Artikulu hau matematika-terminoari buruzkoa da; beste esanahietarako, ikus «Gorputz (argipena) ».
Aljebra abstraktuan
(
A
,
+
,
⋅
)
{\displaystyle (A,+,\cdot )}
gorputza da
A
{\displaystyle A}
multzoak gutxienez bi elementu izanda,
A
{\displaystyle A}
multzorako
+
{\displaystyle +}
(gehiketa) eragiketak elkartze eta trukatze propietatea eta elementu alderantzizko eta neutroaren existentzia betetzen dituen, eta
⋅
{\displaystyle \cdot }
(biderketa edo produktua)eragiketak elkartze eta banatze propietateak, elementu neutroaren existentzia eta
A
{\displaystyle A}
multzoko elementuentzako, gehiketarekiko elementu neutroa izan ezik, elementu alderantzizkoaren existentzia betetzen dituen egitura aljebraikoa .
(
A
,
+
,
⋅
)
{\displaystyle (A,+,\cdot )}
gorputza da baldin:
A
{\displaystyle A}
multzoa gutxienez bi elementu ditu.
+
{\displaystyle +}
eragiketa
A
{\displaystyle A}
-ko elementuentzako elkartze propietatea betetzen du, hau da:
∀
a
,
b
,
c
∈
A
:
(
a
+
b
)
+
c
=
a
+
(
b
+
c
)
{\displaystyle \forall a,b,c\in A:(a+b)+c=a+(b+c)}
+
{\displaystyle +}
Propietate trukakorra betetzen du, hau da:
∀
a
,
b
∈
A
:
a
+
b
=
b
+
a
{\displaystyle \forall a,b\in A:a+b=b+a}
Existitzen da
0
A
∈
A
{\displaystyle 0_{A}\in A}
non
∀
a
∈
A
:
a
+
0
A
=
a
{\displaystyle \forall a\in A:a+0_{A}=a}
.
0
A
{\displaystyle 0_{A}}
+
{\displaystyle +}
eragiketarekiko elementu neutroa moduan denotatuko dugu.
A
{\displaystyle A}
-ko edozein elementurako existitzen da elementu alderantzizkoa gehiketarekiko (simetrikoa), hau da:
∀
a
∈
A
,
∃
a
′
∈
A
:
a
+
a
′
=
0
A
{\displaystyle \forall a\in A,\exists a'\in A:a+a'=0_{A}}
⋅
{\displaystyle \cdot }
eragiketa
A
{\displaystyle A}
-ko elementuentzako elkartze propietatea betetzen du, hau da:
∀
a
,
b
,
c
∈
A
:
(
a
⋅
b
)
⋅
c
=
a
⋅
(
b
⋅
c
)
{\displaystyle \forall a,b,c\in A:(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)}
⋅
{\displaystyle \cdot }
eragiketa banatze propietatea betetzen du, hau da:
∀
a
,
b
,
c
∈
A
:
a
⋅
(
b
+
c
)
=
a
⋅
b
+
a
⋅
c
{\displaystyle \forall a,b,c\in A:a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c}
Existitzen da
1
A
∈
A
{\displaystyle 1_{A}\in A}
non
∀
a
∈
A
:
a
+
0
A
=
a
{\displaystyle \forall a\in A:a+0_{A}=a}
.
1
A
{\displaystyle 1_{A}}
⋅
{\displaystyle \cdot }
eragiketarekiko elementu neutri moduan denotatuko dugu.
A
−
{
0
A
}
{\displaystyle A-\{0_{A}\}}
elementuentzako alderantzizkoa existitzen da biderketarekiko, hau da:
∀
a
∈
A
,
∃
a
−
1
∈
A
:
a
⋅
a
−
1
=
1
A
{\displaystyle \forall a\in A,\exists a^{-1}\in A:a\cdot a^{-1}=1_{A}}
Propietate guzti hauek betetzen dituen multzoa eta eragiketak gorputz bat eratzen dute.
Gorputzak definitzeko era sinpleagoa existitzen da:
(
A
,
+
,
⋅
)
{\displaystyle (A,+,\cdot )}
gorputza da baldin:
(
A
,
+
,
⋅
)
{\displaystyle (A,+,\cdot )}
eraztun ez tribiala da.
Existitzen da
1
A
∈
A
{\displaystyle 1_{A}\in A}
non
∀
a
∈
A
:
a
⋅
1
A
=
a
{\displaystyle \forall a\in A:a\cdot 1_{A}=a}
.
1
A
{\displaystyle 1_{A}}
⋅
{\displaystyle \cdot }
eragiketarekiko elementu neutri moduan denotatuko dugu.
A
−
{
0
A
}
{\displaystyle A-\{0_{A}\}}
elementuentzako alderantzizkoa existitzen da biderketarekiko, hau da:
∀
a
∈
A
,
∃
a
−
1
∈
A
:
a
⋅
a
−
1
=
1
A
{\displaystyle \forall a\in A,\exists a^{-1}\in A:a\cdot a^{-1}=1_{A}}
(
Z
,
+
,
⋅
)
{\displaystyle (\mathbb {Z} ,+,\cdot )}
Eraztun ez tribiala da, baina ez da gorputza ez delako existitzen zenbaki gehienen alderantzizkorik, adibidez 2 zenbakiaren alderantzizkoa 1/2 da, eta azken zenbaki hau ez da existitzen multzo barruan.
(
Q
,
+
,
⋅
)
{\displaystyle (\mathbb {Q} ,+,\cdot )}
Gorputza da?
(
i
)
{\displaystyle (i)}
(
Q
,
+
,
⋅
)
{\displaystyle (\mathbb {Q} ,+,\cdot )}
Eraztun ez tribiala da.
(
i
i
)
{\displaystyle (ii)}
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
-ren elementu neutroa biderkaketarekiko existitzen da:
1
{\displaystyle 1}
zenbakia non
∀
a
∈
A
:
a
⋅
1
=
a
{\displaystyle \forall a\in A:a\cdot 1=a}
(
i
i
i
)
{\displaystyle (iii)}
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
-ren edozein elementua
0
{\displaystyle 0}
izan ezik (gehiketarekiko elementu neutroa)alderantzizkoa du:
∀
a
∈
A
,
∃
a
−
1
∈
A
:
a
⋅
a
−
1
=
1
⟹
a
−
1
=
1
a
{\displaystyle \forall a\in A,\exists a^{-1}\in A:a\cdot a^{-1}=1\Longrightarrow a^{-1}={\frac {1}{a}}}
Beraz
(
Q
,
+
,
⋅
)
{\displaystyle (\mathbb {Q} ,+,\cdot )}
Gorputza da.
Gorputzak:
(
Q
,
+
,
⋅
)
,
(
R
,
+
,
⋅
)
,
(
C
,
+
,
⋅
)
{\displaystyle (\mathbb {Q} ,+,\cdot ),(\mathbb {R} ,+,\cdot ),(\mathbb {C} ,+,\cdot )}