Taylor serie

a zentroko ingurune batean infinitu aldiz diferentziagarria den funtzio bati dagokion berretura-seriea, non n mailako berreturaren koefizientea funtzioaren a zentroko n ordenako deribatuaren bidez kalkulatzen baita: [FORMULA].
Seriearen elementu kopurua igo ahala, jatorrizko funtzioari hurbiltzen zaio Taylorren seriea. Irudian, x=0 puntuan zentraturiko Taylor seriea dugu, f(x)=sin(x) funtzioarentzat (beltzez). Polinomioaren graduak edo (n) kolorez adieraziak dira 1, 3, 5, 7, 9, 11 eta 13 balioentzat.

Matematikan, Taylor seriea funtzio baten serie bidezko garapen bat da. Taylorren serieak berretura-serie bat erabiltzen du jatorrizko funtzio baten funtzio baliokide bat lortzeko, x=a puntuaren ingurunean. x=0 puntuaren ingurunean ari bagara, edo a=0 balioa denean, serieari MacLaurin serie deritzo.

Zenbait funtzio ezin dira Taylor serie baten bidez adierazi, x=a puntuan singulartasun bat dutelako. Kasu horietan, Laurent seriea erabil daiteke funtzio baliokide bat lortzeko.

DefinizioaAldatu

Taylor seriea honela definitzen da:


 

non

f(x) hurbilpena lortu nahi den jatorrizko funtzioa den,

a hurbilpen hori lortu nahi deneko ingurunea den,

f(n)(a) jatorrizko funtzioaren n mailako deribatuaren balioa den, a puntuan.

Taylor serie bidezko hurbilpenaAldatu

Taylor seriea funtzio batek x puntuaren inguruan hartzen duen baliora hurbiltzeko erabil daiteke, seriearen batugai zenbait bakarrik erabiltzen direnean. Era honetan, errore bat sortzen da, funtzioaren balioarekin bat datorren seriea ez baita modu osotuan garatzen:

 

Orokorrean, zenbat eta batugai gehiago, hobea izango da Taylor seriearen bidezko hurbilketa, eta txikiagoa Rn(x), edo sortuko den errorea.  , sortzen den errore edo hondarra da   betetzen bada[1], Lagrangeren hondarra alegia.

Funtzio analitikoakAldatu

Funtzio bat eta dagokion Taylor seriea konbergenteak direnean, jatorrizko funtzioa funtzio analitikoa dela esaten da. Beste hitz batzuetan, funtzio analitiko bat eta bere Taylor serieak balio berak emango lituzke funtzio hori definitua den tartean.

Serie nabarmenakAldatu

Funtzio esponentzialaren eta logaritmikoaren serieakAldatu

 

 

Funtzio trigonometrikoen serieakAldatu

 

 

 

Non Bs Bernouilliren zenbakiak diren.

ErabilerakAldatu

Taylor serieak erabiltzeak abantaila edo erraztasun batzuk eskein ditzake. Alde batetik, Taylor seriea funtzio polinomikoa izanik, honen deribatze eta integratzea askoz errazagoa da. Horrek, gainera, optimizazio problemak ebaztea ere errazten du. Bestetik, askotan Taylor seriearen balioa bera kalkulatzea azkarragoa da eta hurbilpen onak kalkulatzeko bidea ematen du. Eta orokorrean, limiteen, konbergentziaren, integralen eta abarren estimazioak egiteko bide azkar bat ematen dute Taylor serieek.

ErreferentziakAldatu

Kanpo estekakAldatu

  1. (Ingelesez) Taylor series, mathworld.wolfram.com webgunean. 2010-04-08an kontsultatua.