Eulerren formula

e^ix = cos x + i sin x berdintza, non x zenbaki erreal bat den. Ekuazioa analisi konplexuan baliatzen da eta funtzio trigonometriko eta esponentzialen arteko erlazioaren erakusle da.
Eulerren formularen interpretazio geometrikoa.

Eulerren formula, izena Leonhard Eulerren omenez duena, bereziki analisi konplexu arloko matematika-formula bat da, funtzio trigonometrikoen eta funtzio esponentzialen arteko erlazio sakona erakusten duena. (Eulerren identitatea Eulerren formularen kasu berezi bat da). Formula hau da:

,

non :

x zenbaki erreala den;
e logaritmo naturalaren oinarria den;
i unitate irudikaria den;
sin eta cos funtzio trigonometrikoak diren.

Esponentzial konplexuaren eta funtzio trigonometrikoen arteko erlazioa Roger Cotes matematikari ingelesak frogatu zuen lehendabizi 1714an, honela

non ln logaritmo naturala[1] den.

FrogapenaAldatu

Eulerren formula aztertzeko berretura-serietan garatzearen ezaguerak behar ditugu. Baliabide handi bat sartuko dugu, asko sakondu gabe, ondorengo kontzeptua dena:

 -n zentratutako   funtzio analitiko baten Taylorren serietan garapena honela adierazten da:

 

  , non

 

Garapen kontzeptu hori erabiliz eta   hartuz   zentroko ingurune batean, honako hau dugu:

 

  konbergentzia-tarteko edozein  -rako

  denean, aurreko ekuazioan,   zenbakiko adierazpena lortzen da, serie infinitu bat bezala:

 

  -ren ordez   ordezkatzen badugu, orduan:

 

Aurreko ekuazioaren ( ) batuketaren lehenengo zatia   funtzioaren garapena da eta bigarren zatia  -rena Maclaurinen serie batean. Beraz, Eulerren formula izenez ezagutzen den ekuazioa dugu:

 

modu orokorragoan honela ere idatz daiteke:

 .

ErreferentziakAldatu

  1. John Stillwell (2002). Mathematics and Its History. Springer.

Kanpo estekakAldatu

Ikus, gaineraAldatu