Balio absolutu

Matematikan, zenbaki erreal baten balio absolutua edo modulua[1], gisan adierazten dena, zeinua kontuan hartu gabe -positiboa nahiz negatiboa[2] izan- zenbaki horrek duen balio ez-negatiboa da. Adibidez, -ren balio absolutua da eta -ren balio absolutua da.

Balio absolutua magnitudearen, distantziaren eta normaren ideiekin lotuta dago testuinguru matematiko eta fisiko desberdinetan. Zenbaki erreal baten balio absolutuaren kontzeptua matematikako beste objektu askotara orokor daiteke, hala nola, koaternioietara, eraztun ordenatuetara, gorputz edo espazio bektorialetara.

Zenbaki baten balio absolutua zerotik zenbaki horretara dagoen distantzia dela pentsa daiteke.
Balio absolutuaren funtzioaren grafikoa.

Terminologia eta notazioaAldatu

1806an, Jean-Robert Argand-ek modulu terminoa sartu zuen, frantsesez neurri-unitatea esan nahi duena, bereziki balio absolutu konplexurako[3][4], eta 1866an ingelesean barneratu zuten latinezko modulu baliokide gisa[3]. Balio absolutu terminoa, gutxienez, 1806tik erabili da frantsesez[5] eta 1857tik ingelesez[6]. Alde bakoitzeko barra bertikal |x| notazioa Karl Weierstrass-ek sartu zuen 1841ean[7]. Balio absoluturako beste termino batzuk zenbakizko balioa[3] eta magnitudea izan daitezke[3]. Programazio-hizkuntzetan eta software konputazionaleko paketeetan, x-ren balio absolutua abs(x) edo antzeko adierazpen baten bidez adierazten da.

Barra bertikaletako idazkera beste zenbait testuinguru matematikotan ere agertzen da: adibidez, multzo bati aplikatzean, bere kardinala adierazten du; matrize bati aplikatzen zaionean, bere determinantea adierazten du. Barra bertikalek balio absolutua adierazten dute balio absolutua definituta dagoen objektu aljebraikoetarako soilik, bereziki zatiketa normatu aljebraikoaren elementu baterako, adibidez, zenbaki erreal baterako, zenbaki konplexu baterako edo kuaternioi baterako. Barra bertikalen erabilera  -ko bektore baten norma euklidear [8]eta goi normarako[9], oso erlazionatuta dagoen baina desberdina den notazioa da, nahiz eta azpiindizedun barra bertikal bikoitzak (   eta  , hurrenez hurren) notazio arruntagoak eta ez hain anbiguoak diren.

DefinizioaAldatu

Zenbaki errealakAldatu

Edozein   zenbaki errealen balio absolutua edo modulua, honela adierazten da:   eta modu honetan definitzen da:[10]

 

 -ren balio absolutua beti da zenbaki positiboa edo zero, baina inoiz ez negatiboa:   zenbaki negatiboa denean  , haren balio absolutua nahitaez positiboa da  .

Ikuspuntu geometrikotik, zenbaki erreal baten balio absolutua zenbaki horren eta zeroaren artean dagoen distantzia bezala ikus daiteke. Oro har, bi zenbakiren arteko aldearen balio absolutua haien arteko distantzia da.

PropietateakAldatu

Balio absolutuak funtsezko lau propietate hauek ditu,   izanik:

 

Beste propietate erabilgarri batzuk ondoko hauek dira:

 

horiek definizioaren edo lehenengo lau propietateen ondoriok dira.

Desberdintasunak erabiltzen dituzten beste bi propietate, ondokoak dira:

 

Erlazio horiek balio absolutua duten desberdintasunak ebazteko erabil daitezke, adibidez:

 

Zenbaki konplexuakAldatu

Zenbaki konplexuak ez daudenez ordenatuta, zenbaki errealentzat emandako balio absolutuaren definizioa ezin zaie zuzenean aplikatu. Hala ere, zenbaki erreal baten balio absolutuaren interpretazio geometrikoa 0tik bere distantziara orokor daiteke. Eta beraz, zenbaki konplexu baten balio absolutua plano konplexuan dagokion puntutik jatorriraino dagoen distantzia euklidearrak definitzen du. Hau Pitagorasen teorema erabiliz kalkula daiteke: edozein zenbaki konplexutarako.

 
   zenbaki konplexu baten balio absolutua  -tik jatorrira dagoen    distantzia da. Irudian,   eta bere konjugatu konplexua   balio absolutu bera dutela ere ikus daiteke.

 

non   eta   zenbaki errealak diren,   -ren balio absolutua edo modulua   ikurraren bidez adierazten da eta honela definitzen da[11]:

 ,

non   eta    -ren zati erreala eta irudikaria diren, hurrenez hurren.   zati irudikaria 0 denean, hau bat dator   zenbaki errealaren balio absolutuaren definizioarekin.

  zenbaki konplexua bere forma polarrean honela adierazten da:

 ,

non   (eta    -ren argumentua (edo fasea)), bere balio absolutua honakoa da:

 .

Edozein   zenbaki konplexuren eta balio absolutu bera duen bere konjugatu konplexuaren   arteko produktua, ( ) zenbaki erreal ez-negatiboa da beti. Gainera,   zenbaki konplexu baten balio absolutua   produktuaren erro karratua da, horregatik,   karratu absolutua edo karratu modulua deritzo:

 .

Honek zenbaki errealentzako definizio alternatiboa orokortzen du:  

Zenbaki konplexuentzako balio absolutuak, goian zenbaki errealen balio absolutuarentzat emandako oinarrizko lau propietateak partekatzen ditu.

Talde-teoriaren hizkuntzan, biderkatze propietatea hurrengo moduan berridatz daiteke: balio absolutua da zenbaki konplexuen biderkatze-taldetik zenbaki erreal positiboen biderkatze-taldera doan homomorfismo-talde bat[12].

Azpigehigarritasunaren propietatea ("desberdintza triangeluar konplexua")   zenbaki konplexu dituen   edozein bilduma finitura honela hedatzen da:

  (*)

Desberdintasun hau familia infinituetan ere aplikatzen da, baldin eta   serie infinitua erabat konbergentea bada. Lebesgueren integrazioa batuketaren analogia jarraitutzat hartzen bada,   funtzio neurgarriak   azpimultzo batean integratuta daudenean, desberdintasun hau balio konplexuaren bidez analogikoki betetzen da. Ideia hau honela adieraz daiteke:

  (**)

(Honek Riemann-en funtzio integragarriak   tarte mugatu baten barnean sartzen ditu, kasu berezi gisa).

Desberdintza triangeluar konplexuaren frogaAldatu

Desberdintza triangeluarra, (*) -k emanda, zenbaki konplexuen hiru propietate aplikatuta froga daiteke. Hots,   zenbaki konplexu bakoitzerako:

  1. Existitzen da   zeinetarako   eta  ;
  2.  

Gainera,  , zenbaki konplexuen edozein familiarentzat   betetzen da. Zehazki,

3.   bada, orduan  .

(*)-ren froga: aukeratu   zeinetarako |c|=1 eta   betetzen diren. Ondorengo kalkuluak bilatzen ari garen desberdintza ematen digu:  

Froga honi esker, argi dago (*) berdintasuna betetzen dela, baldin eta   zenbaki erreal ez-negatiboak badira, eta, aldi berean, zeroren ezberdinak diren   guztiek argumentu bera badute. Hau da,   da,   konstante konplexu baterako eta   konstante erreal baterako, non  . den.

  neurgarria izateak   neurgarria izatea inplikatzen duenez, (**) desberdintzaren froga teknika bera erabiliz burutzen da,   adierazpena   -rekin eta   adierazpena  -rekin ordezkatuz[13].

Definizio baliokideaAldatu

  zenbaki erreala bada, haren balio absolutua zenbaki erreal ez-negatibo bat da, honela definitua dagoena:

  1.  
  2.  ,  [14] hauen arteko maximoaren berdina da.

Balio absolutuaren funtzioaAldatu

Zenbaki errealen balio absolutu funtzioa zenbaki erreal guztien multzoaren gainean definitzen da, zenbaki erreal bakoitzari bere balio absolutua emanez.

Formalki,   zenbaki erreal guztien balio absolutua honela definitzen da:[15]

 

eta honela adierazten da:

 

Definizioz,  -ren balio absolutua beti zero edo zero baino handiagoa izango da, eta inoiz ez negatiboa.

  • Balio absolutu funtzioa funtzio jarraitu bat da zuzen erreal osoan; bere deribatuak etena du (0;0) puntuan, balio konstanteko bi adar baitaude. Hau da, funtzio hori diferentziagarria da R osoan, x=0 puntuan izan ezik.
  •   funtzioa, balio absolutua erabiliz, funtzio gorakorra eta jarraitua da; bere grafikoa parabolaren grafikotik lortzen da  , ezkerreko adarra   ardatzarekiko islatuz.

Errealen multzoa balio absolutuak definitutako arauarekin, Banach espazio bat da .

Zeinu-funtzioarekiko erlazioaAldatu

Zenbaki errealen balio absolutu funtzioak bere balioa itzultzen du zeinua kontuan hartu gabe; zeinu funtzioak, berriz, zenbaki baten zeinua itzultzen du, haren balioa kontuan hartu gabe. Ekuazio hauek bi funtzio horien arteko erlazioa erakusten dute:

 ,   den kasurako

edo

 

eta   kasuan,

 

DeribatuaAldatu

Balio absolutu funtzioak deribatu bat du   bakoitzerako, baina ez da diferentziagarria   kasuan.   kasuan, aldiz, deribatua honako funtzio honek ematen du[16][17]:

 

 
Balio absolutuaren osaera ordena ezberdinetako funtzio kubiko batekin.

AntideribatuaAldatu

Zenbaki errealen balio absolutu funtzioaren integral mugagabea hurrengoa da:


 

non   integrazio arbitrario konstantea den.

DistantziaAldatu

Balio absolutuak lotura estua du distantziaren ideiarekin. Lehen esan bezala, zenbaki erreal edo konplexu baten balio absolutua, zenbaki horrek jatorrira duen distantzia da; zenbaki errealetarako, zenbaki errealen zuzenean zehar, eta zenbaki konplexuetarako, plano konplexuan. Eskuarki, bi zenbaki errealen edo konplexuren arteko diferentziaren balio absolutua, bi zenbaki errealen edo konplexuen arteko distantzia da.

Bi   eta   punturen arteko distantzia euklidear estandarra n -espazio euklidearrean honela definitzen da:

 

Hau orokortze gisa ikus daiteke; izan ere   eta   errealentzat , hau da, dimentsio baten, balio absolutuaren definizio alternatiboaren arabera, honako adierazpena dugu:

 

eta   eta   zenbaki konplexuentzat , hau da, bi dimentsiotan, honako hau:

   
 
 

Aurrekoak erakusten du "balio absolutu"-distantzia, bat datorrela distantzia euklidear estandarrarekin, zenbaki errealentzat eta konplexuentzat. Zeintzuk oinordetzan hartzen dituzten, dimentsio bakarreko eta bi dimentsioko espazio euklidear gisa hartzearen ondorioz, hurrenez hurren.

Bi zenbaki erreal edo konplexuren diferentziaren balio absolutuaren propietateek: ez-negatibotasunak, bereizezinen identitateak, simetriak eta goian adierazitako desberdintza triangeluarrak, distantzia-funtzioaren ideia orokorragoa bultzatzen dutela ikus daiteke:

X × X multzoko d funtzio erreal bati X-ko metrika (edo distantzia funtzioa ) deitzen zaio lau axioma hauek betetzen baditu:

   
   
   
   

OrokortzeakAldatu

Zenbaki hiperkonplexuakAldatu

Zenbaki konplexuetan ez ezik, balio absolutuaren funtzioa zenbaki hiperkonplexuetara ere orokor daiteke, hala nola, kuaternioietara edo oktonioietara. Zenbaki errealen gaineko aljebran, h zenbaki baten balio absolutua honela definitzen da:

 

Non    -ren hiperkonjugazioa den.

Eraztun ordenatuakAldatu

Goian aipatutako zenbaki errealetarako emandako balio absolutuaren definizioa edozein eraztun ordenatutara heda daiteke. Hau da, a   eraztun ordenatuaren elementu bat baldin bada, a-ren balio absolutua, |a| bidez adierazten dena, honela definitzen da[18]:

 

non −a, a-ren alderantzizko gehigarria den, 0 identitate gehigarria den, eta < eta ≥ ikurrek eraztuneko ordenamenduari dagokion ohiko esanahia duten.

Espazio bektorialakAldatu

Zenbaki errealen balio absolutuaren oinarrizko propietateak, espazio bektorial arbitrario batera orokortzeko erabil daitezke, aldaketa txiki bat eginez.

F eremu baten gaineko V espazio bektorial batean, balio errealeko funtzioari balio absolutua deritzo,  || · || gisa adierazten dena. Baina, honako axioma hauek betetzen baditu, norma deitzen zaio:

F-ko a guztietarako eta V-ko u,v guztietarako,

   
   
   
   

Bektore baten norma, magnitude edo luzera izenarekin ere ezaguna da.

 espazio euklidearraren kasuan, honela definitutako funtzioari

 

norma euklidearra deritzo.   zenbaki errealak dimentsio bakarreko   espazio bektorialtzat hartzen direnean, balio absolutua p-norma da, (ikusi Lp espazioa) edozein p-rentzat. Izan ere, balio absolutua norma "bakarra" da, zentzu honetan,  -eko   norma guztietarako,   betetzen da.

Balio absolutu konplexua,  barne produktu-espazio bateko normaren kasu berezi bat da.  Balio absolutu hau, norma euklidearraren berdina da plano konplexua  -ko plano euklidear gisa identifikatzen denean.

Konposaketa aljebraikoakAldatu

A konposaketa aljebraiko orok bere konjugazio izena hartzen duen x → x* inboluzioa du. A-n, x elementu baten eta x* elementu horren konjokatuaren arteko produktuari, x elementuaren norma deritzo eta era honetan adierazten da: N(x) = x x*.

  zenbaki errealak,   zenbaki konplexuak eta   kuaternioiak forma koadratiko zehatzek emandako normak dituzten konposaketa aljebraikoak dira. Zatiketa-aljebra horietan, balio absolutua, aljebraren normaren konposizioaren erro karratuak ematen du.

Orokorrean, konposaketa aljebraikoaren norma definitu gabeko forma koadratikoa izan daiteke eta bektore nuluak ditu. Hala ere, zatiketa-aljebren kasuan bezala, x elementu batek zero ez den norma duenean, orduan x-k x*/N (x) -k emandako alderantzizko biderkadura du.

EremuakAldatu

Zenbaki errealen balio absolutuaren oinarrizko lau propietateak, balio absolutuaren ideia eremu arbitrario batera orokortzeko erabil daitezke, era honetan:

  balio errealeko funtzio bati   eremu batean balio absolutu deritzo (modulua, magnitudea, balioa edo balorazioa ere) lau axioma hauek betetzen baditu:

   
   
   
   

Non 0-k  -ren identitate gehigarria adierazten duen. Definizio positibotik eta biderkagarritasunetik   dela ondorioztatzen da , non 1  - ren identitate biderkatzailea adierazten duen. Eremu arbitrario baterako, goian definitutako balio absolutu errealak eta konplexuak balio absolutuen adibideak dira.

   -n balio absolutua bada, orduan   gisa definitutako   -n dagoen d funtzioa, metrika bat da eta honako hauek baliokideak dira:

  •  -k desberdintasun ultrametrikoa betetzen du   non  
  •   R barruan mugatuta dago .
  •   bakoitzarentzat   .
  •     guztientzat .
  •     guztientzat.

Balio absolutua goiko edozein baldintza edo baldintza guztiak asetzen baditu ez-Arkimedianoa dela esaten da; bestela Arkimedianoa[19] dela esaten da.

Balio absolutuaren programazioaAldatu

Programazio arloan, balio absolutua kalkulatzeko gehien erabiltzen den funtzio matematikoa abs() da. Funtzio hau, zenbaki osoak, errealak eta konplexuak onartzen dituzten Fortran, Matlab eta GNU Octave programazio lengoaietan erabiltzen da. C programazio lengoaian ere erabiltzen da, non:

labs(), llabs(), fabs() ,fabsf() eta fabsl() funtzioak ere baliozkoak diren.


Zenbaki osoen balio absolutu funtzioaren kodeketa hurrengoa da:

int abs (int i)
{
  if (i < 0)
    return -i;
  else
    return i;
}

Hala ere, koma mugikorrekin lan egiterako orduan, kodeaketa zailtzen da. Izan ere, infinitu eta NaN balioekin nahastu egiten da kodeketa.  [erreferentzia behar] Mihiztadura-lengoaiarekin zenbaki baten balio absolutua kalkulatzea posible da hiru argibide erabiliz. Adibidez, x86 arkitekturan, 32 biteko erregistro baterako, hurrengo Intel sintaxia dugu:

cdq
xor eax, edx
sub eax, edx

cdq komandoak, eax komandoaren zeinuaren bit-a edx-en hedatzen du.eaxnegatiboa ez bada, orduan edxzero bihurtzen da eta azken bi argibideek ez dute eraginik, eaxaldatu gabe utziz. eaxnegatiboa bada, berriz, edx0xFFFFFFFF edo -1 bihurtzen da. Hurrengo bi argibideak bi osagarrien inbertsio bihurtzen dira, balio negatiboaren balio absolutua eax-en utziz.

ErreferentziakAldatu

  1. Jean-Robert Argand, introductor del término módulo en 1806, ver: Nahin, O'Connor and Robertson, 5- y +5 igual a Cinco yfunctions.Wolfram.com.
  2. Txantiloi:Cita libro
  3. a b c d Oxford English Dictionary, Draft Revision, June 2008
  4. Nahin, O'Connor and Robertson, and functions.Wolfram.com.; for the French sense, see Littré, 1877
  5. Lazare Nicolas Marguerite Carnot. 2020-12-30 (Noiz kontsultatua: 2021-11-03).
  6. (Ingelesez) James Mills Peirce. (1857). A Text-book of Analytic Geometry: On the Basis of Professor Peirce's Treatise. J. Bartlett (Noiz kontsultatua: 2021-11-03).
  7. Higham, Nicholas J.. (2020). Handbook of writing for the mathematical sciences. (Third edition. argitaraldia) ISBN 978-1-61197-609-0. PMC 1131865104. (Noiz kontsultatua: 2021-11-03).
  8. Spivak, Michael. (1965). Calculus on manifolds : a modern approach to classical theorems of advanced calculus. ISBN 0-8053-9021-9. PMC 187146. (Noiz kontsultatua: 2021-11-03).
  9. Munkres, James R.. (1991). Analysis on manifolds. Addison-Wesley Pub. Co., Advanced Book Program ISBN 978-1-4294-8504-3. PMC 170966279. (Noiz kontsultatua: 2021-11-03).
  10. Dolciani y otros. álgebra moderna
  11. González, Mario O.. (1992). Classical complex analysis. M. Dekker ISBN 0-585-31691-0. PMC 45728566. (Noiz kontsultatua: 2021-11-03).
  12. Lorenz, Falko. (2006-2008). Algebra. Springer ISBN 978-0-387-31608-6. PMC 209914197. (Noiz kontsultatua: 2021-11-03).
  13. Rudin, Walter. (1976). Principles of mathematical analysis. (Third edition. argitaraldia) ISBN 0-07-054235-X. PMC 1502474. (Noiz kontsultatua: 2021-11-03).
  14. Spivak. Calculus I
  15. functions.Wolfram.com introducción de la notación  , por Karl Weierstrass en 1841.
  16. (Ingelesez) Weisstein, Eric W.. «Absolute Value» mathworld.wolfram.com (Noiz kontsultatua: 2021-11-03).
  17. Bartle, Robert G.. (1982). Introduction to real analysis. Wiley ISBN 0-471-05944-7. PMC 7875643. (Noiz kontsultatua: 2021-11-03).
  18. (Ingelesez) Lane, Saunders Mac; Birkhoff, Garrett. (1999). Algebra. American Mathematical Soc. ISBN 978-0-8218-1646-2. (Noiz kontsultatua: 2021-11-03).
  19. (Ingelesez) Schechter, Eric. (1996-10-24). Handbook of Analysis and Its Foundations. Academic Press ISBN 978-0-08-053299-8. (Noiz kontsultatua: 2021-11-03).

Kanpo estekakAldatu