Ireki menu nagusia

Geometrian, zuzena edo lerro zuzena objektu geometriko bat da, infinitu puntuen multzo batek osatua, azkengabe luzea eta mehea, eta kurbadurarik ez daukana. Zuzen bat definitzeko bi puntu besterik ezagutu behar ez ditugu. Puntuarekin eta planoarekin batera, geometriaren oinarrizko elementuetako bat da.

zuzen baten ekuazioak zuzen bat osatzen duten puntu guztiak ditu soluzio, puntu hauek grafikoki irudikatzen badira [1]. Zuzen bat analitikoki adierazteko ohizko modua da zuzenaren ekuazioa. Adibidez, x-y=1 ekuazioak balio bikote edo puntu hauek ditu, besteak beste, soluzio eta diagrama kartesiar batean irudikatzen badira puntuek zuzen bat osatzen dute:

x-y=1 ekuazioko soluzioek zuzen bat definitzen dute.
x aldagaia y aldagaia
5 4
6 5
1 0
4 3
2 1

Zuzenaren ekuazioa ezartzeko koordenatu cartesiarretan emandako eta bi puntu baino ez dira behar, espazioan zein planoan bi puntu zuzen bat modu unibokoan definitzen baitute.

Zuzenaren ekuazioak planoanAldatu

Puntu-malda ekuazioaAldatu

Zuzenaren m malda honela kalkulatzen da,   eta   planoko puntuetarako:

 

Zuzenaren ekuazioa hau izango da:

 

Zuzeneko (x,y) puntuak sortzeko, x aldagaiari balio ezberdinak emanez dagozkien y balioak kalkulatzen dira.

Ekuazio esplizituaAldatu

Zuzenaren ekuazioa esplizitua era honetan agertzen den ekuazioa da, m malda eta n jatorrizko ordenatua (x=0 jatorrian zuzenak hartzen duen balioa alegia) izanik:

 


 

Zuzeneko puntuak sortzeko, x aldagaiari balio ezberdinak eman behar zaizkio.

Ekuazio bektorialaAldatu

Zuzen bat zuzenaren   bektore edo puntu bat eta zuzenaren norabidea ematen duen   bektore zuzentzaile bat ezarriz defini daiteke,   balioetarako:

 

Zuzeneko (x,y) puntuak sortzeko,   aldagaiari balio ezberdinak eman behar zaizkio.

Ekuazio parametrikoakAldatu

Ekuazio parametrikoak ekuazio bektorialetik eratortzen da zuzenean zuzeneko puntuei dagozkien   bektorea eta bektore zuzentzailea deskonposatuz bere bi elementutan:

 
 

Zuzeneko x eta y puntuak sortzeko,   aldagaiari balio ezberdinak eman behar zaizkio.

Ekuazio jarraituaAldatu

Arestiko ekuazio parametrikoetatik   bakanduz eta berdinduz, ekuazio jarraitua lortzen da:

 
 

Zuzeneko puntuak sortzeko, x aldagaiari balio bat eman eta beste aldagaiaren y balioa askatu behar da.

Ekuazio inplizituaAldatu

Zuzenaren ekuazio inplizitua era honetan agertzen den ekuazioa da:

 

Zuzenaren bektore zuzentzailea (-B,A) da.

Ekuazio esplizituarekin alderatzen bada, m malda eta n jatorriko ordenatua hauek izango dira:

 

Zuzeneko puntuak sortzeko, x aldagaiari balio bat eman eta beste aldagaiaren y balioa askatu behar da.

Ekuazio segmentario edo kanonikoaAldatu

 
Planoko zuzen baten ekuazio kanonikoaren a eta b balioak.

Ekuazio segmentario edo kanonikoaz honela irudikatzen da zuzena:

 

  izanik   ardatzekin, hurrenez hurren, zuzenak dituen ebaki puntuak (eta horrela a eta b luzerako segmentu edo zuzenkiak sortuz).

Zuzeneko puntuak sortzeko, x aldagaiari balio bat eman eta beste aldagaiaren y balioa askatu behar da.

Koordenatu polarrakAldatu

Zuzenaren ekuazio esplizitua hartuz, eta   aldaketak eginez koordenatu cartesiarretatik koordenatu polarretara aldatzeko, m malda eta n jatorriko koordenatua izanik:

 

Beraz, zuzenaren ekuazioa koordenatu polarretan honela irudika daiteke [2]:

 

Zuzena radiala denean, hau da, jatorritik igarotzen denean, zuzenaren ekuazioa koordenatu polarretan hau da:

 

Zuzenaren beste ekuazio batzukAldatu

Zuzen bat irudikatzeko beste era batzuk daude, zuzena   puntuetatik igarotzen delarik:

 


 


Zuzenaren ekuazioak espazioanAldatu

3 dimentsiotako espazio batean, zuzenaren ekuazioa bektore zuzentzaile bat eta puntu bat erabiliz finka daiteke. Bektore zuzentzailea zuzenaren bi puntu finkatuz ezartzen da. Bektore zuzentzailea eta puntu bat ezagunak direlarik, ekuazio bektoriala, ekuazio parametrikoak eta ekuazio jarraia daude aukeran zuzenaren azalpenerako. Zuzena bi planoen ebaketa moduan ere ager daiteke: ekuazio orokor edo inplizitua erabiltzen da orduan.

Ekuazio bektorialaAldatu

Bi puntuak   izanik,   bektore zuzentzailea honela kalkulatzen da:

 

Zuzenaren ekuazioa bektoriala honako hau da.

 

Ekuazio parametrikoakAldatu

Ekuazio bektoriala zatituz, honela definitzen dira,   balioetarako:

 
 
 

Ekuazio jarraituaAldatu

Ekuazio parametrikoetan t bakanduz eta berdinduz, zuzenaren ekuazio jarraia lortzen da:

 

Ekuazio orokor edo inplizituaAldatu

Ekuazio orokor edo inplizituak zuzena bi planoren ebaketa moduan azaltzen du:

 

  eta   bi planoen bektore normalak, planoekiko elkarzutak alegia, izanik.

Zuzen berezien ekuazioakAldatu

Diagrama kartesiar batean, horizontala den zuzen baten ekuazioa hau da:

 

Bertikala den zuzenaren ekuazioa hau da:

 

(0,0) jatorri puntutik igarotzen zuzenaren ekuazioa honelakoa da:

 

Kanpo loturakAldatu

Wikimedia Commonsen badira fitxategi gehiago, gai hau dutenak: Zuzen (geometria)  


Wikiliburuetan liburu bat dago honi buruz:
Zuzena planoan:ariketak

ErreferentziakAldatu

  1. Larson, Hostetler, Edwards: Cálculo. 6ª edición. McGraw Hill. 1999. 4-5 orrialdeak.
  2. Polar Coordinates. The Equation of a Line., 2009-06-15.