Logaritmo

n zenbaki positibo bati buruz, delako zenbakia lortzeko oinarri izeneko a zenbaki positibo bat (a ≠ 1) berretu behar den x zenbakia (loga n = x esaten da, baldin n = a^x bada).

Logaritmo funtzioaren grafikoa, hiru oinarri erabilienetan.

Analisi matematikoan, zenbaki erreal positibo baten logaritmoa (logaritmoaren oinarri jakin batean) zenbaki bat da zeinarekin oinarria berretzen baita zenbaki erreal positibo hori lortzeko. Adibidez, 1000 zenbakiaren logaritmo hamartarra (10 oinarria duen logaritmoa) 3 da, , .

Kenketa batuketaren eta zatiketa biderketaren kontrako eragiketak diren moduan, logaritmoa bere oinarriaren berreketaren aurkako eragiketa da.

Logaritmo-eragiketa adierazteko, laburdura idazten da, eta, haren ondoren, oinarria azpi-indize modura. Adibidez, denez, da. Bi salbuespen nagusi daude: logaritmo hamartarretan () normalean, ez da azpi-indizerik idazten, baizik eta zuzenean  ; eta logaritmo naturaletan (), laburdura erabiltzen da. Logaritmo naturalari era informalean, logaritmo nepertar ere deitzen zaio, nahiz eta funtsean kontzeptu ezberdinak izan.

John Napier-ek definitu zuen lehenengo aldiz logaritmoa, XVII. mendearen hasieran, kalkuluak errazteko baliabide gisa.[1] Kalkuluaren arauek eta logaritmoen taulen erabilerak eragiketak asko errazten zituztenez, azkar asko zabaldu zen haren erabilera zientzialari, ingeniari eta bankarien artean, besteak beste.

Logaritmoaren egungo ideia Leonhard Euler-i dagokio, funtzio esponentzialarekin erlazionatu baitzuen XVIII. mendean.[2]

DefinizioaAldatu

  zenbaki erreal positibo baten logaritmoa (  oinarri jakin batean),   oinarriari ezarri behar zaion   berretzailea da,   bera lortzeko. Beste hitz batzuetan,   ber   funtzioaren alderantzizkoa da[3]. Funtzio hori   idazten da, eta " -ren logaritmoa   oinarrian" irakurtzen da.

 

Logaritmoaren definizioa egokia izateko,   oinarriak positiboa eta 1en desberdina izan behar du (    0 eta   1 non  ),   zenbakiak positiboa izan behar du (  0 non  ), eta   edozein zenbaki erreal izan daiteke ( ).[4]

AdibideakAldatu

  •   ; izan ere,  .
  •   ; izan ere,  .
  • Logaritmoak negatiboak izan daitezke:   ; izan ere,  .
  •   ; izan ere,  .

HistoriaAldatu

 
John Napier.

Logaritmoen bidezko kalkulua 1614an John Napierrek proposatu zuen lehen aldiz bere Mirifici Logarithmorum liburuan, nahiz eta Joost Bürgi matematikari eta erlojugile suitzarra horien existentziaz lehenago jabetu; izan ere, beranduago argitaratu baitzuen bere aurkikuntza. Hasiera batean, logaritmoen erabilerari uko egin zitzaion arren, Keplerrek horien erabileraren azalpenak liburu batean argitaratu ostean, iritzi hori guztiz aldatu zen, logaritmoen erabilerari hasiera emanez.

Metodo honek zientziaren garapenean lagundu zuen, bereziki astronomian, kalkulu konplexuen ebazpena erraztuz. Logaritmoak gehienbat geodesian, nabigazioan eta matematika aplikatuetan erabili ziren. Kalkuluan duen erabileraz gain, matematika aurreratuan ere garrantzi izugarria du.

Nahiz eta Napierrek gaur egun ezagutzen dugun logaritmoen oinarria ez erabili, hauek ondo funtzionatzen zuten   oinarriarekin interpolazioan eta kalkuluen laguntzan; are gehiago, erabat erabilgarriak ziren 1era jotzen zuten serie geometrikoen kalkuluan. Napierren logaritmoek ez zuten betetzen  ,   baizik. Horrela, N zenbaki bat eta L logaritmo bat izanik,  ;   delarik, non   gutxi gorabehera   den,   eta   baliokideak izanik.Hasiera batean, Napierrek "zenbaki artifizialak" bezala izendatu zituen logaritmoak eta, aldiz, "zenbaki naturalak" bezala antilogaritmoak. Geroago, logaritmo hitza, proportzio bat adierazten duen zenbaki bat bezala izendatu zuen: logos, proportzio zentzuarekin eta arithmos, ordea, zenbaki zentzuarekin; proportzio edota erlazio bat adierazten duen zenbaki bezala hain zuzen ere. Napierren arabera, bi logaritmoen arteko kendura horiek dituzten zenbakien erlazioa ematen digute, hori kontutan izanik, logaritmoen segida aritmetikoa horiek dituzten zenbakien segida geometrikoa izango da.

Propietate orokorrakAldatu

Edozein logaritmok, edozein oinarritan, honako propietateak betetzen ditu:

Oinarriaren logaritmoa 1 izango da beti,   delako   guztietarako.

1en logaritmoa 0 da beti (edozein oinarritan),   ,   delako   guzietarako

Izan bedi     tartean dagoen zenbaki erreal bat; orduan,   funtzioak balio negatiboa hartzen du, logaritmo negatibo izenekoa. Emaitza nabaria da, 1en logaritmoa 0 delako eta logaritmoa funtzio hertsiki gorakorra delako, haren irudia   da.

Zenbaki negatiboek ez dute logaritmorik   zenbaki errealen gorputzean; edozein   berretzailea izanik,   da. Eragozpen hori ekiditeko, definizio-eremua   zenbaki konplexuen gorputzera heda daiteke. Modu horretan, zenbaki negatiboen logaritmoa kalkula daiteke, logaritmo konplexua edo Euler-en formula erabiliz.

Oinarri bateko ondoz ondoko berreturek progresio geometriko bat osatzen dute; berretzaileek, aldiz, progresio aritmetiko bat. Adibidez, 2ren berreturak   eta haren berretzaileak  .

Propietate aljebraikoakAldatu

Identitate logaritmiko izeneko formula batzuen bidez, eragiketa bat maila txikiagoko eragiketa bilaka dezakegu. Hori da logaritmoaren asmakuntzaren arrakastaren arrazoi nagusia. Logaritmoei esker, biderketa batuketa bihur daiteke; zatiketa kenketa, berreketa biderketa, eta   graduko erroa, zatiki. Aldaketa horiek XVII. mendeko astronomian, nabigazioan eta matematikan egiten ziren kalkulu eta eragiketak guztiz aldatu zituen.[5] Hurrengo propietateak oso erabilgarriak dira logaritmoak kalkulatzeko orduan:


- Biderkadura baten logaritmoa faktoreen logaritmoen batuketa da.

 

Demostrazioa
 


 


- Zatiki baten logaritmoa zatikizunaren logaritmoa ken zatitzailearen logaritmoa da.

 

Demostrazioa
 


 


- Berreketa baten logaritmoa berretzailearen eta berrekizunaren logaritmoaren arteko biderkadura da.

 

Demostrazioa
 


 


- Erroketa baten logaritmoa errokizunaren logaritmoa zati erroketaren indizea da.

 

Demostrazioa
 


 


Aukeraketa eta oinarri aldaketaAldatu

Logaritmo erabilienak logaritmo naturala ( ), logaritmo hamartarra ( ) eta logaritmo bitarra ( ) dira. Hala ere, oinarriaren aukeraketa ez da erabakigarria, oinarri guztiak elkarren artean proportzionalak baitira. Hurrengo formula erabilgarria da oinarri ezberdineko logaritmoak erlazionatzeko:

 ,

non   izan baitaiteke onargarria den edozein oinarri.

Demostrazioa
 


 

  eginez:

 .

Propietate hau erabiliz, hurrengo bi identitateak lor daitezke:

 .


Propietate analitikoakAldatu

Logaritmoen azterketa sakonago batek funtzio edo aplikazioaren kontzeptua eskatzen du. Funtzioa bi multzotako elementuen arteko f erlazioa da, zeinak   multzo bateko   elementu bakoitzari   multzoko   elementu bakarra esleitzen baitio.[6] Adibidez, b-ren x-garren berretzailea edozein x zenbaki errealetarako. Funtzio hori idazkera matematikoan:

 

Funtzio logaritmikoaAldatu

Logaritmoaren definizioa ziurtatzeko asmoz, ekuazio esponentzialerako (  )  -ren soluzio bakarra existitzen dela frogatu behar da, kontuan izanik  ,   eta  . Hori frogatzeko, batez besteko balioaren teorema ezinbestekoa da.[7] Teorema horrek dio funtzio jarraitu bateko [m,n] edozein tarte harturik, funtzio horrek tartearen barneko edozein balio hartzen duela. Beste hitzetan, funtzio bat jarraitua izango da, baldin eta, bere grafikoa marraz badaiteke arkatza paperetik altxatu gabe.

Propietate hori   funtzioak betetzen duela froga daiteke,   eta   egokiak aukeratuz,   betetzen dutelarik. Beraz, batez besteko balioaren teoremak ziurtatzen du   ekuazioak baduela soluzioa. Are gehiago, ekuazio horretarako soluzio bakarra dago,   baldin bada.   funtzio hertsiki gorakorra izango da, eta   baldin bada, aldiz, hertsiki beherakorra.[8]

 
  funtzioaren grafikoa (urdinez),   funtzioaren grafikoa (gorriz) ( ) zuzenean erreflektatzen lortzen da.

  balioaren soluzio bakarra  -ren logaritmoa   oinarrian da,  . Honi, funtzio logaritmikoa edo logaritmoa deritzogu.

Alderantzizko funtzioaAldatu

Berretura baten logaritmoa edozein  -tarako formula   da. Aurkako moduan, edozein   zenbaki positibo harturik, haren formula   da. Horregatik, logaritmoak eta esponentzialak konbinatzeko (edo konposatzeko) bi erek hasierako zenbakia ematen dute berriro. Beraz, b oinarriko logaritmoaren alderantzizko funtzioa   da.[9]

Funtzioaren hazkuntza edo murrizteaAldatu

  funtzioak  -ra jotzen du (hau da, emandako edozein zenbaki baino handiago egiten da)  -k  -ra jotzen duen neurrian,   izanik. Kasu horretan,   funtzio gorakorra da. Hala ere,   bada,   funtzioak  -ra jotzen du. Bestalde,    -ra hurbiltzen denean,  erako   funtzioak minus infinitura jotzen du (aldiz,   denean, plus infinitura). Izan ere, edozein   oinarritarako, funtzio logaritmikoaren grafikoak (1,0) puntuan mozten du abzisa-ardatza.

Deribatu eta integral mugagabeaAldatu

 
Logaritmo naturalaren grafikoa (berdez) eta haren ukitzailea (beltzez)   puntuan (gorriz).

Funtzioen propietate analitikoak eta hauen alderantzizkoenak berdinak dira. Adibidez,   funtzio jarraitua eta diferentziagarria da eta ondorioz   ere horrelakoa izango da. Hizkera arrunta erabiliz, esan daiteke funtzio jarraitu bat diferentziagarria dela honen grafikoak <<puntu zorrotzik>> ez badu. Are gehiago, har dezagun   funtzioaren deribatua  -n ebaluatuta funtzio esponentzialaren propietateengatik, katearen erregela erabiliz   funtzioaren deribatua honako hau da:[10]

 
Honen azalpena, b oinarridun logaritmoaren grafikoaren ukitzailearen malda edozein   puntutan   izango dela da. Bereziki,   funtzioaren deribatua   denez, azken honen integral mugatua   da. Aurrekoa orokortuz, edozein   funtzioren logaritmo nepertarraren deribatua honela definitzen da:[11]
 
.

  logaritmo naturalaren integral mugagabea hurrengo hau da:[12]

 
Beste edozein oinarritako logaritmoen integral mugagabeak ekuazio honetatik lor daitezke, oinarria aldatuz.
 
 -ren logaritmo naturala,   funtzioaren grafikoaren azpian grisez dagoen azalera da.

Logaritmo naturalaren adierazpide integralaAldatu

t zenbakiaren logaritmo naturala bat dator   funtzioaren integralarekin, mugak 1 eta t direlarik:

 
Beste modu batera esanda,   funtzioaren eta OX ardatzaren   tartean dagoen azaleraren balioa   izango da. Hori kalkuluaren oinarrizko teoremaren eta   funtzioaren deribatua   izatearen ondorioa da. Aurreko ekuazioa logaritmo naturalaren definizio bezala ikus daiteke. Gainera, ekuazio horretatik logaritmoen biderketa eta berreturen formulak lor daitezke;[13] adibidez   hurrengo erlaziotik ondoriozta daiteke:
 
Lehenengo berdintzan integrala bi zatitan banatzen da; bigarrenean   aldagai aldaketa erabiltzen da.
 
Logaritmo naturalaren biderkaduraren formularen froga grafiko bat.

Berreketaren formula ere modu berdinean lor daiteke:

 
Bigarren berdintzan   aldagai aldaketa erabiltzen da.

Zenbaki naturalen alderantzizkoen batura, hau da,   serie armonikoa, logaritmo naturalarekin erlazionaturik dago. Izan ere, n infiniturantz doanean,   kendura Euler-Maschenoniren konstante bezala ezagutzen den zenbakirantz konbergentea da. Erlazio hau algoritmoen eraginkortasuna aztertzeko erabiltzen da da.[14]

KalkuluaAldatu

Logaritmo batzuen kalkulua oso erraza da:   , adibidez. Kalkulua zailagoa denean, logaritmoak berretura-serieen edo batezbesteko aritmetiko eta geometrikoen bidez, kalkulatzen dira, edo aldez aurretik kalkulatutako logaritmo taulen bitartez.[15][16] Newton-en metodoa ere, ekuazioen emaitzak hurbiltzeko iterazio-metodoa erabili daiteke logaritmoa kalkulatzeko, funtzio esponentziala kalkulatzea eraginkorra baita.[17] Logaritmo bitarretan,  erlazioa erabil daiteke era errekurtsiboan kalkulatzeko.


Berretura-serieaAldatu

Taylor-en serieaAldatu

 
  funtzioaren Taylor-en seriea   puntuan zentratua. Animazioak lehenengo 10 hurbilketak erakusten ditu 99.arekin eta 100.arekin batera.

  tarteko edozein zenbaki erreal izanik, honako berretura-seriea betetzen da:

 

Serie horrek   zehaztasun arbitrarioarekin hurbiltzen du batugai kopurua nahikoa denean; oinarrizko kalkuluan, beraz,   serie horren limitea da. Adibidez,   izanda, serie bidezko hirugarren ordenako hurbilketan   lortzen da ( ). Taylor-en serieak  -ren hurbilketa berezi bat ematen du   den kasuan:

 

OrokorpenaAldatu

Zenbaki erreal positiboez gain, logaritmo kontzeptua beste multzoetara hedatu daiteke:

Zenbaki errealakAldatu

  eta   zenbaki osoak badira eta batak besteak ez duen faktore lehen bat badu,   irrazionala izango da.

Zenbaki erreal positibo baten logaritmo naturala ongi definituta dago, eta zenbaki erreala da. Zenbaki erreal negatiboen logaritmo naturala definitzeko, ordea, zenbaki konplexuen beharra dago. Zenbaki konplexuen logaritmoekin gertatzen den bezala, zenbaki negatibo baten logaritmoa ez da bakarra.

Zenbaki konplexuakAldatu

 
z = x + iy zenbaki konplexuaren forma polarra. φ eta φ' zenbakiaren argumentuak dira.
 
Logaritmo konplexuaren adar nagusia: Log(z).

  zenbaki konplexu baten logaritmo naturala,  , zenbaki konplexua da eta honako ekuazioaren soluzioa da:

 .

Ekuazio horrek infinitu soluzio ditu.   forma polarrean idatzitako zenbaki konplexua izanik,   ekuazioaren soluzio posible bat da:

 [18]

Soluzio gehiago daudela baieztatu daiteke;  edozein balio izanik,  zenbaki konplexua ekuazioaren soluzioa da ere:

 .[19]

Izatez,   balio bakoitzak Riemann-en gainazal bat definitzen du.

Oinarri irudikariko logaritmoaAldatu

Oinarri bezala   unitate irudikaria duen logaritmoa erraz kalkulatu daiteke honako formula erabiliz:

 

non   baita 0 ez den zenbaki irudikari bat.

Hala ere, formula hori soluzio posibleetako bat da;   ekuazioak honako moduko soluzioak ere onartzen ditu:

 .

MatrizeakAldatu

B matrizea A matrizearen logaritmoa da   bada.[20]

Matrizeen berreketarekin ez bezala, matrize erreal baten logaritmoa ezin da beti definitu. Matrize diagonalizagarri baten kasuan, logaritmoa ondo definituta egon behar du matrizearen autobalio bakoitzarentzat. Kasu horretan, matrizearen logaritmoa definituta dago eta autobalio positibodun matrize baten logaritmoa beste matrize erreal bat izango da. 0 zenbakia matrizearen autobalioa bada, bere logaritmoa ez dago definituta.

Logaritmoa definituta badago autobalio multzo batean, eta multzo horretan zenbaki negatiboren bat badago, matrize-logaritmoa definitu daiteke zenbaki negatibo eta konplexuekin egiten den modu berean. Matrize-logaritmo hori ez da bakarra izango.

Matrizea ez bada diagonalizagarria logaritmoa definitzea zailagoa da, matrizearen Jordan-en forma kanonikoa aurkitu behar baita.

AplikazioakAldatu

 
Nautilus baten espiral logaritmikoa.

Logaritmoak hainbat aplikazio ditu, bai matematika eta baita arlo horretatik kanpo ere. Adibidez, nautilus baten oskolaren ganbera bakoitza hurrengoaren gutxi gorabeherako kopia da, konstante batez biderkaturik; horrek espiral logaritmikoa sortzen du. Logaritmoak antzekotasunarekin ere lotuta daude. Adibidez, problema bat ebaztekotan problema hori bi problema txikiagotan zatitzen duten algoritmoetan agertzen dira. Antzeko forma geometrikoen dimentsioen erlazioa ere lotuta dago logaritmoekin. Gainera, eskala logaritmikoak baliagarriak dira balio baten aldaketa absolutua neurtzeko. Funtzio logaritmikoak ( )   handitzen doan neurrian astiro handitzen direnez, eskala logaritmikoak eskala handiko datu zientifikoak konprimatzeko erabiltzen dira. Logaritmoak hainbat formula zientifikotan ere erabiltzen dira: Tsiolkovsky-ren zuziri-ekuazioan, Fenske-ren ekuazioan, Nernst-en ekuazioan...

 
Eskala logaritmikoan irudikatutako grafiko bat.

Eskala logaritmikoakAldatu

Kantitate zientifikoak sarritan agertzen dira beste kantitate batzuekin logaritmo batez erlazionatuta, eskala logaritmikoak erabiliz. Adibidez, Voltai elektrikoa logaritmoarekin deskribatzen da; baita soinuaren maila, dezibelioak, ere. Halaber, optikan agertzen da, argiaren xurgakotasunean.

Lurrikara baten indarra neurtzeko, logaritmo arrunta erabiltzen da, Richter eskalan. Beste eskala logaritmiko baten adibidea itxurazko magnitudeetan agertzen da, izarren distira logaritmoaren laguntzaz neurtzen baita. Kimikan, logaritmo negatiboa erabiltzen da pH-maila neurtzeko: hidrogeno ioien aktibitatea aztertzen da.

Logaritmoerdiak irudikatzeko, eskala logaritmikoaren kontzeptua erabiltzen da; abzisa bat, gehienetan bertikala, logaritmikoki eskalatzen du. Adibidez, eskuineko irudian ikus daiteke milioi batetik bilioi baterako hazkundea eta 1etik milioi baterainoko igoera tarte berdinak direla, ardatz bertikalean. log-log grafikoak bi abzisak logaritmikoki eskalatzen ditu.

Probabilitate teoria eta estatistikaAldatu

 
Hiru zorizko aldagaien probabilitatearen dentsitate-funtzioa log-normal banaketarako.   parametroa, zorizko aldagaien logaritmoen batezbestekoa dena, hiru dentsitate-funtzioetan 0 da.

Logaritmoa probabilitate-teorian agertzen da. Zenbaki handien legearen arabera, txanpon bat airera botata, aterako den gurutze kopuruak infinitura jotzen du; aldiz, aurpegi-gurutze erlazioak, erdira. Izan ere, erlazio horren arteko fluktuazioa logaritmo iteratuaren legearen arabera deskribatzen da.

Logaritmoa log-normal banaketan ere agertzen da. Zorizko aldagai baten logaritmoa banaketa normala duenean, aldagaia log-normal banaketa duela esaten da. Log-normal banaketa arlo askotan aurkitzen da, aldagai bat ausazko zenbaki positibo askeen biderketa bezala eratzen den bakoitzean; esaterako turbulentzien azterketa.

Logaritmoak modelo estatistikoen egiantz-handieneko estimazioan erabiltzen dira. Horrelako modeloetan, egiantza funtzioa, gutxienez, estimatu beharreko parametro baten menpe dago. Egiantz-handieneko funtzioa egiantz logaritmoko parametro-balio maximoan agertzen da, logaritmoa funtzio gorakorra delako. Egiantz logaritmoa maximizatzeko errazagoa da, bereziki ausazko aldagai askeek duten biderkatzen probabilitateengatik.

Benford-en legeak dio hainbat datu-baseetan logaritmoa aurki dezakegula, esaterako eraikuntzen pisuan. Benford-en legearen arabera, lagin bateko edozein zenbakiren lehen dezimalaren balioa   (1tik 9ra)   da, unitatearen neurrian edozein izanik. Ondorioz, lagin bateko datuen %30 1 digituarekin hasten da, %18 2 digituarekin eta abar. Auditoreek Benford-en legea erabiltzen dute zerga-iruzurren desbiderapenak aurkitzeko.

ErreferentziakAldatu

  1. Hobson, Ernest William. (1914). John Napier and the invention of logarithms, 1614; a lecture. Cambridge : University Press . Noiz kontsultatua: 2019-12-04.
  2. Remmert, Reinhold.. (1991). Theory of complex functions. Springer-Verlag ISBN 0-387-97195-5 PMC 21118309 . Noiz kontsultatua: 2019-12-04.
  3. (Ingelesez) Weisstein, Eric W.. «Logarithm» mathworld.wolfram.com . Noiz kontsultatua: 2019-12-04.
  4. Gonzl̀ez, Mario O.. Algebra elemental moderna. (1. argitaraldia) Kapelusz ISBN 9978-80-134-0 PMC 931940230 . Noiz kontsultatua: 2019-12-04.
  5. Kasner, Edward.. ([1985]). Matemáticas e imaginación. Hyspamérica ISBN 84-85471-55-5 PMC 433372338 . Noiz kontsultatua: 2019-12-04.
  6. Nevanlinna, Rolf, 1895-1980.. (2007). Introduction to complex analysis. (2nd ed. argitaraldia) AMS Chelsea Pub./American Mathematical Society ISBN 978-0-8218-4399-4 PMC 138341924 . Noiz kontsultatua: 2019-12-04.
  7. Lang, Serge, 1927-2005.. (1997). Undergraduate analysis. (2nd ed. argitaraldia) Springer ISBN 0-387-94841-4 PMC 34990068 . Noiz kontsultatua: 2019-12-04.
  8. Lang, Serge, 1927-2005.. (1997). Undergraduate analysis. (2nd ed. argitaraldia) Springer ISBN 0-387-94841-4 PMC 34990068 . Noiz kontsultatua: 2019-12-04.
  9. Stewart, James, 1941-. (2008). Single variable calculus : early transcendentals. (6th ed. argitaraldia) Thomson Brooks/Cole ISBN 978-0-495-01169-9 PMC 125398691 . Noiz kontsultatua: 2019-12-04.
  10. Lang, Serge, 1927-2005.. (1997). Undergraduate analysis. (2nd ed. argitaraldia) Springer ISBN 0-387-94841-4 PMC 34990068 . Noiz kontsultatua: 2019-12-04.
  11. Nevanlinna, Rolf, 1895-1980.. (2007). Introduction to complex analysis. (2nd ed. argitaraldia) AMS Chelsea Pub./American Mathematical Society ISBN 978-0-8218-4399-4 PMC 138341924 . Noiz kontsultatua: 2019-12-04.
  12. «Integrate(ln(x)) - Wolfram|Alpha» www.wolframalpha.com . Noiz kontsultatua: 2019-12-04.
  13. Courant, Richard, 1888-1972.. (1988). Differential and integral calculus. (Wiley classics library ed. argitaraldia) Interscience Publishers ISBN 0-471-60842-4 PMC 18167005 . Noiz kontsultatua: 2019-12-04.
  14. Havil, Julian, 1952-. (2003). Gamma : exploring Euler's constant. Princeton University Press ISBN 0-691-09983-9 PMC 51046962 . Noiz kontsultatua: 2019-12-04.
  15. Muller, J. M. (Jean-Michel), 1961-. (2006). Elementary functions : algorithms and implementation. (2nd ed. argitaraldia) Birkhäuser ISBN 978-0-8176-4408-6 PMC 262687505 . Noiz kontsultatua: 2019-12-04.
  16. Computer approximations. R.E. Krieger Pub. Co 1978, ©1968 ISBN 0-88275-642-7 PMC 3397150 . Noiz kontsultatua: 2019-12-04.
  17. «Wayback Machine» web.archive.org 2012-05-09 . Noiz kontsultatua: 2019-12-04.
  18. Wilde, Ivan Francis.. (2006). Lecture notes on complex analysis. Imperial College Press ISBN 1-86094-643-7 PMC 70539524 . Noiz kontsultatua: 2019-12-04.
  19. Nevanlinna, Rolf, 1895-1980.. (2007). Introduction to complex analysis. (2nd ed. argitaraldia) AMS Chelsea Pub./American Mathematical Society ISBN 978-0-8218-4399-4 PMC 138341924 . Noiz kontsultatua: 2019-12-04.
  20. Higham, Nicholas J., 1961-. (2008). Functions of matrices : theory and computation. Society for Industrial and Applied Mathematics ISBN 978-0-89871-646-7 PMC 185095770 . Noiz kontsultatua: 2019-12-04.

Ikus, gaineraAldatu

Kanpo estekakAldatu