Triangelu angeluzuzen

Hiru angeluetako bat zuzena duena, hau da, hiru angeluetako bat 90°-koa edo π/2 radianekoa duena

Triangelu angeluzuzena, triangelu zuzena, hiruki angeluzuzena edo hiruki zuzena hiru angeluetako bat zuzena duen triangelua da, hau da, hiru angeluetako bat 90°-koa edo π/2 radianekoa duena. Triangelu angeluzuzen bateko aldeen eta angeluen arteko erlazioa trigonometriaren oinarri da.

Triangelu angeluzuzena
Rtriangle.svg
Mota Triangelua
Aldeak 3

Triangelu bat angeluzuzena izateko, bere aldeen luzerek Pitagorasen teorema bete behar dute:

, non eta triangeluaren katetoak eta hipotenusa diren.

Terminologia eta kasu bereziakAldatu

 
Triangelu angeluzuzena, bere elementuekin.

Hirukiaren alde luzeenari hipotenusa deitzen zaio, hau da, angeluzuzenaren kontrako aldean dagoenari. Beste alde txikiagoei kateto deitzen zaie, hauek angeluzuzena eratzen dute eta goiko irudian angeluzuzenarekiko bertikalean eta horizontalean daudenak (a eta b) izango lirateke. Kateto bakoitzak angelu zorrotz bat eratzen du. Hiru aldeen neurriak zenbaki osoak badira, hiruko pitagorikoa eratuko dute.

Katetoen neurriak berdinak badira, hiruki angeluzuzen isoszele baten aurrean gaude (45-90-45 graduko angeluak). Hortaz:

 

Bada hiruki eskaleno oso ezagun bat zeinaren kateto txikienak hipotenusaren luzeraren erdia neurtzen duen. Hiruki horretan, aipatutako bi aldeek 30º-ko angelu zorrotz bat eratzen dute eta beste angelu zorrotza 60º-koa da, hala, ondorengo angeluak ditu: 30-90-60. Hiruki hori aldeberdina da altuerari dagokionean, horrek egiten du berezi. Hiruki aldeberdinaren aldea   dela eta altuera baten bidez bi hiruki angeluzuzen lortzen direla onartzen badugu (beraz, hiruki bakoitzaren hipotenusa   da; 30º-ko angeluarekiko aurkako katetoa   da, eta 60º-ko angeluarekiko aurkako katetoa   da), sinuen ondorengo balioak eskuratuko ditugu, hurrenez hurren:[1]

  1.  
  2.  

EzaugarriakAldatu

Hiruki angeluzuzen orok hurrena betetzen du:

  • Bi angelu zorrotz ditu.
  • Hipotenusa beti katetoak baino luzeagoa izango da.
  • Hipotenusaren luzeraren berbidura katetoen berbiduraren baturarekiko baliokidea da, hau da:  
  • Hipotenusaren luzeraren eta triangeluaren puntak biltzen dituen zirkuluaren diametroaren batura katetoen luzeraren baturarekiko baliokidea da.
  • Azaleraren kalkulurako,[oh 1] edozein kateto oinarritzat har daiteke eta bestea garaieratzat hartu behar da.[2]
  • Hipotenusaren medianak triangelu angeluzuzen eskalenoa bi triangelutan banatzen du: bata angelukamutsa eta bestea angeluzorrotza, kongruenteak ez baina baliokideak direnak.
  • Triangelu angeluzuzen isoszele baten hipotenusaren medianak kongruenteak eta baliokideak diren bi triangelu angeluzuzen isoszeletan banatzen du triangelua.[3]
  • Hipotenusa partekatzen duten eta angelu zuzenak aurkako planoerdietan (hipotenusaren lerroak zehazten dituenak) dituzten bi triangelu angeluzuzenek lauki angeluzuzen-bikoitz bat eratzen dute.[4]
  • Angelu zorrotzetik ateratzen den mediana hipotenusaren erdiarekiko baliokidea da.
  • Angelu zorrotzaren erpinetik ateratzen den garaiera katetoarekin bat dator, baldin eta beste katetoa oinarritzat hartzen bada.

Triangelu angeluzuzen motakAldatu

Bi motako triangelu angeluzuzenak daude:

  • Triangelu angeluzuzen isoszelea: bi katetoak luzera berdinekoak dira, barne-angeluak 45-45-90 gradukoak direlarik. Triangelu mota honetan, hipotenusak katetoaren luzeraren halako erro bi neurtzen du.
  • Triangelu angeluzuzen eskalenoa: hiru alde eta hiru angeluek neurri ezberdinak dituzte. Kasu berezitzat jo genezake barne angeluak 30-60-90 gradukoak dituen hiruki hura, non hipotenusak kateto txikienaren luzeraren erdia neurtzen duen eta kateto handiak txikiaren luzeraren halako erro hiru neurtzen duen.
  • Ondoz ondoko aldedun hiruki angeluzuzena: bere aldeen neurriak 3,4 eta 5 unitatekoak dira. Erraz aurki dezakegu Ekialde Hurbileko kulturetan, besteak beste, Babilonia eta Egipton. Ikur historiko, erabilgarri eta hezigarri bat dugu hau, geo-oinarri batera egokitu daiteke, gainera. Hiruki berdina baina ondoz ondoko alderik gabekoa bada, aldeek 5, 12 eta 13 unitate neurtuko dituzte, baina hiruki hau ez da aurrekoa bezain ezaguna.

Arrazoi trigonometrikoakAldatu

 
Triangelua zirkuluan.

Triangelu angeluzuzen batean, 'A-n erpina eta   neurria duen angeluaren arrazoi trigonometrikoak honakoak dira:

Sinua: aurkako katetoaren eta hipotenusaren arteko arrazoia,

 ; haren alderantzizko biderkatzaileak kosekante izena jasotzen du, baldin badu.

Kosinua: aldeko katetoaren eta hipotenusaren arteko arrazoia:

 ; haren alderantzizko biderkatzaileak sekante izena jasotzen du, baldin badu.

Tangentea: aurkako eta aldeko katetoen arteko arrazoia.

 ; arrazoi honen alderantzizkoa, baldin bada, kotangente izenez ezagutaraziko da.

AzaleraAldatu

 
Lehen irudia. Laukizuzen baten eta triangelu angeluzuzen baten katetoen altueraren arteko erlazioa.

Gogora dezagun hiruki ororen azalera kalkulatzeko ahalmena ematen digun adierazpen matematikoa zein den:

  ; Non   azalera den,   oinarria eta   altuera.

Triangelu angeluzuzenei dagokienean, ondorengoa ondorioztatu dezakegu aurreko adierazpena abiapuntutzat hartuta: Hiruki angeluzuzen baten azalera diagonalak erdibitzen duen laukizuzenaren azaleraren erdiarekiko baliokidea da, lehen irudian ikus daitekeen moduan. Hiruki angeluzuzena isoszelea bada, karratu bat ere har genezake azaleratzat.

 

Non a eta b aldeekin bat datozen katetoen neurrien adierazle diren eta laukizuzenaren altuerarekin bat datozen, lehen irudian ikusten den bezala. Hiruki batean, kateto batek bestearen altuera adierazten du beti. Beraz, a = 1katetoa eta b = 2katetoa direla onartuz, aurreko adierazpen matematikoarekiko baliokidea den bigarren ekuazio bat idatz dezakegu, ondorengo moduan:

 

Aurreko frogapena kasu berezi bat baino ez da, soilik triangelu angeluzuzenekin balizkoa dena eta adierazpen askoz orokorrago batetik eratorritakoa. Adierazpen orokorrago horrek triangelu ororen azalera kalkulatzeko gaitasuna ematen digu eta hori, Euklidesen I.41 proposizioa da, paralelogramo deritzon kontzeptu orokorrago batean oinarritzen da proposizio hori, eta beraz, bere balizkotasuna laukizuzen eta triangelu angeluzuzenetatik at hedatzen da.

Azalera maximoaAldatu

Zirkunferentziaerdi batean irudika daiteken azalera handieneko triangelu angeluzuzena triangelu angeluzuzen isoszelea da. Aurrez esan bezala, hiruki honek kateto berdinak ditu,   luzerakoak, non R irudikatutako zirkunfentziaerdiaren erradioa den, hipotenusa R-ren bikoitzarekin bat dator.

Froga
Zirkunferentziaerdiaren gainean lan eginez gero eta azaleraren funtzioa baliatuz,  ; non hartutako oinarria hipotenusa den eta garaiera berarekiko zuta den. Orduan A(x) maximoa izango da h maximoa denean, 2R konstantea delako.

OharrakAldatu

  1. Zeina honela kalkulatzen den:   Zeinetan   azalera den,   oinarria eta   garaiera. Kontuan hartu adierazpen horrek kalkulatu nahi den azalera hirukiarena bada soilik balio duela, bestela ikus azalera kalkulatzeko moduak.

ErreferentziakAldatu

  1. Pogorélov, A. V. (2010) Geometría elemental. Instituto Politécnico Nacional ISBN 978-1-4492-2943-6 PMC 950219096 . Noiz kontsultatua: 2019-11-23.
  2. Nichols. Palmer. Schacht: Geometría Moderna, Cecsa México hamahirugarren inprimaketa (1989).
  3. Medianaren definiziotik erraz egiaztatu daiteke baieztapena. Ikus Mediana (matematika).
  4. Benítez, René. (2007) Geometría plana Trillas ISBN 978-968-24-8157-4 PMC 427516571 . Noiz kontsultatua: 2019-11-23.

Kanpo estekakAldatu