azaleraAldatu

Hirukien azalera da hiruki horren oinarriaren eta altueraren arteko biderketaren erdia, hau da:[7]

 ,

non b baita hirukiaren oinarria, eta h, hirukiaren altuera (edozein alde oinarritzat har daiteke).

Triangelua angeluzuzena bada, altuerak eta katetoak balio bera dute; beraz, azalera formula honen bidez adieraz daiteke:

 ,

non triangeluaren katetoak diren a eta b.

Aldeen luzera ezagutzen bada, Heron-en formula erabil daiteke:

  ,

non a,b eta c baitira aldeen luzera-balioak, eta   , hirukiaren perimetroerdia.

Triangelua aldekidea bada, horren azalera formula honek adierazten du:

 ,

non hirukiaren alde baten luzera den a.

Laukien azaleraAldatu

Trapezoide edo lauki baten azalera haren diagonalen arteko distantziek eta hauek eratzen duten angeluaren sinuaren arteko biderkadura zati bi da.

 

Azalera triangulazioaren bitartez ere lor daiteke :

 ,

non   baita a eta d aldeen arteko angelua, eta   , b eta c aldeen arteko angelua.

Laukizuzena paralelogramo bat da, eta haren angelu guztiak   gradukoak dira. Azalera laukizuzenaren aldameneko bi aldeen arteko biderkadura da:

 

Erronboa lau aldeak berdinak dituen paralelogramo bat da. Haren azalera erronboaren bi diagonalen distantziaren biderkadura zati bi da:

 

Laukia lau aldeko poligono erregularra da, eta, aldi berean, laukizuzena eta erronboa. Beraz, haren azalera horien antzera kalkulatzen da. Hala ere, haren aldeak berdinak direnez, honako formula hau erabiltzen da bereziki:

 ,

Erronboidearen azalera haren alde baten eta altueraren arteko biderketaren bidez kalkulatzen da:

 ,

non b alde baten luzera eta h altuera diren.

Trapezioak bi alde elkarrekiko paralelo eta bi alde elkarrekiko ez-paralelo ditu. Haren azalera bi alde elkarrekiko paraleloen batezbestekoa  bider euren arteko distantziaren ( altuera) bitartez kalkulatzen da:

 

Zirkuluaren eta elipsearen azaleraAldatu

Zirkulu baten azalera, edo zirkunferentzia batek mugatutako azalera, honako formula matematikoaren bitartez kalkulatzen da:[8]

 

Elipse batek mugatutako azalera zirkuluaren azaleraren antzekoa da, eta ardatzerdi handiaren, txikiaren eta  -ren arteko biderkaduraren bitartez kalkulatzen da:[9]

 

Bi funtziok mugatutako azaleraAldatu

Bi funtziok mugatutako azalera kalkulatzeko modu bat kalkulu integrala erabiltzea da:

 
Bi[Betiko hautsitako esteka] funtziok mugatutako azalera

  (A formula)

Integral horren emaitza   eta   funtzioek osatutako azalera izango da [a,b] tartean.

ADIBIDEA

X ardatzak eta   funtzioak mugatutako azalera kalkulatu nahi bada [-2,2] tartean, A formula erabili behar da. Kasu honetan,   izanik, honako emaitza lortzen da:

 

Beraz, mugatutako azalera   da.

Bi funtziok mugatutako bolumena integralaren kalkuluaren bitartez lor daiteke.

Azaleraren eta perimetroaren arteko loturaAldatu

Plano euklidear batean  kurba itxi eta sinple bat emanda, froga daiteke azalera itxi baten perimetroak edo luzerak eta azalera itxiak berak honako lotura hau dutela:

 

Zirkuluaren kasuan berdintza betetzen da, eta gainerako irudietan, desberdintza hertsia.

Gainazal kurbatuen azaleraAldatu

Gainazal kurbatuaren azalera konplexuagoa da eta orokorrean idealizazio edo limite motaren bat egin behar da neurtzeko:

  • Gainazala garagarria denean, zilindro baten edo kono baten aldearen azalera bezala, gainazalaren azalera azalera garatu batetik abiatuta kalkula daiteke. Hori irudi laua da beti. Gainazala garagarria izan dadin, Gaussen kurbadurak nulua izan behar du.
  • Gainazala garagarria ez denean, gainazalaren kalkulua edo balio hori lortzeko modu analitikoa neketsuagoa da. Gainazal ez-garagarri baten adibide bat esfera da, izan ere, Gaussen kurbadurak eta erradioaren karratuaren alderantzizkoak bat datoz, eta beraz, ez da nulua. Hala ere, esfera biraketa-gainazal bat da.

 

 
Biraketa-gainazala[Betiko hautsitako esteka]

Biraketa-gainazalaAldatu

Gainazal kurbatu bat kurba lau  bat  edo kurba sortzaile bat ardatz gidagarri baten inguruan biratuz sor daiteke, eta gainazal erresultanteari biraketa-gainazala deitzen zaio. Haren azalera  erraz kalkula daiteke kurba sortzailearen luzeratik abiatuta, zeinak biratzean gainazala sortzen baitu. y=f(X) ekuazioak kurbaren zati bat definitzen badu,  kurba X ardatzaren inguruan biratzean biraketa-gainazala sortzen da eta bere azalera honako hau da:

Biraketa-gainazalen adibideak honako hauek dira:

  • Esferaren azalera, R erradioduna:  
  • Konoaren azalera, R erradioduna eta h altueraduna:  
  • Zilindroaren aldeko azalera, R erradioduna eta h altueraduna:  

Azaleraren kalkulu orokorraAldatu

Gainazalen geometria diferentzialaren bitartez edota Riemann-en geometria erabiliz, edozein gainazal kurbatu finituren azalera kalkula daiteke. Gainazala   funtzio esplizituaren bidez adierazita badago,   eskualdean izanik, orduan, azalera honako hau da:

  (B formula)

Gainazalaren ekuazio parametrikoa edozein u eta v koordenaturen bidez ezagutzen bada, orduan B formula hori honela idatz daiteke:

  ,

non tentsore metrikoaren elementuak diren E, F eta G .

n  1 dimentsioko Riemann-en barietate batean, 2 dimentsioko zenbait azpibarietateren azalera kalkula daiteke. Azalera kalkulatu ahal izateko, bi koordenatu (u,v), dituen multzo bat definitzen da, azpibarietatea parametrizatzen duena, eta, ondoren, azpibarietatearen atlas bat eratzen da. Beraz, azalera barietate horren 2-forma baten integralaren bidez kalkulatzen da.

Gainazalaren neurri-unitateakAldatu

Nazioarteko Unitate Sistema erabiliz:[10]

ErreferentziakAldatu

  1. RINCON VILLALBA, MARIO ARTURO;VARGAS VARGAS, WILSO.. (2017). TOPOGRAFIA : conceptos y aplicaciones.. ECOE EDICIONES ISBN 958-771-507-1. PMC 1041531329. Noiz kontsultatua: 2019-12-04.
  2. a b Ibon Sarasola. (1998). «azalera» Euskara batuaren ajeak. Alberdania, 38-39 or. ISBN 848866950X.
    Aipua: «azalera. Arazoak ditugu erdarazko superficie / surface-ren kide egokia aurkitzeko, batez ere testuinguru jakin batzuetan. Hortaz, barruko edo azpiko gainaldea bezalako esapideak gogor egiten zitzaizkienak azalera asmatu zuten. Niri ez zait gaizki iruditzen. Kezkagarri iruditzen zaidana da hitza gerora hartzen ari den hedadura. Askotan gertatzen zaigu: kasu jakin eta bakan batzuetarako bideratzen den hitzak badu halako joera bat, espainolaren eraginez, espainolez duen eremu semantiko osoa hartzeko: azalera "superficie" guztiak bada, azkenean "superficie" guztiak azalera bihurtzen dira. Azalera ez da hitz txukuna: bere kideak, luzera, zabalera etab., Hegoaldean bederen, ez zaizkigu gogor egiten, baina azalera bai, azal ez delako izenondo bat. Bada testuinguru bat azalera aski desegoki gertatzen dena: geografian lurraldeen luze-zabala izendatzean. Eta aski desegokia da adigai hori aski arrunta delako, eta horretarako euskaraz, luze-zabal aipatu berriaz bestalde badugulako beste bat askoz egokiagoa: eremu. Hitz honek badu alde on bat azalera-ren aldean: erabili egin dela eta erabiltzen dela, normal-normal, Iparraldean: hona Herria-n irakurri behar ditudanak: eremuz, 609 kilometra karratu (Belfort-eko lurraldeaz mintzatuz, Herria 1997-6-12), eta "Promo expo" sozietateak 1400m2 eremu gehiago berexi ditu aurtengo feriarentzat" (ale berean). Eta Hegoaldean ere ez da Mitxelena izan eremu honetan ere erabili duen bakarra. Antza denez, gure teknikariei ez zaie eremu aski zehatz eta aski tekniko iruditzen. Kontu honetaz uste dut aski dela bena sarreran esaten dudana. Bestalde gogoratu behar dut Euskaltzaindiaren Hiztegi Batuak azalera-ri buruz dioena: "Geometrian neurria adierazteko erabiltzen da soilik; bestetarako, azal (leun, zakar...), gainazal, eremu (lurralde batena, adibidez), etc. daude".»
    .
  3. (Gaztelaniaz) «Didáctica de las Matemáticas, Una experiencia Pedagógica Moderna | ISBN 978-958-44-7938-9 - Libro» isbn.cloud Noiz kontsultatua: 2019-12-04.
  4. «azalera - EH - Euskaltzaindiaren Hiztegia» www.euskaltzaindia.eus Noiz kontsultatua: 2021-05-21.
  5. (Ingelesez) Floristán, José M.. Heródoto. Historia, libro II (Euterpe), edición bilingüe, introducción y notas. Noiz kontsultatua: 2019-12-04.
  6. «El problema del área» www.fca.unl.edu.ar Noiz kontsultatua: 2019-12-04.
  7. , 9 or. ISBN 84-7615-197-7..
  8. , 10 or. ISBN 84-7615-197-7..
  9. , 11 or. ISBN 84-7615-197-7..
  10. López Cañero, Juan.. (2016). Redes de evacuación. Paraninfo ISBN 978-84-283-3772-4. PMC 949700731. Noiz kontsultatua: 2019-12-04.

BibliografiaAldatu

  • Spiegel, Murray R.; Abellanas, Lorenzo (1992). McGraw-Hill, ed. Fórmulas y tablas de matemática aplicada. Aravaca (Madrid). ISBN 84-7615-197-7.

Kanpo estekakAldatu