Ireki menu nagusia

Segida

Segida (matematika)» orritik birbideratua)
eta segida bornatuak dira. Ez dira ez segida konbergenteak, ez monotonoak ezta Cauchyrenak ere.

Aljebra eta analisi matematikoan, segidak aplikazio diskretuak dira, non eremua zenbaki arrunten multzoa den eta koeremua beste edozein multzo (zenbakiena, irudi geometrikoena edo funtzioena). Multzo horietako elementu bakoitzari segidako elementu edo gai deritzo eta, elementu ordenatu kopuruari (batzuetan, infinitua), segidaren luzera.

Multzoetan ez bezala, segidetan elementuen ordenak garrantzia du, eta gai bat hainbat posiziotan ager daiteke.

Adibidez, (A, B, C) eta (C, A, B) letren segida desberdinak dira eta bakoitzaren luzera 3 da (finitua). Segida infinituen kasu bat zenbaki positibo bikoitiek osatzen dutena da: 2, 4, 6, 8....

HistoriaAldatu

 
Leonhard Euler, XVIII.mendeko matematikari suitzarra.

Ezarritako arau bati jarraitzen dioten segidek beti deitu izan diete atentzioa matematikariei. Hala ere, nahiz eta segidak antzinatik ezagunak izan, XVIII. mendean matematikaren garapena heldu zen arte ez ziren sakonki aztertu. Garai hartan, balio batera hurbiltzen ziren segiden kasuak aztertu ziren eta balio horri segidaren limite izena eman zitzaion.

Leonhard Euler izan zen garai hartako matematikari garrantzitsuenetarikoa, batez ere, segiden eta serieen inguruan egindako ekarpenengatik. Aipatzekoa da Leonardo Pisano matematikari italiarra ere, berak ekarri baizituen XII. mendean Europara Fibonacciren zenbakiak.

Oro har, segidak elementuen zerrenda ordenatuak adierazteko erabiltzen dira. Konputazioan eta jokoen teoriaenre oso erabilgarriak dira.


OrokortasunakAldatu

NotazioaAldatu

Badira hainbat notazio desberdin, ikasketa alorraren arabera erabiltzen direnak. Normalean,  notazioa erabiltzen da, non  , gai orokor deritzona, segidako n. posizioko elementua den.   azpiindizeak elementu batek segidan hartzen duen posizioa adierazten du. Zenbaki bikoiti positiboen segida da adibideetako bat:

 

Orduan,

 

Segidetako elementuek ezarritako arau bati jarraitzen diote, eta segidako elementu oro gai arbitrario baten bidezko formula baten bitartez adieraz daiteke. Aurreko segidaren kasuan,     formularen bidez adieraz daiteke edozein elementu.

  azpiindizetik hasi beharrean   azpiindizetik hasten diren segidak ere badaude; azken horiek matematika diskretuan eta konputazioan agertu ohi dira. Gai orokorra adierazteko,   ez den beste aldagai bat erabil daiteke, horrela beste aldagai batzuekiko nahasketak saihesteko.

Notazio alternatiboak aurki daitezke literaturan, adibidez:

  •  
  •  
  •  

Errekurrentzia bidez definitutako segidakAldatu

 segidaren errekurrentzia-erlazioa   elementuak ezartzen du; azken hori aurreko  gaien araberako funtzio bat da, non  . Segida bera da errekurrentzia-erlazio horren soluzioa, betiere haren elementuek erlazio hori betetzen badute edozein n baliotarako.

Algoritmo errekurtsiboek soluzioa ematen diote n tamainako problema bati. Fibonacci-ren segida da errekurrentzia bidezko segiden adibide on bat:

 .

Definizio formala eta propietateakAldatu

Definizio asko daude, eta ikerketa-arlo bakoitzean horietako bat erabiltzen da. Ohikoena eta orokorrena zenbaki-segidaren definizioa da. Praktikan, era intuitiboan erabili ohi dira segidak.

Definizio formalaAldatu

Zenbaki-segidak zenbaki arruntetatik X zenbaki multzo batera doan aplikazio baten bitartez definitzen dira:

 

  multzoa aukeratuta, Fibonacci-ren segida lor dezakegu. Oro har, zenbaki-segidak   koeremua dute. Edozein kasutan,   notazio orokorra erabili ohi da, edo azpiindizeak zenbaki osoak direla ulertutzat ematen bada, orduan   notazioa erabil daiteke.

Askotan, segidari ematen zaion izena aplikazioaren koeremuarekin lotuta dago. Adibidez,   -ren irudia zenbaki arrazionalen parte bada, hau da,   motakoa, zenbaki arrazionalen segida esaten zaio. Gauza bera gertatzen da zenbaki irrazionalekin, arruntekin, osoekin, aljebraikoekin,eta transzendentalekin.

Segida finitu eta infinituakAldatu

  r luzerako segida finituak irudiak S multzo batean baditu, funtzio hau definitzen da:

 

eta, kasu horretan,   berdintza betetzen da. Esaterako, 10 baino txikiagoak diren zenbaki lehenek osatzen duten 4 luzerako segida finituari (2,3,5,7)   funtzioa dagokio, non   zenbaki lehenen multzoa den. f-k honako balioak hartzen ditu:

 

  segida infinituak irudiak S multzoan hartzen baditu, honako funtzioa definitzen da:

 

Kasu horretan ere,   berdintza betetzen da.

AzpisegidakAldatu

  segida baten azpisegida edo segida partziala jatorrizko segidaren elementu batzuk ezabatzean sortzen den segida da; betiere ezabatu ez diren elementuen posizio erlatiboa aldatu gabe. Adibidez, zenbaki positibo bikoitiez osatutako segida (2,4,6...), (1,2,3...) zenbaki arrunten segidaren azpisegida bat da. Elementu batzuen posizioa aldatu egiten da beste batzuk ezabatzen direnean. Hala ere, horien posizio erlatiboa mantendu egiten da.

Formalki,  segida baten azpisegida  motakoa da, non   zenbaki oso positiboen segida hertsiki gorakorra den. Segida bakar baterako hainbat azpisegida ezberdin lor daitezke.[1]

Segida monotonoakAldatu

Segida monotonoetan, gai baten eta hurrengoaren arteko diferentzia beti da zeinu berekoa. Gorakorrak edo beherakorrak izan daitezke.[2]

Segida gorakorretan   desberdintza gertatzen da; hau da, elementu bakoitza hurrengoaren berdina edo txikiagoa da. Horien artean, segida konstanteak ere badaude.   desberdintasun hertsia betetzen denean, aldiz, segida hertsiki gorakorra dela esaten da.

Segida beherakorrek   desberdintza betetzen dute, eta hertsiki beherakorrak dira   denean.

Segida bornatuakAldatu

Segida bornatuen artean hiru kasu bereiz daitezke:

  •   segida goitik bornatuta egongo da M zenbaki erreal bat existitzen bada   betetzen duena edozein n baliotarako.
  •   segida behetik bornatuta egongo da N zenbaki erreal bat existitzen bada   betetzen duena edozein n baliotarako.
  • Aurreko bi kasuak aldi berean gertatzen direnean, segida bornatua da.

Limiteak eta konbergentziaAldatu

 
Segida konbergentea 0-rantz.

Segidetako propietate garrantzitsu bat da konbergentzia. Segida batek konbergituz gero, balio partikular baterantz konbergituko du, eta balio horri limite deritzo. Segida batek limite baterantz konbergitzen badu, orduan, segida hori konbergentea dela esaten da. Konbergitzen ez duen segida, aldiz, segida dibergentea dela esaten da.

Hizkuntza formala alde batera utzita, segida batek limitea du bere elementuak   balio batera (segidaren limitera) gero eta gehiago hurbildu eta elementu batetik aurrera, gai guztiak   baliotik gertu mantentzen direnean. Hau da,   edozein zenbaki erreal emanda, segidako elementu guztiek (kopuru finitu batek izan ezik) rekiko duten distantzia d baino txikiagoa da.

Esaterako,   segidak 0-rantz konbergitzen du. Aldiz,   eta   segidak dibergenteak dira.

Segida batek konbergitzen badu, konbergitzen dueneko limitea bakarra da. Normalen,   segidaren limite hori adierazteko,   notazioa erabiltzen da (logikoki, segida dibergenteetan adierazpen horrek ez du inongo zentzurik).

Konbergentziaren definizio formalaAldatu

  zenbaki errealen segida batek  rantz konbergitzen du, baldin eta:  ,   existitzen da, zeinetarako   betetzen den  rako.[3]

Aldiz,   zenbaki konplexuen segida bada, oraindik ere aurreko definizioa erabil daiteke, eraldaketa txiki batekin. Kasu horretan,   modulu arrunta erabili beharrean, konplexuen modulua erabili behar da:   .

  espazio metriko bateko puntuen segida bada, berriz, definizioa berrerabil daiteke. Betiere,   adierazpena   espresioarekin ordezkatzen bada. Azken horrek   eta   balioen arteko distantzia adierazten du.

AplikazioakAldatu

  eta   segidak konbergenteak badira, hurrengo segiden limitea existitzen da, eta honela kalkula daiteke:[3]

  •  
  •  
  •  
  •   bada
  •  ,  .

Bestalde,

  •   bada edozein  tarako, orduan,  [oh 1]
  • (Squeeze teorema)

  segida batek   betetzen badu  rako, eta   baldin bada,   konbergentea da eta  

  • Segida bat bornatua eta monotonoa bada, konbergentea da.
  • Segida bat konbergentea da baldin eta soilik baldin haren azpisegida guztiak konbergenteak badira.

Cauchyren segidakAldatu

  segida Cauchyren segida dela esaten da hurrengo baldintza hau betetzen baldin badu:   zenbaki erreal positibo bat emanda, eta   hartuta,  .[4]

Zenbaki errealen kasuan, Cauchyren segida orok limite baterantz konbergitzen du. Propietate horrek analisi errealaren emaitza garrantzitsu bat dakar: segiden konbergentziarako Cauchyren karakterizazioa.

Limite infinituakAldatu

 
Urdinez dagoen funtzio honen limitea n infinitua da infiniturantz doanean. n minus infiniturantz doanean, aldiz, minus infinitu izango da.

Kalkuluan badira konbergentziaren definizio esplizitua betetzen ez duten baina arbitrarioki luzatzen diren segidak (noranzko positiboan zein negatiboan). Orduan, bi kasu bereiz daitezke:

  •   bada, segidak infiniturantz konbergitzen duela edo dibergentea dela esaten da. Adibide ona da   segida.
  •   bada, segidak infinitu negatiborantz konbergitzen duela edo dibergentea dela esaten da.

Segiden sailkapenaAldatu

Hainbat segida mota bereizten dira:

  •   segida aritmetikoa da baldin eta  bada,   izanik. d zenbakia segidaren diferentzia da.
  •   segida geometrikoa da baldin eta   bada,   izanik. r zenbakia segida geometrikoaren arrazoia da.
  •   segida harmonikoa da baldin eta  ,   izanik.

SerieakAldatu

Serieak segiden gaien batura dira.   edo   moduan idazten dira, non   zenbaki erreal edo konplexuen segida bat den.

Baturan infinitua ordez zenbaki finitu bat jarriz, seriearen batura partziala lortzen da. Adibidez,   seriearen N. batura partziala   zenbakia da. Batura partzial horiek segidak osatzen dituzte,  , eta horiei   seriearen batura partzialen segidak deritze. Seriearen batura partzialen segida konbergentea bada, orduan   segida konbergentea dela esaten da, eta seriearen balioa (baturaren emaitza)   da. Beraz,   =  .


OharrakAldatu

  1. Desberdintza horiek desberdintza hertsiekin ordezkatzen badira, esandakoa orokorrean gezurra da: hala ere, badaude   desberdintza betetzen duten segidak, edozein  -rako, non   betetzen den.

ErreferentziakAldatu

  1. Fulks, Watson; Wiley, Limusa Calculo Avanzado . Noiz kontsultatua: 2018-03-22.
  2. Txantiloi:Espagnol BOUVIER; GEORGE (May 2006) Diccionario Akal de matematicas / Akal Dictionary of Mathematics (1. argitaraldia) Akal Ediciones ISBN 9788446012542 . Noiz kontsultatua: 2018-03-22.
  3. a b (Ingelesez) Gaughan, Edward D. (2009-01-13) Introduction to Analysis (5th Revised edition edition. argitaraldia) American Mathematical Society ISBN 9780821847879 . Noiz kontsultatua: 2018-03-22.
  4. Lima, Elon Lages Curso de analisis matematico 1 ISBN 9788477470557 . Noiz kontsultatua: 2018-03-22.

BibliografiaAldatu

  • Fernández Novoa, Jesús (1991). Análisis Matemático I (Tomo 1). Madrid: UNED. ISBN 9788436216684.
  • Watson Fulks. "Cálculo avanzado".
  • J. Dieudonné. " Fundamentos de análisis moderno".
  • Lages Lima. " Curso de análisis matemático
  • Banach. " Cálculo".
  • Spivak . "Calculus"
  • V.F. Butúzov. " Análisis matemático"

Ikus, gaineraAldatu