Pitagorasen teorema

Pitagorasen teoremak zera ezartzen du, edozein triangelu angeluzuzenetan, hipotenusaren (c) luzeraren karratua bi katetoen (a eta b) luzeren karratuen batura dela. Hau da, hipotenusa karratuaren azalera, bi kateto karratuen azaleraren batura da.^[1]

Pitagorasen teorema ulertzeko bideoa.

Bideo hau Jakindun elkarteak egin du. Gehiago dituzu eskuragarri euren gunean. Bideoak dituzten artikulu guztiak ikus ditzakezu hemen.

Triangelu zuzena. Katetoak a eta b bezala adierazten dira eta hipotenusa c bezala. Bakoitzaren karratuak kolore ezberdinez adierazten dira hemen: a² (urdina), b² (gorria), eta c² (morea).

«	Triangelu angeluzuzen baten katetoen karratuen batura, hipotenusaren karratuaren berdina da.	»
Pitagoras

Demagun triangelu angeluzuzen bat dugula, non a eta b deituriko katetoak ditugun, eta hipotenusaren neurria c izanik, honako erlazioa betetzen da:

$a^{2}+b^{2}=c^{2}$

Ekuazio horretatik, egiaztapen aljebraiko eta aplikazio praktikodun hiru ondorio deduzitzen dira:

$a={\sqrt {c^{2}-b^{2}}}$

$b={\sqrt {c^{2}-a^{2}}}$

$c={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$

HistoriaAldatu

Pitagorasen teorema Pitagoras izeneko greziar filosofo eta matematikariak frogatu zuen K.a. VI. mendean. Hala ere, badirudi teorema hori Pitagoras jaio aurretik aurkitu zela. Pitagorasen teorema antzinako Babilonia eta Egipton ezagutu zen lehen aldiz (K.a. 1900. urtearen hasieran).^[2]

Pitagorasen teoremak izen hori hartu zuen, batez ere, haren froga eskola pitagorikoari zor zaiolako. Lehenago, Mesopotamian eta Antzinako Egipton, triangelu zuzenen aldeekin bat zetozen hirukote-balioak ezagutzen ziren, eta triangelu horiei buruzko eragiketak ebazteko erabiltzen ziren, oholtxo eta papiro batzuetan adierazten den moduan. Hala ere, ez du luzaroan iraun inolako dokumenturik hori teorikoki erlazionatzen duenik. K.a. XXVI. mendeko Kefrenen piramidea, egiptoar triangelu sakratuan oinarriturik eraiki zen lehen piramidea izan zen, 3-4-5 proportzioan.^[3]

FrogakAldatu

Birantolakuntza froga, berdinak diren lau triangelu zuzen erabiliz. Animazioan zati ilun zein argien azalera ez da inoiz aldatzen, ondorioz, a² + b² eta c² balio bera dute.

Pitagorasen teoremak froga ugari ditu, bakoitza bere metodoarekin. Erdi Aroan, “Magister matheoseos” gradua lortzeko teoremaren froga berri bat eskatzen zen.

Autore batzuek proposatzen dute mila ebazpen baino gehiago daudela. Beste batzuek, ordea, E. S. Loomis matematikari estatubatuarrak adibidez, 1927. urtean, 367 froga baino ez zituen batu The Pythogorean Proposition liburuan. Liburu horretan, Loomisek ebazpenak lau multzo handitan banatu zituen: aljebraikoak, non triangeluaren aldeak eta segmentuak erlazionatzen diren; geometrikoak, non azaleren konparaketa egiten den; dinamikoak indarra eta masaren propietateen bidez; eta koaternioiak, bektoreen bidez.

Txina: Zhoubi Suanjing eta Jiuzhang SuanshuAldatu

Zhoubi Suanjing, K.a. 500-300 urteen artean idatzitako lan matematikoa dela onartzen da, baina Pitagorasek obraren berri izan ez zuelako ustea dago. Jiuzhang Suanshu-ri dagokionez, badirudi geroagokoa dela eta K.a. 250. urte inguruan kokatuta dago.^[4]

Zhoubik (a+b) aldedun karratu bat eraikiz egiaztatzen du teorema. Karratu hori a oinarri eta b altueradun lau triangelutan zatitzen da, eta bakoitzak c aldedun karratu bat du.

FrogapenaAldatu

Demagun triangelu angeluzuzen bat dugula, a eta b katetoak eta c hipotenusa dituena: c aldearen karratuak osatzen duen azalera, a eta b aldeen katarratuen azaleren batura bera dela frogatu nahi da.

$a^{2}+b^{2}=c^{2}$

Beheko irudian ikusten den bezala, c aldedun karratuaren barnean dagoen benetako triangeluari hiru triangelu gehitzen badizkiogu, karratu txikiago bat lortuko dugu. Lortzen den karratu erresultantea b – a aldeduna dela ikus daiteke. Gero, karratu txiki horren azalera honela adieraz daiteke:

$(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$

$(b-a)^{2}=(a-b)^{2}$ delako.

Pitagorasen ustezko frogaAldatu

^{[Betiko hautsitako esteka]}

Pitagorasen ustezko froga triangeluen parekotasunaren bitartez frogatu zen, hau da, haren alde homologoak proportzionalak baitira.

C karratuaren barnean ABC triangelua daukagu. CH segmentua hipotenusarekiko altuera erlatiboa da; eta a’ eta b’ segmentuak determinatzen ditu.

ABC, AHC eta BHC triangelu angeluzuzenek oinarri bera dute: guztiek dute bi oinarri komun. Angelu zorrotzak berdinak dira komunak izateagatik eta baita bere aldeak perpendikularrak izateagatik ere. Ondorioz, esandako triangeluak antzekoak dira.

ABC eta AHC-ren arteko antzekotasuna:

Bi triangelu antzekoak dira, baldin eta bi angelu kongruente edo gehiago badaude.

${\frac {b}{b'}}={\frac {c}{b}}$

$b^{2}=b'c$

ABC eta BHCren arteko antzekotasuna:

${\frac {a}{a'}}={\frac {c}{b}}$

$a^{2}=a'c$

Lortutako emaitzei katetoen teorema deritze eta hauek batuz:

$a^{2}+b^{2}=a'c+b'c=c(a'+b')$

Baina $(a'+b')=c$ denez, azkenik, hurrengo emaitza lortzen da:

$a^{2}+b^{2}=c^{2}$

^{[Betiko hautsitako esteka]}

Bestalde, Pitagorasek antzeko bi irudiren azaleren arteko erlazioan oinarrituz ere froga zezakeen bere teorema.

PQR eta PST triangeluak, antzekoak dira. Horregatik, ${\frac {r}{u}}={\frac {s}{v}}=r$ .

r: triangeluen arteko antzekotasunaren arrazoia da.

Orain, azaleren arteko antzekotasuna bilatuz gero:

$A_{PQR}={\frac {1}{2}}(rs)$

$A_{PST}={\frac {1}{2}}(uv)$

Sinplifikatu ondoren, hurrengo egoerara heltzen gara:

${\frac {A_{PQR}}{A_{PST}}}={\frac {rs}{uv}}={\frac {r}{u}}{\frac {s}{v}}$

Baina ${\frac {r}{u}}={\frac {s}{v}}=r$ antzekotasunaren arrazoia denez, hurrengo berdintzak lortzen dira:

${\frac {A_{PQR}}{A_{PST}}}=({\frac {r}{u}})^{2}=({\frac {s}{v}})^{2}$

Hau da, “antzekoak diren bi irudiren azaleren arteko erlazioa eta antzekotasunaren arrazoia karratura berberak dira”.

Printzipio hori ACH eta BCH triangelu antzekoei aplikatuz gero:

${\frac {A_{ACH}}{A_{BCH}}}=({\frac {b}{a}})^{2}$

Proportzioen propietateak kontuan izanda:

${\frac {A_{ACH}}{b^{2}}}={\frac {A_{BCH}}{a^{2}}}={\frac {{A_{ACH}}+{A_{BCH}}}{b^{2}+a^{2}}}(I)$

Eta ACH eta ABC triangeluen arteko antzekotasunaren ondorioz:

${\frac {A_{ACH}}{A_{ABC}}}=({\frac {b}{a}})^{2}$

${\frac {A_{ACH}}{b^{2}}}={\frac {A_{ABC}}{c^{2}}}$

Baina (I) ekuazioaren arabera ${\frac {A_{ACH}}{b^{2}}}={\frac {{A_{ACH}}+{A_{BCH}}}{b^{2}+a^{2}}}$ da, hori dela eta:

${\frac {{A_{ACH}}+{A_{BCH}}}{b^{2}+a^{2}}}={\frac {A_{ABC}}{c^{2}}}$

Beraz,

$b^{2}+a^{2}=c^{2}$

Horrela, Pitagorasen teorema frogatzen da. Halaber, Pitagorasek teoremaren frogapen grafiko bat ere lor zezakeen.

Ezkerreko irudian ikusten den a, b, c aldedun triangelu angeluzuzen eta katetoei eta hipotenusari dagokien karratuetatik abiatuz, bi karratu ezberdin eraikitzen dira:

Horietako bat katetoen karratuez eta hasierako triangeluaren berdinak diren beste lau triangelu angeluzuzenez dago osaturik (erdiko irudia).

Beste karratua aurreko lau triangeluek eta hipotenusaren karratuak osatzen dute (eskuineko irudia).

Hauetako karratu bakoitzari triangeluak kentzen badizkiogu, nabarmena da azalera griseko karratua $(c^{2})$ , karratu urdin eta horiaren $(b^{2}+a^{2})$ baliokidea dela. Horrela, Pitagorasen teorema frogatzen da.

^{[Betiko hautsitako esteka]}

Erabilera adibideakAldatu

Eskailera baten neurria kalkulatzeko; eskuratu nahi den hormaren h altuera eta erpinetik (lurzoru-horma) eskaileraren oinera dagoen p distantziak ezagutzen dira.

e^{2}=h^{2}+p^{2}

e={\sqrt {h^{2}+p^{2}}}

Geometria analitiko lauan, $C(x_{1},y_{1})$ eta $D(x_{2},y_{2})$ puntuen artean distantzia aurkitzeko.^[5]

{CD}^{2}=(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}

Trigonometrian, sinu eta kosinuen arteko erlazioa frogatzeko.^[6]

\sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha =1

Geometrian, triangelu aldekide baten altuera aldearen menpe kalkulatzeko; ertza erabiliz tetraedro erregular baten altuera lortzeko. Zirkunskribatutako zirkunferentziaren erradioa ezagututa, inskribatutako triangelu aldekide eta hexagono erregular baten apotema aurkitzeko.
Aljebran, zenbaki oso gaussiar bat lehena den aztertzeko. Adibidez, $\alpha =1+4i$ , haren norma $N(\alpha )=1^{2}+4^{2}=17$ da.
Arkeologoek Pitagorasen Teorema erabiltzen dute indusketetan. Indusketa bat hasten dutenean, sareta laukizuzen bat jartzen dute induskatu beharreko azaleraren gainean. Sareta zehatz bat izateko, oinarrizko lerroen luzera erabaki ondoren (eje-X eta eje-Y), diagonalaren luzera Pitagorasen Teorema erabiliz kalkulatzen da^[7], koadrantea laukizuzena dela eta ez beste paralelogramo bat ziurtatzeko. Gainjarritako sareta Koordenatu Kartesiarren sistema gisa erabiltzen dute.^[8]