Infinitu

Infinitua ($\infty$) zenbaki erreal multzoaren goi muga da; amaigabea edo handiagoa den zerbait da. Sinbolo honekin adierazten da: ∞. Kontzeptua matematikaren, filosofiaren eta astronomiaren hainbat adarretan agertzen da, mugarik gabeko edo amaierarik gabeko kopuru bati dagokionez, eta, kopuru hori, finitutasunaren kontzeptuaren aurkakoa da.

Bernoulli leminiskatak infinituaren ikurra marrazten du formula matematiko baten bidez.

Antzinako greziarren garaitik, infinituaren izaera filosofikoak eztabaida ugari izan ditu filosofoen artean. XVII. mendean, infinituaren sinboloaren eta kalkulu infinitesimalaren sarrerarekin, matematikariak serie infinituekin lan egiten hasi ziren, eta matematikari batzuek (l'Hôpital eta Bernoulli barne) kantitate infinituki txikitzat jotzen zituztenekin, baina infinituak jarraitu zuen prozesu amaigabeekin lotzen. Matematikariek kalkuluaren oinarriarekin borrokan ari zirenez, ez zegoen argi infinitua zenbaki edo magnitude gisa har zitekeen eta, hala izanez gero, nola egin. XIX. mendearen amaieran, Georg Cantorrek infinituaren azterketa matematikoa zabaldu zuen multzo infinituak eta zenbaki infinituak aztertuz eta hainbat tamainatakoak izan daitezkeela erakutsiz. Adibidez, lerro zuzen bat bere puntu guztien multzo gisa ikusten bada, haien kopuru infinitua (hau da, lerroaren kardinalitatea) zenbaki osoen kopurua baino handiagoa da. Erabilera honetan, infinitua kontzeptu matematiko bat da, eta objektu matematiko infinituak beste edozein objektu matematiko bezala aztertu, manipulatu eta erabil daitezke.

Infinituaren kontzeptu matematikoak, hala, kontzeptu filosofiko zaharra findu eta hedatzen du, batez ere tamaina ezberdineko multzo infinitu anitz sartuz. Zermelo–Fraenkel multzoen teoriaren axiomen artean, zeinaren gainean garatu daitekeen matematika moderno gehiena, infinituaren axioma dago, multzo infinituen existentzia bermatzen duena. Infinituaren kontzeptu matematikoa eta multzo infinituen manipulazioa oso erabilia da matematikan, baita haiekin zerikusirik ez dutela diruditen konbinatoria gisako arloetan ere. Esaterako, Wiles-en Fermaten azken teoremaren froga, inplizituki, Grothendieck-en unibertsoen existentzian oinarritzen da, multzo infinitu oso handiak, Oinarrizko aritmetikaren arabera adierazten den aspaldiko problema bat ebazteko.

Fisikan eta kosmologian, galdera irekia da ea unibertsoa espazialki infinitua den ala ez.

Historia

Antzinako kulturek hainbat ideia zituzten infinituaren izaerari buruz. Antzinako indiarrek eta greziarrek ez zuten infinitua definitzen formalismo zehatzean, matematika modernoak egiten duen bezala, eta, horren ordez, infinitua kontzeptu filosofikotzat hartu zuten.

Antzinako Grezia

Grezian, infinituari buruz erregistratutako lehen ideia Anaximandrorena izan daiteke (K.a. 610 - K.a. 546) greziar filosofo presokratikoarena. Apeiron hitza erabili zuen, mugagabea, zehaztu gabea esan nahi duena, eta, agian, infinitu gisa itzul daiteke.

Aristotelesek (K.a. 350) infinitu potentziala eta benetako infinitua edo infinitu osatua bereizi zituen, ezinezkotzat jotzen baitzuen sortzen zirudien hainbat paradoxagatik. Ikuspegi horren ildotik argudiatu da greziar helenistikoek izua ziotela infinituari, eta horrek, adibidez, azalduko luke zergatik Euklidesek (K.a. 300. urtea) ez zuen esan zenbaki lehenen infinitua dagoenik, baizik eta «zenbaki lehenak esleitutako edozein zenbaki lehenen multzoa baino gehiago direla». Orobat, esan izan da ezen, zenbaki lehenen infinitutasuna frogatzean, Euklides «lehena izan zen infinituaren izua gainditzen». Antzeko eztabaida dago Euklidesen postulatu paraleloari buruz, batzuetan itzulia:

«

Bi zuzenen gainean erortzen den zuzen batek bi angelu zuzen baino batura txikiagoa duen alde bereko barne-angeluak eratzen baditu, orduan, bi zuzenak infinituraino luzatzean, barne-angeluen batura bi angelu zuzen baino txikiagoa den aldean daude.

»

Beste itzultzaile batzuek, ordea, nahiago dute itzulpen hau: «bi lerro zuzenak, mugagabean ekoitzi badira...», horrela Euklides infinituaren nozioarekin eroso zegoelako inplikazioa saihestuz. Azkenik, esan izan da infinituari buruzko hausnarketa batek, «infinituaren izua» sortzetik urrun, hasierako filosofia greziar guztiaren azpian dagoela eta Aristotelesen «infinitu potentziala» garai honetako joera orokorraren aberrazioa dela.

Zenon infinitua defendatzen

Zenon Parmenidesen ikaslea izan zen, eta, bere maisuaren ideak defendatzeko, arrazoi batzuk planteatu zituen, Zenonen paradoxak izenez ezagutuak. Paradoxa horiekin, frogatzen saiatu zen mugimendua eta aldaketak ez direla existitzen, gure zentzumenen eta gure buruaren gezurrak direla. Paradoxa guztiak infinituarekin erlazionatuta daude. Horietako batek kontatzen digu ezen metro batera dagoen zuhaitz baten kontra harri bat botatzen badugu gure begiak ikusten duten harria nola iristen den zuhaitzeraino, baina Zenonek dio harria inoiz ez dela dela gure eskutik ateratzen. Hori frogatzeko, Zenonek esaten du distantzia osoa egin baino lehen distantziaren erdia egin behar duela baina lehenago laurden bat egin behar duela eta laurdena egin baino lehen zortziren bat egin behar duela, eta, hori, bata bestearen segidan gertatzen da. Zuhaitzera heltzeko, infinitu pauso egin behar dira, baina ezinezkoa da infinitu pauso egitea denbora tarte finitu batean; horregatik, Zenonek ondorioztatzen du harria ez dela inoiz gure eskutik atera, eta, modu horretan, infinitua erabiliz frogatzen du unibertsoa aldaezina dela.

Aristoteles infinitua argudiatzen

K.a. IV mendean, Aristotelesek Física idatzi zuen; bertan, gorputzen mugimenduei buruz hitz egiten du; baino mugimenduari buruz hitz egiteko, lehen Parmenidesen eta Zenonen argumentuek eztabaidatu behar zituen. Hori eztabaidatzeko, Aristotelesek esan zuen izatea existitzen zela, baina bi eratan bereizi zituen: potentzia eta egintza. Adibidez: ume bat heldua da potentzian, eta, handitzen denean, heldua da egintzan. Hori ikusita esan dezakegu umeak bere egoera aldatu duela; horren ondorioz, umea aldatu egiten da, baina ez du inoiz izatea utzi. Modu horretan, Parmenidesen izatearen ideia aldaketarekin erlazionatzen du, eta argi uzten du izatea alda dezakeela. Baina Zenonen paradoxek esaten zuten denbora eta espazioa infinituki zatitzaileak direla; hori argudiatzeko, Aristotelesek esan zuen infinitua bakarrik existitzen zela potentzian eta ez egintzan. Infinitua potentzian nahi den guztia handitu daitekeen kantitatea da, baina, denbora guztian, finitua da. Eta infinitua, egintzan, infinitua den kantitate bat da. Ideia horrek bi mila urte baino gehiago iraun zuen.

Zenon: Akiles eta dortoka

Zenon Eleakoak (K.a. 495 - K.a. 430) ez zuen infinituari buruzko iritzirik aurreratu. Hala ere, bere paradoxak, bereziki «Akiles eta dortoka», ekarpen garrantzitsuak izan ziren, herri-kontzepzioen eskasia argi uzten baitzuten. Bertrand Russell-ek paradoxak «neurtezin sotil eta sakon» gisa deskribatu zituen.

Akilesek dortoka batekin lasterketa bat egiten du, azken horri abantaila emanez.

• 1. urratsa: Akiles dortokaren abiapuntura korrika doa dortoka aurrera doan bitartean.
• 2. urratsa: Akilesek 1. urratsaren amaieran dortoka zegoen tokira egiten du korrika dortoka urrunago doan bitartean.
• 3. urratsa: Akilesek 2. urratsaren amaieran dortoka zegoen tokira egiten du korrika dortoka urrunago doan bitartean.
• 4. urratsa: Akilesek 3. urratsaren amaieran dortoka zegoen tokira egiten du korrika dortokak urrunago doan bitartean.

Etab. Antza denez, Akilesek ez du inoiz dortoka harrapatzen; izan ere, pausoak eman arren, dortokak aurretik jarraitzen du.

Zenonek ez zuen infinituari buruz argudiatu nahi. Eskola eleatikako kide gisa, mugimendua ilusiotzat hartzen zuena, Akilesek korrika egin zezakeela suposatzea akats bat zela ikusten zuen. Ondorengo pentsalariek, irtenbide hori onartezina ikusita, bi milurteko baino gehiago borrokatu ziren argudioan beste ahulezi batzuk aurkitzeko.

Azkenik, 1821ean, Augustin-Louis Cauchy-k muga baten definizio egokia eta froga bat 0 < x < 10 < x < 1 eman zuen $$a+ax+ax^{2}+ax^{3}+ax^{4}+ax^{5}+\cdots ={\frac {a}{1-x}}.$$

Demagun Akilesek 10 m/s korritzen dituela, dortokak 0,1 m/s egiten dituela eta azken horrek 100 metroko abantaila duela. Jazarpenaren iraupena, Cauchyren eredura egokitzen da a = 10 segundo eta x = 0,01. Akilesek dortoka harrapatzen du; dortokak daramazkio

$10+0.1+0.001+0.00001+\cdots$$={\frac {10}{1-0.01}}={\frac {10}{0.99}}=10.10101\ldots {\text{segundo}}.$

Antzinako India

Surya Prajnapti testu matematiko jainiarrak (K.a. IV-III. mendeak) hiru multzotan sailkatzen ditu zenbaki guztiak: zenbagarriak, zenbatezinak eta infinituak. Horietako bakoitza, halaber, hiru ordenatan banatzen dira:

• Zenbagarriak: baxuena, tartekoa eta altuena
• Zenbatezinak: ia kontaezinak, zinez kontaezinak eta benetan kontaezinak
• Mugagabea: ia infinitua, benetan infinitua, benetan infinitua

XVII. mendea

XVII. mendean, Europako matematikariak zenbaki infinituak eta adierazpen infinituak modu sistematikoan erabiltzen hasi ziren. 1655ean, John Wallis-ek $\infty$ notazioa erabili zuen lehen aldiz bere De sectionibus conicisen, eta eremuaren kalkuluetan erabili zuen eskualdea zabalera infinitesimalen zerrendatan banatuz ${\tfrac {1}{\infty }}.$-ren ordenan. Baina Arithmetica infinitorumen (1656) serie infinituak, produktu infinituak eta zatiki jarraitu infinituak adierazten zituen, ondoren, faktore edo termino batzuk idatziz, "&c.", hala nola honela "1, 6, 12, 18, 24, &c.".

1699an, Isaac Newton-ek termino kopuru infinituko ekuazioei buruz idatzi zuen De analysi per aequationes numero terminorum infinitas lanean.

Matematikak

Hermann Weyl-ek, 1930ean emandako diskurtso batean, bide matematiko-filosofiko bat ireki zuen:

Matematika infinituaren zientzia da.

Sinboloa

Infinitu-sinboloa $\infty$ (batzuetan, lemniskata deitua) infinitu kontzeptua adierazten duen ikur matematikoa da. Sinboloa Unicode-n honela kodetuta dago: $\infty$ , eta LaTeX-en honela:\infty

1655ean, John Wallis-ek aurkeztu zuen, eta, sartu zenetik, matematikatik kanpo ere erabili izan da mistizismo modernoan eta literatur sinbologian.

Kalkulua

Gottfried Leibnizek, kalkulu infinitesimalaren asmatzaileetako batek, asko espekulatu zuen zenbaki infinituei eta matematikan haien erabilerari buruz. Leibnizen ustez, bai infinitesimalak bai kantitate infinituak entitate idealak ziren, ez kantitate estimagarrien izaera berekoak, baina propietate berberak dituztenak jarraitutasunaren Legearen arabera.

Analisi erreal

Analisi errealean, $\infty$ sinboloa, infinitu izenekoa, mugarik gabeko muga adierazteko erabiltzen da. $x\rightarrow \infty$ notazioak esan nahi du $x$ mugarik gabe handitzen dela, eta $x\to -\infty$ esan nahi du $x$ mugarik gabe murrizten dela. Adibidez, $f(t)\geq 0$ $t$ bakoitzeko bada, orduan

• $\int _{a}^{b}f(t)\,dt=\infty$-k esan nahi du $f(t)$-k ez duela $a$-tik $b$-ra eremu finitu bat mugatzen
• $\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\,dt=\infty$-k esan nahi du $f(t)$-ren azpian dagoen azalera infinitua dela.
• $\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\,dt=a$-k esan nahi du $f(t)$ azpiko azalera osoa finitua dela, eta $a.$-ren berdina dela

Infinitua serie infinituak deskribatzeko ere erabil daiteke, honela:

• $\sum _{i=0}^{\infty }f(i)=a$-k esan nahi du serie infinituen batura $a.$ balio erreal batera konbergentzia egiten duela
• $\sum _{i=0}^{\infty }f(i)=\infty$-k esan nahi du serie infinituaren batura, berez, infinitura dibergentea dela, batuketa partzialak mugarik gabe handitzen diren zentzuan.

Muga bat zehazteaz gain, infinitua balio gisa ere erabil daiteke zenbaki-sistema erreal hedatuan. Zenbaki errealen espazio topologikoari, $+\infty$ eta $-\infty$ etiketatzen diren puntuak gehi daitezke, zenbaki errealen bi punturen trinkotzea sortuz. Horri propietate aljebraikoak gehitzean, zenbaki erreal hedatuak ematen dizkigu $+\infty$ eta $-\infty$ ere berdin trata ditzakegu, eta horrek zenbaki errealen puntu bakarreko trinkotzea dakarkigu; hau da, zuzen proiektibo erreala. Geometria proiektiboak, izan ere, geometria planoan infinituan dagoen zuzen bati, hiru dimentsioko espazioan infinituan dagoen planoari eta dimentsio orokorretarako infinituan dagoen hiperplanoari ere erreferentzia egiten dio, bakoitza infinituan dauden puntuz osatuta.

Infinituaren existentziarik eza defendatuz egintzan

infinitu bederatzi

Infinitua egintzan ez dela existitzen defendatzeko, Aristotelesek argumentu ezberdinak eman zituen. Horietako bat izan zen, giza adimenak ezin dezakeela infinitua egintzaren irudi bat irudikatu. Adibidez, gure adimen zuzen bat irudika dezake, baina ez inoiz bukatzen ez den zuzen bat. Beste adibide bat da zenbaki guztien zerrenda bat irudikatzea; ezin dugu zerrenda bat irudikatu existitzen diren zenbaki guztiekin. Beste argumentu bat da oso erraza dela kontraesanetan erortzea zerbait arrazoitzeko infinitua erabiltzen dugunean. Hori kontuan hartuta, infinitua egintzan ez zela existitzen ondorioztatu zuen.

Zenbait mende pasatu eta gero, konkretuki XVII. mendean, Galileo Galileik kontraesan logiko batzuk aurkitu zuen bere ikerkuntzetan, eta, horren ondorioz, infinitua egintzaren ideia baztertu zuen. Geroago, XIX. mendean, Bernard Bolzano infinituari buruzko teorema matematiko bat garatzen saiatu zen, baina zenbait paradoxak aurkitu zituen, eta ez zuen ebazten jakin izan.

Pentsamendu horren aurka zeuden pertsonak ere baziren, adibidez, Lukrezio izeneko erromatar poeta. Lukreziok unibertsoa infinitua zela defendatzen zuen. Aurkako kasuan, unibertsoak muga bat izan beharko luke, eta muga hori zeharkatzeko behar den indarrarekin objektu bat botatzen badugu, objektu hori gure unibertsotik kanpo egongo litzateke, eta existitzen den ezer ezin daiteke unibertsotik kanpo egon. Baina ideia hori baztertu egin zen, eta gaur egun badakigu unibertsoa finitua izan daitekeela muga bat eduki gabe; hori defendatzeko, hurrengo adibidea erabil dezakegu: esfera baten azalera finitua da, eta ez du mugarik.

Pentsamendu horrek matematika menderatu zuen 1870eko hamarkadara arte. Hamarkada horretan, Georg Cantor errusiar-alemaniar matematikariak, bere logika jarraituz, bere burua behartuta ikusi zuen matematikan infinitu egintzaren ikasketa sartzera.

Galileoren infinitua

Zenbaki arrunt bakoitza, zenbaki oso bikoitiekin elkartzen.

Erdi Aroan, Aristotelesen ideiak onartzen zuten, eta ondorioztatu zen infinitua egintzan bakarrik Jainkoak uler dezakeela. 1638 urtean, Galileok lan bat argitaratu zuen Bi zientzia berriei buruzko dialogoa, lan horretan, dinamika eta estatika erabiliz, Aristotelesen fisikaren parte bat eztabaidatzea da. Baina infinitu egintzari buruzko ideia errespetatzen zuen lan horretan. Eta argumentu batzuk erabili zituen. Egongela handi batean gizon eta emakumeak egongo balira, eta, emakumeen kopuruarekin konparatuz, gizon gehiago, gutxiago edo kopuru bera dagoen jakiteko, emakumeak eta gizonak kontatu beharko lirateke. Eta gizon bakoitzak bikote bat osatzen badu emakume batekin, kopuru bera dagoela erakusten du. Orduan, bi multzo finitu badugu eta multzo bakoitzaren elementua beste multzoaren elementu batekin elkartu badezakegu, bi multzoak kopuru bera dute.

Lan horretako beste argumentu batean, Galileok bi multzo hartzen ditu: alde batetik, zenbaki arruntak, eta, beste aldetik, zenbaki arrunt bakoitzaren karratua. Argi dago zenbaki arrunten multzoa handiagoa dela, baina, Galileok esaten du lehen multzoaren zenbaki bakoitza bere karratuarekin elkartzea posiblea dela. Elkarketa horrek esaten digu zenbaki kopuru bera dagoela. Baina galdera hau egiten badugu: Zenbaki natural gehiago daude, edo kopuru bera?

Galileok esaten du ezin dugula handiago, txikiago edo bera/berdin kontzeptuak erabili bi multzo infinituak konparatzeko, finituak direnean bakarrik erabili dezakegu. Orduan, Galileok ondorioztatzen du bi multzo infinitu konparatzea absurdoa dela, baina Georg Cantorrek multzo finituak neurtzea eta konparatzea erabaki zuen.

Georg Cantor eta infinituaren teoria

Georg Cantor

Georg Cantor ziur zegoen infinituari buruzko teoria matematiko bat posible zela; modu horretan, gaur egun ezagutzen dugun teoria garrantzitsuenetako bat sortu zuen, eta, matematikak pentsatzeko, modu askeago bat ireki zuen.

Cantor eta ordinalak

Cantorrek sortutako kontzeptu garrantzitsuenetako bat ordinalak dira; ordinalak infinitu zenbakia zenbatu eta gero datozen zenbaki infinitua dator; hau da, ordinala (ω). Ondoren, ω+1, ω+2, ω+3,+...: serie hau eta gero, ω+ω dator, eta, hau eta gero: ω+ω+1, ω+ω+2..., eta horrela jarraitzen du. ω zenbakia kantitate infinitu bat egintzan irudikatzen du. Cantorrek, bere pentsatzeko moduarekin, matematikak aldatu zituen. Cantorrek bere teoriak atera baino lehen, fenomeno konkretuak edo korrelatu errealak bakarrik aztertzen ziren; Cantorren ondoren, bakarrik eskatzen da koherentzia logika izatea.

Ikerkuntzaren hasiera

Infinituaren teoria Cantorren talentuaren emaitza da, eta, 1882 urtean, bere teoria lantzen hasi zen. Cantorrek, infinituari buruzko bere lehen ideiak, Halle-ko Unibertsitatean lan egiten hasi zenean planteatu zituen, baina bere ideiak oposizio handia aurkitu zuten. Adibidez, unibertsitatean zegoela, Cantorren irakasle izan zen Leopold Kroneckerrek bere influentzia erabili zuen Cantorren ideiak ez zabaltzeko. Cantorrek, 1874 urtean, bere ideiak zabaltzeko lehen saiakera artikulu baten bidez egin zuen.

Ikurra

Jonh Wallis

Infinitu ikurraren asmakuntza John Wallis matematikari ingelesari egozten zaio, 1655an. Bernoulliren Lemniscataren forma du, baina ez da oso ziurra irudiaren jatorria bera. Moebius bandaren itxura ere badu, baina hori geroagoko aurkikuntza bat denez, ezin da hortik eratorria izan.

Ezaugarriak

• Ez da zenbaki bat
• Edozein zenbaki zerotik zatituta, zero bera izan ezik, infinitu ematen du.

Ezaugarri aritmetikoak

Infinitua ez da zenbaki erreal bat, baina, operazio aritmetikoan, hala ere, erreala balitz bezala erabil daiteke:

Infinitu berarekiko eragiketak

1. $\infty +\infty =\infty \cdot \infty =(-\infty )\cdot (-\infty )=\infty$
2. $(-\infty )+(-\infty )=\infty \cdot (-\infty )=(-\infty )\cdot \infty =(-\infty )$

Eragiketak zenbaki errealekin

1. $-\infty <x<\infty$
2. $x+\infty =\infty$ eta $x+(-\infty )=(-\infty )$
3. $x-\infty =-\infty$
4. $x-(-\infty )=\infty$
5. ${x \over \infty }=0$ eta ${x \over -\infty }=0$
6. $0<x<\infty$ baldin bada, orduan, $x\cdot \infty =\infty$ y $x\cdot (-\infty )=(-\infty )$ da.
7. $-\infty <x<0$ baldin bada, orduan, $x\cdot \infty =-\infty$ y $x\cdot (-\infty )=\infty$ da.

Eragiketa ez definituak

1. $0\cdot \infty$ eta $0\cdot (-\infty )$
2. $\infty +(-\infty )$ eta $(-\infty )+\infty$
3. ${\pm \infty \over \pm \infty }$
4. ${\pm \infty }^{0}$
5. $1^{\pm \infty }$

Azkena indeterminazioa izateko produktu bakoitza bat izan ordez, baterantz doazen zenbakiak izan behar dira. 1*1*1*1..., beti izango da 1.

Ikus, gainera

• Asintota
• Multzo zenbakarriak
• Infinitesimala

Bibliografia

• Cajori, Florian. (1928 & 1929). A History of Mathematical Notations (Two liburukias Bound as One). Dover ISBN 978-0-486-67766-8..
• Gemignani, Michael C.. (1990). Elementary Topology. (2. edizioa. argitaraldia) Dover ISBN 978-0-486-66522-1..
• Keisler, H. Jerome. (1986). Elementary Calculus: An Approach Using Infinitesimals. (2. edizioa. argitaraldia).
• Maddox, Randall B.. (2002). Mathematical Thinking and Writing: A Transition to Abstract Mathematics. Academic Press ISBN 978-0-12-464976-7..
• Kline, Morris. (1972). Mathematical Thought from Ancient to Modern Times. New York: Oxford University Press, 1197–1198 or. ISBN 978-0-19-506135-2..
• Russell, Bertrand. (1903). The Principles of Mathematics. New York: Norton ISBN 978-0-393-31404-5. OCLC .247299160.
• Sagan, Hans. (1994). Space-Filling Curves. Springer ISBN 978-1-4612-0871-6..
• Swokowski, Earl W.. (1983). Calculus with Analytic Geometry. (Alternate. argitaraldia) Prindle, Weber & Schmidt ISBN 978-0-87150-341-1..
• Taylor, Angus E.. (1955). Advanced Calculus. Blaisdell Publishing Company.
• Wallace, David Foster. (2004). Everything and More: A Compact History of Infinity. Norton, W.W. & Company, Inc. ISBN 978-0-393-32629-1..

Iturriak

• Aczel, Amir D.. (2001). The Mystery of the Aleph: Mathematics, the Kabbalah, and the Search for Infinity. Pocket Books ISBN 978-0-7434-2299-4..
• D.P. Agrawal (2000). Ancient Jaina Mathematics: an Introduction, Infinity Foundation.
• Bell, J.L.: Continuity and infinitesimals. Stanford Encyclopedia of philosophy. Revised 2009.
• Cohen, Paul. (1963). «The Independence of the Continuum Hypothesis» Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America 50 (6): 1143–1148.  doi:10.1073/pnas.50.6.1143. PMID 16578557. Bibcode: 1963PNAS...50.1143C...
• Jain, L.C.. (1982). Exact Sciences from Jaina Sources. .
• Jain, L.C. (1973). "Set theory in the Jaina school of mathematics", Indian Journal of History of Science.
• Joseph, George G.. (2000). The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics. (2. edizioa. argitaraldia) Penguin Books ISBN 978-0-14-027778-4..
• H. Jerome Keisler: Elementary Calculus: An Approach Using Infinitesimals. izena edizioa 1976; 2. edizioa edizioa 1986. This book is now out of print. The argitaletxea has reverted the copyright to the author, who has made available the 2. edizioa edizioa in .pdf format available for downloading at http://www.math.wisc.edu/~keisler/calc.html
• Eli Maor. (1991). To Infinity and Beyond. Princeton University Press ISBN 978-0-691-02511-7..
• O'Connor, John J. and Edmund F. Robertson (1998). 'Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor' archived 2006-09-16 at the Wayback Machine, MacTutor History of Mathematics archive.
• O'Connor, John J. and Edmund F. Robertson (2000). 'Jaina mathematics' archived 2008-12-20 at the Wayback Machine, MacTutor History of Mathematics archive.
• Pearce, Ian. (2002). 'Jainism', MacTutor History of Mathematics archive.
• Rucker, Rudy. (1995). Infinity and the Mind: The Science and Philosophy of the Infinite. Princeton University Press ISBN 978-0-691-00172-2..
• Singh, Navjyoti. (1988). Jaina Theory of Actual Infinity and Transfinite Numbers. 30.

Kanpo estekak

• Grime, James. «Infinity is bigger than you think» Numberphile (Brady Haran) jatorrizkotik artxibatua (artxibatze data: 2017-10-22) (Noiz kontsultatua: 2013-04-06).
• Hotel Infinity
• John J. O'Connor and Edmund F. Robertson (1998). 'Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor' archived 2006-09-16 at the Wayback Machine, MacTutor History of Mathematics archive.
• John J. O'Connor and Edmund F. Robertson (2000). 'Jaina mathematics' archived 2008-12-20 at the Wayback Machine, MacTutor History of Mathematics archive.
• Ian Pearce (2002). 'Jainism', MacTutor History of Mathematics archive.
• The Mystery Of The Aleph: Mathematics, the Kabbalah, and the Search for Infinity
• Dictionary of the Infinite (compilation of articles about infinity in physics, mathematics, and philosophy)

• Datuak: Q205
• Multimedia: Infinity / Q205