Ireki menu nagusia

Artikulu hau multzoen teoria matematikoari eta bere axiomatizazioari buruzkoa da. Multzoak era didaktiko eta sinpleago batez jakiteko ikus: Multzo.
Vennen diagramek multzo-teoria arloko hastapenak ikasleei azaltzen laguntzen dute, elementuen eta multzoen arteko erlazioak eta eragiketak irudikatuz: badira, (A Bren barnean dago), (b elementua Bren baitan dago) eta (d eta e ez daude Bren baitan). Multzo-teoria axiomatikoa, ordea, sistema formal konplexua da eta matematikaren eta logikaren tresna zorrotzak baliatzen ditu.

Multzo-teoria multzoen propietateak eta erlazioak aztertzen dituen logika matematikoaren adar bat da. Objektuen bilduma abstraktuak objektu moduan hartzen ditu. Multzoak eta haien arteko eragiketak edozein teoria matematikoren oinarrizko tresna dira[1].

Multzo-teoria aberatsa da matematikaren gainerako objektuak eta egiturak eraikitzeko: zenbakiak, funtzioak, irudi geometrikoak... Logikaren tresnei esker, haien oinarriak aztertzea ahalbidetzen du. Gaur egun, Zermelo-Fraenkelen teoriaren axioma multzoa matematika osoa garatzeko nahikoa dela onartua dago.

Multzo-teoriaren lehenengo ikerketa formala Georg Cantor matematikariak egin zuen XIX. mendean. Egun, multzo-teoria eskolako matematiketan irakasten den gaia da, zenbaketa irakasteko adibidez, baina ebatzi gabeko problema eta paradoxa anitz aztertzeko tresna ere bada. Horrela, ohikoa da multzo teoria naive edo sinplea (eskolan irakasten dena) eta multzo-teoria axiomatikoa (matematika puruaren arloan, formalki konplexutasun handikoa eta paradoxak ebazteko sortu zena) bereiztea.

SarreraAldatu

Funtsezko multzo-teoria lengoaia matematikoaren oinarrizko tresna da. Zenbakiak eta poligonoak, adibidez, objektu matematikoak dira eta objektuen multzo moduan ikus daitezke. Elementu horietako bakoitza multzo baten barruan dago. Multzoak beste multzo batzuren elementu izan daitezke.

Multzo baten partaide izatearen kontzeptua   ikurraz adierazten da. Horrela,   elementua   multzoaren barruan dagoela edo multzoaren partaide dela   notazioaz adierazten da.

Partaide izatearen kontzeptutik lortzen da multzoen arteko partekotasun-erlazioa.   multzo jakin baten barruan dagoen   azpi-bilduma  -ren azpimultzo bat da.   eta   multzoen arteko erlazio hori horrela adierazten da:  .   multzoa  -ren parte dela esaten da.[2].

Multzoen artean aurki ditzakegu multzo finitua, multzo infinitua, multzo hutsa, multzo ez-zenbakigarriak, multzo zenbakigarriak, etab.

Zenbakizko multzo ezagunakAldatu

Matematikan badira oso ezagunak eta erabiliak diren hainbat zenbakizko multzo:   zenbaki arrunten multzoa da,   zenbaki osoen multzoa,   zenbaki arrazionalen multzoa,   zenbaki errealen multzoa eta   zenbaki konplexuen multzoa. Zera betetzen da:  

EragiketakAldatu

  • Bildura:   eta   multzoen bildura,  -renak edota  -renak diren elementuek osatzen duten multzoa da.   notazioaz adierazten da.
  • Ebakidura:   eta   multzoen ebakidura aldi berean  -renak eta  -renak diren elementuek osatzen duten multzoa da.   notazioaz adierazten da.
  • Diferentzia:   eta   multzoen arteko diferentzia  -ren barruan ez dauden   multzoaren elementu guztiak dituen multzoa da.   notazioaz adierazten da.
  • Osagarria:   multzoaren osagarria   multzoak ez dituen gainerako elementu guztiak dituen multzoa da.   notazioaz adierazten da.
  • Biderkadura kartesiarra:   eta   multzoen arteko biderkadura kartesiarra   notazioaz adierazten da eta   eta   elementuek osatzen dituzten ( ,  ) bikote ordenatuen multzoa da, non   eta  .
  • Multzo disjuntuak:   eta   multzoek elementu komunik ez badute disjuntuak direla esaten da,   .
  • Potentzia-multzoa:   multzoaren potentzia-multzoa  -ren azpimultzo guztiek osatzen duten multzoa da eta   notazioaz adierazten da.
  • Partizioa:   multzoaren partizioa  -ren azpimultzo-familia bat da, non azpimultzoak haien artean disjuntuak diren eta guztien bildura   multzoa den.

Multzoak eta multzoen arteko eragiketak Venn-en diagramen bidez irudika daitezke[3].

AplikazioakAldatu

Multzo-teoriaren bidez kontzeptu matematiko ugari defini daitezke zehaztasun handiz. Grafoak, eraztunak eta espazio bektorialak, adibidez, multzo-teoriaren propietate axiomatikoetan oinarrituz deskribatuak izan daitezkeen egitura matematikoak dira. Baliokidetasun erlazioa eta bestelako erlazio matematikoak ere, hau da, erlazioen teoria multzo-teoriaren bidez deskriba daiteke.

Izan ere, multzo-teoria matematikaren arlo desberdin askoen oinarria da. Principia of Mathematica -ren lehen atala argitaratu zenetik, matematikako teorema guztiak edo gehienak multzo-teoriako axiomak erabiliz ondoriozta daitezkeela onartu da. Zenbaki arrunten eta errealen propietateak, adibidez, multzo-teoriatik abiatuz lor daitezke.

Analisi matematikoaren, topologiaren, algebra abstraktuaren eta matematika diskretuaren oinarria multzo-teoria dela ezin daiteke uka; matematikariek onartu dute arlo horietako teoremak, multzo-teoriako axiometatik eta definizioetatik abiatuz lor daitezkeela. Metamath egiaztatze-proiektuak multzo-teoriako, lehen ordenako logikako eta logika proposizionaleko 12.000 teorema baino gehiagoren egiaztapenak ditu, gizakiak idatzitako eta konputagailuak egiaztatutakoak guztiak.

Multzo-teoria axiomatikoaAldatu

Oinarrizko multzo-teoria modu informalean eta intuizioa erabiliz azter daiteke. Halaxe irakasten da eskoletan, Vennen diagramak erabiliz. Modu intuitiboan, multzoa baldintza jakin bat betetzen duten objektuek osatutako klasetik osa daitekeela esaten da. Baina, definizio horrek hainbat paradoxarako bidea ematen du. Ezagunenak Bertrand Russell matematikariak aurkitutako Russell-en paradoxa, Burali-Forti-ren paradoxa eta Cantor-en paradoxa dira. Paradoxa horiek hasiera batean Georg Cantor eta Gottlob Frege matematikariek garatutako multzoen teoria kontraesankorra dela frogatu zuten.

Matematika azaltzeko oinarrizko tresna multzo-teoria izanik, paradoxa horiek saihestea beharrezkoa bihurtu zen. Lehen-mailako logika erabiliz eta multzo-teoria ondo eraikitzeko helburuarekin multzo-teoria axiomatikoa garatu zen, Zermelo-Fraenkel-en axiomak, adibidez. Hala ere, kasu askotan multzo-teoriaren oinarrizko formulazioa erabiltzea nahikoa izaten da.

Ikus, gaineraAldatu

ErreferentziakAldatu

  1.   J., Devlin, Keith (2004) Sets, functions, and logic : an introduction to abstract mathematics (3rd ed. argitaraldia) Chapman & Hall/CRC ISBN 1584884495 PMC 52813791 . Noiz kontsultatua: 2018-11-29 .
  2.   N., Herstein, I. (1988) Algebra abstracta Grupo Editorial Iberoamérica ISBN 968727042X PMC 21887461 . Noiz kontsultatua: 2018-11-29 .
  3.   O., Rojo, Armando (1999) Álgebra (19a ed. argitaraldia) El Ateneo ISBN 950025204X PMC 51097553 . Noiz kontsultatua: 2018-11-29 .