Taylor serie
Matematikan, Taylor seriea funtzio baten serie bidezko garapen bat da. Taylorren serieak berretura-serie bat erabiltzen du jatorrizko funtzio baten funtzio baliokide bat lortzeko, x=a puntuaren ingurunean. x=0 puntuaren ingurunean ari bagara, edo a=0 balioa denean, serieari MacLaurin serie deritzo.
Zenbait funtzio ezin dira Taylor serie baten bidez adierazi, x=a puntuan singulartasun bat dutelako. Kasu horietan, Laurent seriea erabil daiteke funtzio baliokide bat lortzeko.
DefinizioaAldatu
Taylor seriea honela definitzen da:
non
f(x) hurbilpena lortu nahi den jatorrizko funtzioa den,
a hurbilpen hori lortu nahi deneko ingurunea den,
f(n)(a) jatorrizko funtzioaren n mailako deribatuaren balioa den, a puntuan.
Taylor serie bidezko hurbilpenaAldatu
Taylor seriea funtzio batek x puntuaren inguruan hartzen duen baliora hurbiltzeko erabil daiteke, seriearen batugai zenbait bakarrik erabiltzen direnean. Era honetan, errore bat sortzen da, funtzioaren balioarekin bat datorren seriea ez baita modu osotuan garatzen:
Orokorrean, zenbat eta batugai gehiago, hobea izango da Taylor seriearen bidezko hurbilketa, eta txikiagoa Rn(x), edo sortuko den errorea. , sortzen den errore edo hondarra da betetzen bada[1], Lagrangeren hondarra alegia.
Funtzio analitikoakAldatu
Funtzio bat eta dagokion Taylor seriea konbergenteak direnean, jatorrizko funtzioa funtzio analitikoa dela esaten da. Beste hitz batzuetan, funtzio analitiko bat eta bere Taylor serieak balio berak emango lituzke funtzio hori definitua den tartean.
Serie nabarmenakAldatu
Funtzio esponentzialaren eta logaritmikoaren serieakAldatu
Funtzio trigonometrikoen serieakAldatu
Non Bs Bernouilliren zenbakiak diren.
ErabilerakAldatu
Taylor serieak erabiltzeak abantaila edo erraztasun batzuk eskein ditzake. Alde batetik, Taylor seriea funtzio polinomikoa izanik, honen deribatze eta integratzea askoz errazagoa da. Horrek, gainera, optimizazio problemak ebaztea ere errazten du. Bestetik, askotan Taylor seriearen balioa bera kalkulatzea azkarragoa da eta hurbilpen onak kalkulatzeko bidea ematen du. Eta orokorrean, limiteen, konbergentziaren, integralen eta abarren estimazioak egiteko bide azkar bat ematen dute Taylor serieek.
ErreferentziakAldatu
- ↑ (Ingelesez) Taylor series, mathworld.wolfram.com webgunean. 2010-04-08an kontsultatua.