Ireki menu nagusia

Ekuazio lineal

Lehenengo mailako ekuazio» orritik birbideratua)

Bi ekuazio linealen adierazpen geometrikoa

Ekuazio lineala lehen mailako ekuazio aljebraiko bat da non ezezagunen berreturak bat diren. Aldagai bateko ekuazio linealen adibide sinpleena hau da: , non eta konstanteak diren, eta zeroren desberdina. Konstante horiek hainbat motatakoak izan daitezke: zenbakiak, parametroak…

Ekuazio linealek aldagai bat baino gehiago izan ditzakete. Adibidez, hiru aldagaiko ( eta ) ekuazio lineala honela idatz daiteke: , non eta konstanteak diren, eta eta ez-nuluak. Ekuazio linealak maiz erabiltzen dira Matematikaren hainbat arlotan, bereziki, Matematika Aplikatuan. Gainera, fenomeno fisikoak modelizatzeko erabil daitezke. Izan ere, ekuazio ez-linealak ekuazio linealen bidez hurbil daitezke.

Ekuazioa lineala izango da gai bakoitzeko aldagaien berreturen batura 1 bada. Berretura 1 baino handiagoa duten ekuazioei ez-lineal deritze. Adibidez, ekuazioa ez-lineala izango da lehenengo gaiko aldagaien berreturen batura 2 delako ( ). Gainera, funtzio polinomikoak ez diren funtzioak dituzten ekuazioak ez-linealak dira.

Jarraian, aldagai kopuru desberdinetako ekuazio linealak aztertuko dira. Gainera, funtzio linealen eta inekuazio linealen oinarrizko kontzeptuak azalduko dira.

Aldagai bakarreko ekuazio linealakAldatu

Aldagai bakarreko ekuazio linealen forma orokorra hau da:

 ,

non   eta   zenbaki errealak diren eta   zeroren desberdina den.

Ekuazio lineal orokorraren soluzioa hau da:

 .

Edozein beste ekuazio lineal bakandu daiteke aurreko formara, aljebraren oinarrizko legeak aplikatuz. Adibidez,   ekuazioa oso erraz bakanduko dugu   itxurara, eta azken hori forma orokorra da.

Bi aldagaiko ekuazio linealakAldatu

Bi aldagaiko ekuazio linealen ohiko forma honako hau da:

 

non   eta   konstanteak diren, eta   zeroren desberdina.

Mota honetako ekuazioen soluzioak planoan zuzen baten bidez irudika daitezkeelako esaten zaie lineal.

Horregatik,   ekuazioan   konstanteak zuzenaren malda adierazten du eta,   konstanteak, zuzenak   ardatza zein puntutan mozten duen.

Bi aldagaiko ekuazio linealen adierazpen motakAldatu

Ekuazio linealak hainbat modutara berridatz daitezke oinarrizko aljebra erabiliz.

Forma orokorra (estandarra)Aldatu

Ekuazio linealen forma orokorra honela adierazten da:

 

non   eta   zeroren desberdinak diren. Ekuazioaren grafikoa zuzen bat da, eta edozein zuzen aurreko ekuazioaren bidez adieraz daiteke.   zeroren desberdina denean, zuzenak   puntuan ebakiko du   ardatza;   zeroren desberdina bada, zuzenak   puntuan ebakiko du   ardatza, eta zuzenaren malda   izango da. Batzuetan, ekuazio linealaren forma orokorra honela idazten da:

 

non   eta   zeroren desberdinak diren. Ekuazioaren adierazpen batetik bestea lor daiteke konstantea mugituz.

Malda-intersekzio formaAldatu

 

non   konstantea zuzenaren malda den eta     ardatzaren ebaki-puntua. Hori erraz ikus daiteke:  -ri zero balioa emanez,   lortzen da, eta horrek esan nahi du zuzenak   ardatza   puntuan ebakitzen duela. Forma horren bidez, erraz ikus daiteke zuzena gorakorra edo beherakorra den. Zuzena beherakorra da   denean, eta gorakorra   denean.


Puntu-malda formaAldatu

 

non   konstantea zuzenaren malda den eta   zuzeneko edozein puntu.

 
Zuzen baten malda

Forma honek erakusten du   ardatzeko bi punturen arteko distantzia     ardatzeko bi punturen arteko distantziarekiko   proportzionala dela. Porportzionaltasun-konstantea   da (zuzenaren malda).

Puntu bikoitzeko formaAldatu

 

non   eta  ,   baldintza betetzen duten zuzeneko bi puntu diren. Puntu bikoitzeko forma puntu-malda formaren baliokidea da, zuzenaren malda  eran emanda baitago.

Ekuzioaren bi aldeak   balioarekin biderkatuz, forma simetriko deritzon adierazpena lortzen da:

 

Oinarrizko propietateak aplikatuz eta gaiak berrantolatuz, honako forma hau lortzen da:

 .

Aurreko adierazpenetik determinante forma lor daiteke:

 

Intersekzio-formaAldatu

 

non   eta   zeroren desberdinak diren. Adierazpen honetatik erraz ondoriozta daiteke zuzenak   ardatza   puntuan ebakiko duela eta   ardatza   puntuan. Intersekzio-forma forma orokor bezala idatz daiteke   eta   aldaketak eginez. Jatorritik igarotzen diren zuzenak, zuzen bertikalak eta zuzen horizontalak ezin dira modu horretan adierazi.

Forma matrizialaAldatu

Forma orokorretik abiatuta, hots,   ekuaziotik hasita, forma matriziala lor daiteke:

 

Gainera, adierazpen hori ekuazio linealen sistemetara heda daiteke.

Adibidez,

 

 

ekuazio-sistema honela laburtu daiteke:

 

Adierazpen horren bidez erraz alda daiteke dimentsio handiagoetara; horregatik, aljebra linealean eta programazio matematikoan oso ohiko adierazpena da. Ekuazio linealen sistemak ebazteko metodoak, adibidez, Gauss-Jordan metodoa, matrizeko ilaren arteko eragiketak eginez adieraz daitezke.

Forma parametrikoaAldatu

  eta  

Aldibereko bi ekuazio horiek   parametroaren arabera idatzita daude. Zuzenaren malda   izango da,   ardatza   puntuan ebakiko du eta   ardatza   puntuan.

2 dimentsioko bektorearen determinante-formaAldatu

Zuzen baten ekuazioa bi bektoreren arteko detemerminante gisa idatz daiteke.   eta   zuzeneko puntuak badira, orduan   puntua zuzeneko parte izango da honakoa betetzen bada:

 

Formula ulertzeko modu bat da bi bektoreren arteko determinanteak puntuek osatzen duten paralelogramoaren azalera ematen digula jakitea. Gainera, determinantea zeroren berdina bada, paralelogramoak ez du azalerarik, eta bi bektoreak zuzen berdina osatzen dutela esaten da.

Zehatzago idatzita esan daiteke  ,   eta   direla. Kasu horretan,   eta   direnez, aurreko ekuazioa honela idatz daiteke:

 

Adierazpena garatuz,

 

Hau da,

 

 
Zuzen horizontala, y=b

Ekuazioaren bi aldeetan   gaia biderkatuz puntu bikoitzeko forma lortzen da.

Kasu bereziakAldatu

  •  . Ekuazio hau   eta   direneko forma orokorraren kasu berezi bat da. Kasu honetan zuzenaren malda 0 dela esan daiteke; zuzena horizontala izango da eta, ekuazioak dioen bezala,   ardatza   puntuan ebakiko du.   den kasuetan esango dugu zuzenak ez duela   ardatza ebakiko.   denean, ordea, zuzeneko puntu guztiak   ardatzean egongo dira.
 
Zuzen bertikala x=a
  •  .Ekuazio hau   eta   direneko forma orokorraren beste kasu berezi bat da. Kasu honetan zuzenaren malda definitu gabea dela esan daiteke; zuzena bertikala izango da eta,   den kasuetan, esan daiteke zuzenak ez duela   ardatza ebakiko.   denean, ordea, zuzeneko puntu guztiak   ardatzean egongo dira.

Funtzio linealekin duten loturaAldatu

  moduan adierazten den eta jatorritik igarotzen den ekuazio linealak honako bi propietate hauek betetzen ditu:

 

eta

 

non   eskalarra den. Aurreko bi propietateak betetzen dituen funtzioari funtzio lineal deritzo.

Bi aldagai baino gehiagoko ekuazio linealakAldatu

Ekuazio linealek bi aldagai baino gehiago izan ditzakete, eta   aldagaiko edozein ekuazio lineal modu honetan berridatz daiteke:

 ,

non  koefizienteak zenbaki ez-nuluak diren.  aldagaiei ezezagun deritze eta, b koefizienteari, gai aske. Oro har, hiru aldagai edo gutxiago dituzten ekuazio linealak adierazteko,  ,   eta   erabiltzen dira,   eta   erabili beharrean.

  aldagaiko ekuazioan koefiziente guztiak nuluak badira gai askea izan ezik, ekuazio linealak ez du soluziorik izango. Izan ere,   berdintza lortuko da,   izanik, eta horrek ez du zentzurik zenbakiak erabiltzen direnean. Gai askea eta koefizienteak nuluak baldin badira, ekuazio linealak infinitu soluzio izango ditu edozein zenbaki-multzotarako beteko baita ekuazioa.

Aldagairen baten koefizientea zeroren desberdina izanez gero, posible da aldagai hori bakantzea. Esaterako,  .koefizientea ez-nulua bada,  , ekuazio lineala modu honetan berridatz daiteke:

 . Hots, koefiziente ez-nulua duen aldagaia ekuazio linealeko beste aldagaien menpe adieraz daiteke.

Aldai anitzeko ekuazio linealak geometrikoki adieraz daitezke, aldagai bakarreko eta bi aldagaiko ekuazioen antzera.   denean, soluzio multzoa plano bat da hiru dimentsioko espazio bektorialean;   aldagai daudenean, soluzio multzoa   dimentsioko hiperplanoa da   dimentsioko espazio euklidearrean (edo espazio afinean, zenbakiak konplexuak direnean, esaterako).

Ekuazio linealen sistemaAldatu

 
Adibidearen adierazpen grafikoa

Matematikan, ekuazio linealen sistema (edo sistema lineala) deritzo aldagai kopuru bera duten bi ekuazio lineal edo gehiagoren bildumari. Adibidez, bi aldagaiko ekuazio linealen sistema da hau:

 ,

 .

Ekuazio linealen sistema baten soluzioak sistemaren ekuazio guztiak bete behar ditu. Aurretik emandako ekuazio linealen sistemaren soluzio bat hau da:   eta  . Sistema hitzak adierazten du ekuazio-bilduman dauden ekuazio guztiak batera hartu behar direla kontuan, eta ez bakoitza bere aldetik.

Ekuazio ez-linealez osatutako sistemei ekuazio ez-linealen sistema deritze; ekuazio ez-linealen antzera, ekuazio ez-linealen sistemak ekuazio linealetako sistemen bidez hurbil daitezke.

Inekuazio linealakAldatu

Inekuazio lineal esaten zaie berdintza-ikur ordez desberdintza-ikurra duten ekuazio linealei. Horien adibide dira honako hauek:

 

eta

 .

BibliografiaAldatu

  • Barnett, R.A.; Ziegler, M.R.; Byleen, K.E. (2008), College Mathematics for Business, Economics, Life Sciences and the Social Sciences (11th ed.), Upper Saddle River, N.J.: Pearson, ISBN 0-13-157225-3

Kanpo estekakAldatu

  • Linear Equations and Inequalities Open Elementary Algebra textbook chapter on linear equations and inequalities.
  • Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Linear equation", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4