Pitagorasen teorema

Triangelu angeluzuzen batean, katetoen karratuen batura hipotenusaren karratuaren berdina dela dioen teorema. Hau da: a^2 = b^2 + c^2, non a angelu zuzenaren aurreko aldearen luzera baita

Matematikan, Pitagorasen teorema geometria euklidiarrean triangelu angeluzuzuen baten hiru aldeen arteko funtsezko erlazioa da. Honakoa dio:[1]

Pitagorasen teorema ulertzeko bideoa.
Bideo hau Jakindun elkarteak egin du. Gehiago dituzu eskuragarri euren gunean. Bideoak dituzten artikulu guztiak ikus ditzakezu hemen.
Triangelu zuzena. Katetoak a eta b bezala adierazten dira eta hipotenusa c bezala. Bakoitzaren karratuak kolore ezberdinez adierazten dira hemen: a2 (urdina), b2 (gorria), eta c2 (morea).

Pitagorasen teorema

Triangelu angeluzuzen batean, katetoen karratuen batura hipotenusaren karratuaren berdina da.

Beste modu batera esanik, hipotenusa , aldetzat duen karratuaren azalera, triangeluan kontrako angeluzuzena osatzen duten bi aldeen, eta , karratuen azaleren batura da. Hau da:

ekuazio honi batzuetan Pitagorasen ekuazioa deitzen zaio.[2]

Teoremak K.a. 570 inguruan jaiotako Pitagoras filosofo greziarraren izena darama. Teorema metodo desberdin askoren bidez frogatu izan da —segur aski, edozein teorema matematikok izandako frogatzerik handiena—. Frogak askotarikoak dira, geometrikoak eta aljebraikoak barne, batzuk duela milaka urtekoak.

Espazio euklidearra koordenatu kartesiarren sistema batek irudikatzen duenean geometria analitikoan, distantzia euklidearrak erlazio pitagorikoa betetzen du: bi punturen arteko distantzia puntuen arteko koordenatu bakoitzean dagoen aldearen karratuen batura da.

Teorema hainbat modutan orokortu daiteke: dimentsio gehiagoko espazioetara, euklidearrak ez diren espazioei, triangelu zuzenak ez diren objektuei, eta triangeluak ez diren objektuei, baizik eta n-dimentsiodun solidoak. Pitagorasen teoremak matematikatik kanpo interesa erakarri du abstrakzio matematikoaren, mistikoaren edo botere intelektualaren sinbolo gisa; erreferentzia herrikoi ugari ditu literaturan, antzerki-lanetan, musikaletan, abestietan, zigiluetan eta karikaturetan.

Historia

aldatu

Pitagorasen teoremak Pitagoras (K.a. VI. mendea) greziar filosofo eta matematikariaren ondoren darama izena, batez ere, haren froga eskola pitagorikoari zor zaiolako. Dena dela, lehenagoko, Mesopotamian eta Antzinako Egipton, bazuten zantzuaren aditzea, triangelu zuzenen aldeekin bat zetozen hirukote-balioak ezagutzen baitzituzten, eta triangelu horiei buruzko eragiketak ebazteko erabiltzen ziren, oholtxo eta papiro batzuetan adierazten den moduan[3]. Hala ere, ez du luzaroan iraun inolako dokumenturik hori teorikoki erlazionatzen duenik.

Teoremaren historia lau zatitan bana daiteke: hirukote pitagorikoen ezagutza, triangelu zuzen baten aldeen arteko erlazioaren ezagutza, aldameneko angeluen arteko erlazioen ezagutza, eta sistema dedktibo batzuen barruan teoremak frogatzea.

Antzinako Egipton, K.a. 1800. urtean idatziriko papiro batean hirukote pitagorikoa erantzuntzat duen arazo bat biltzen du, nahiz eta triangeluekiko aipamenik ez dagoen. Mesopotamiako tauletan ere, K.a. 1800, Larsatik gertu hirukote pitagorikoekin lotura estua duten sarrera ugari aurkitu dira.[4] K.a. XXVI. mendeko Kefrenen piramidea, egiptoar triangelu sakratuan oinarriturik eraiki zen lehen piramidea izan zen, 3-4-5 proportzioan.[5]

Indian, Baudhayana Shulba Sutra-k, K.a. VIII. eta V. mende bitartean, hirukote pitagorikoen zerrenda eta Pitagorasen teoremaren enuntziatua ditu.[6][3]

Askoz lehenago ezagutzen diren edukiekin, baina K.a. I. mendetik bizirik dauden testuetan, Zhoubi Suanjing textu txinatarrean (Gnomonen Klasiko Aritmetikoa eta Zeruko Bide Zirzularrak) (3,4,5) triangeluarentzako Pitagorasen teorema bidezko arrazoimena dago. Txinan honi "Gougu teorema" deitzen diote.[7] Han dinastiaren garaian (K.a. 206tik K.o. 220ra), Matematika-artearen bederatzi kapituluak-en hirukote pitagorikoak agertzen dira, hauei dagozkien triangelu angeluzuzenen aipamenekin bat.[8]

Teorema Euklidesen Elementuaken (I. Liburua, 47. Proposizioa) agertzen da, "Arotzaren teorema" izenez, eta bertan katetoen karratuen batura hipotenusaren karratua dela frogatzen du.[9] Bestalde, Pitagorikoek triangeluen parekotasunaren bitartez frogatu zutela uste da, nahiz eta ez gauden zihur parekotasunaren teoria garai hartan ezaguna al zen.[10]

Frogak

aldatu
 
Birantolakuntza froga, berdinak diren lau triangelu zuzen erabiliz. Animazioan zati ilun zein argien azalera ez da inoiz aldatzen, ondorioz, a2 + b2 eta c2 balio bera dute.

Pitagorasen teoremak froga ugari ditu, bakoitza bere metodoarekin. E.S. Loomis matematikari estatubatuarrak adibidez, 1927. urtean, 367 froga batu zituen The Pythogorean Proposition liburuan.[11] Liburu horretan, Loomisek ebazpenak lau multzo handitan banatu zituen: aljebraikoak, non triangeluaren aldeak eta segmentuak erlazionatzen diren; geometrikoak, non azaleren konparaketa egiten den; dinamikoak indarra eta masaren propietateen bidez; eta koaternioiak, bektoreen bidez.

Froga algebraikoak

aldatu

Ondorengo froga Zhoubi Suanjing, K.a. 500-300 urteen artean idatzitako lan matematiko txinatarrean agertzen da, baina Pitagorasek obra honen berri izan ez zuelako ustea dago.

Froga honela doa. Demagun triangelu angeluzuzen bat dugula,  ,   katetoak (orokortasunik galdu gabe, demagun  ) eta   hipotenusa dituena.

Beheko animazioan ikusten den bezala,   aldedun karratuan hasieran barnean zuen triangeluaz gain, alde bakoitzari   eta   katetodun beste triangelu bat gehitzen badiogu, karratu txikiago bat lortuko dugu erdian. Barneko karratu honen aldeen luzera   da (gogoratu   hipotesiz). Karratu baten azalera aldeen karratua denez, eta triangeluzuzen baten azalera katetoen biderketaren erdia,   aldedun karratuaren azalera lau triangeluren azaleren batura gehi erdiko karratuaren azalera da. Hau da, froga amaituz:

 
 
Zhoubiko frogaren animazioa.

Antzeko froga bat ere bada hipotenusaren aldeak kanporantz definituriko karratua aztertu beharrean, barrurantz definituriko karratua aztertzen duena.[12] Hau da,   aldedun karratuaren kanpoko alde bakoitzean, lau denera,   hipotenusadun triangeluak jarriz gero,   luzeradun aldea duen karratua lortuko dugu. Beraz,   azaleraduna. Lau triangeluek eta   aldedun karratuak karratu haundienaren azalera bera izan behar duenez:

 

Pitagorasen ekuazioa ondorioztatuz

 


 
Pitagorasen teoremaren froga diagramatikoa.

Froga geometrikoak

aldatu

Triangeluen antzekotasuna

aldatu
 
Triangeluen parekotasunaren eskema.

Froga hasi aurretik, gogoan izan bi triangeluren angeluak kongruenteak badira, antzeko triangeluak direla. Kasu honetan, dagozkien aldeen luzerak proportzionalak dira.

  triangelua bi triangeluzuzenetan zatitu daiteke,   angeluan oinarriarekiko zuzena botaz, irudian ikusten den moduan.

 ,   eta   triangelu angeluzuzenek angelu kongruenteak dituzte:   angeluzuzena,   eta   angeluzuzenez ordezkatu dugu. Ondorioz, esandako triangeluak antzekoak dira, ondorengo ekuazioak betez

  •   eta  -ren arteko antzekotasuna:
 
 
  •   eta  -ren arteko antzekotasuna:
 
 

Aurreko bi ekuazioak batuz gero:

 

baina    denez, azkenik, Pitagorasen ekuazioa lortzen da:

 

Einsteinen froga trigonometrikoa

aldatu
 
Hipotenusako angeluzuzenaren zatiketa, Einsteinen frogan bezala.

Antzeko triangeluen frogaren moduan, Albert Einstenen frogak ere hipotenusako angeluzuzena zatitzen du aurkako aldera perpendikularra sortuz. Triangelu angeluzuzen baten barruko ratioa sinuaren definizioan erabiliz gero:

 
 
 

eta beraz

 

Froga grafikoa

aldatu

Ezkerreko irudian ikusten den  ,  ,   aldedun triangelu angeluzuzen eta katetoei eta hipotenusari dagokien karratuetatik abiatuz, bi karratu ezberdin eraikitzen dira:

  • Horietako bat katetoen karratuez eta hasierako triangeluaren berdinak diren beste lau triangelu angeluzuzenez dago osaturik (erdiko irudia).
  • Beste karratua aurreko lau triangeluek eta hipotenusaren karratuak osatzen dute (eskuineko irudia).

Hauetako karratu bakoitzari triangeluak kentzen badizkiogu, nabarmena da azalera griseko karratua  , karratu urdin eta horiaren   baliokidea dela. Horrela, Pitagorasen teorema frogatzen da.

 
Zentroko karratuen baturak eta eskuinekoak azalera bera dute.

Froga analitikoa

aldatu

Kalkulu diferentziala erabiliz ere lortu dezakegu teoremaren frogarik. Kalkuluko notazioarekin bat egiteko,   triangeluaren aldeei izena aldatuko diegu,   deituz hipotenusaren luzerari eta   kateto bertikalari diagraman ikusi daitekeen moduan.   aldea apur bat luzatuz gero,   kopuruz, orduan   ere apur bat haundituko da,   triangelua sortuz.   puntutik   aldearekiko perpendikularra hartuz gero,   triangelua sortua dugu, gutxi gorabehera   triangeluaren antzekoa. Beraz, triangeluen antzekotasuna erabiliz, aldeen proportzioa berdina izan beharko luke, hau da:

 

Honek ekuazio diferentzial batera garamatza,  , zuzenean ebatzi dezakeguna integratuz:

 

ondorioz

 

Konstantea erraz aurkitu dezakegu   eta   hartuz, hau da,  . Froga hau intuitiboa da, baina zehatz egin daiteke limiteak hartuz, erreferentzian ikus daitekeen moduan.[13]

 
Pitagorasen teoremaren froga diferentziala.

Teoremaren alderantzizkoa

aldatu

Pitagorasen teoremaren alderantzizkoa ere egia da. Hau da,  ,  eta   luzerako aldeak dituen triangelu bat emanik,   betetzen bada, orduan   eta   aldeen arteko angelua angelu zuzena da.

Teorema hau Euklidesen Elementuaken (I. Liburua, 48. Proposizioa)[9] ageri da, aldeak definitzen duten karratuei erreferentzia eginez: "Triangelu baten aldeetako bateko karratua triangeluaren gainerako bi aldeetako karratuen batura berdina bada, orduan gainerako bi aldeek duten angelua angelu zuzena da."

Proba kosinuaren teorema erabiliz froga daiteke.   triangelu orokor bat emanik, non  ,   eta   aldeek pitagorasen erlazioa betetzen duten  , baina triangeluak ez duelarik nahitaez angelu zuzenik. Bestalde, beti sor dezakegu beste triangelu   bat,   eta   aldeak dituena, angelu zuzen bat izanik alde honetan, eta orain pitagorasen teoremaren ondorioz triangelu honen hipotenusak

 

beteko du. Beraz alde berdinak dituzten bi triangelu ditugu,  ,   eta  , kosinuaren teoremaren ondorioz, alegia triangeluaren angelu bakoitza hiru aldeek bakarrik zehazten dutenez,   triangeluko   eta   aldeen arteko angelua   triangeluaren berdina da, hau da, angelu zuzena.

Erabilera adibideak

aldatu

Hirukote pitagorikoak

aldatu

Hirukote pitagorikoak hiru zenbaki oso positiboz  ,   eta   osatua dago, non pitagorasen erlazioa betetzen duten  . Horrelako hirukotea   idatzi ohi da, adibide ezagun bat   izanik.

Gainera, hiru zenbakiak  ,   eta   elkarrekiko lehenak badira (hau da, zatitzaile komun handiena   da), hirukote pitagoriko primitiboa deitzen diogu. Adibidez,   hirukote pitagoriko primitibo bat da, baina   ez.

Hirukote pitagorikoek triangelu zuzen baten hiru alde osoen luzera, hau da, aldearen luzera zenbaki oso bat da, deskribatzen dute. Hala ere, alde osoak ez diren triangelu zuzenek ez dute hirukote pitagorikoa osatzen. Adibidez,   eta   aldeak dituen triangelua angeluzuzena da, baina ez da hirukote pitagorikoa,   ez baita zenbaki oso bat.

Soluzio osoak bilatzean,   ekuazio diofantoarra da. Beraz, hirukot epitagorikoak ekuazio diofantino ez-lineal baten soluzio zaharrenen artean daude.

Zenbaki neurtezinak eraikitzea

aldatu
Sakontzeko, irakurri: «Zenbaki irrazional»

Pitagorasen teoremaren ondorioetako klasikoetako bat, zenbaki neurtezinak (arrazionalak ez diren zenbaki errealak) zuzen eta konpasa erabiliz eraiki daitezkeela da. Honek eskola Pitagorikoaren zenbakien kontzueptuarekin talka egiten zuen, hauek proportzioak zenbaki osoen zatiketaz aztertzen baitzituzten (hau da, zenbaki arrazionalak bakarrik onartzen zituzten).[14] Kondairak dio, pitagorikoek Hipaso (K.a. 500) itsasoan itoarazi zutela, zenbaki irrazionalen existentzia ezagutarazteagatik.[15]

Zehazki, luzera   duten bi alde izanez gero,   eta  , zenbaki neurtezinak Pitagorasen teorema erabiliz eraiki daitezke, hipotenusa zenbaki irrazional neurtezina baita,  .

Zenbaki konplexuak

aldatu
Sakontzeko, irakurri: «Zenbaki konplexu»
 
Zenbaki konplexu baten   moduluaren   adierazpen grafikoa.

Jakina da zenbaki konplexu baten

 ,

balio absolutua, zenbaki konplexuen kasuan modulua ere deitua, parte erreal eta irudikariaren karratuen baturaren erroa dela

 .

Beste era batera esanik, zenbaki konplexuen moduluak, parte errealak eta irudikariak hirukote pitagorikoa osatzen dute. Hau da,

 .

Bada   geometrikoki, ardatz horizontala zati erreal bezala eta bertikala irudikari bezala,   puntuak onarriarekiko   luzera errepresentatzen du.

Geometria euklidearra

aldatu

Koordenatu kartesiarretan ezarririko bi punturen arteko distantziaren ekuazioa Pitagorasen teoremaren ondorioa da. Plano errealeko bi punturen   eta   arteko distantzia, batzuetan distantzia Euklidearra deitua, honakoa da

 .
 
Koordenatu kartesiarretan bi punturen arteko distantzia euklidearraren azalpen geometrikoa.

Irudian ikus daitekeen bezala, bi punturen distantzia hauek osatzen duten triangelu angeluzuzenaren hipotenusatzat uler daiteke. Hala interpretatuz gero, triangeluaren bi katetoek   eta   luzera izango dute hurrenez hurrun. Balio absolutuaren karratuak sinua errespetatzen duenez,

 

Distantziaren nozio hau  -dimentsiodun espazio Euklidearretara orokortu daiteke. Bertan puntuak   dimentsiodun bektoreak dira, adibidez   eta <mathB=(b_1,\ldots,b_n)</math>. Pitagorasen teoremaren orokortzean, bi bektore hauen arteko distantzia honako ekuazioaz definitzen da:

 

Pitagorasen identitate trigonometrikoa

aldatu

Diagraman ikusi daitekeen moduan, triangelu angeluzuzen batean   katekoaren eta   hipotenusaren arteko   angeluaren sinua eta kosinua aldeen ratioak definitzen ditu

 

Identitate trigonometrikoa beraz Pitagorasen teoremaren ondorioa da[16] zeren

 

Bestalde, antzeko triangeluetan aldeen arteko proportzioek angeluekiko mendekotasuna dute, triangeluen azalera edozein dela ere. Beraz hipotenusaren luzera unitatea duen triangelu angeluzuzen baten katetoek   eta   luzera dute, irudian ikusi daitekeen moduan.

Biderketa bektoriala

aldatu
 
Biderketa eskalarra eta bektorialaren arteko erlazioa.

Pitagorasen teoremak biderketa eskalarra eta biderketa bektorialaren arteko erlazioa dakar:

 

  eta   bektoreak direlarik. Gogoratu operazio bilinear hauen definizioak honakoak direla

 

non   bektore unitarioa,   eta   bektoreekiko normala den. Erlazioa beraz Pitagorasen teorema eta identitate trigonometrikoaren ondorioa da

 

Pitagorasen alderantzizko teorema

aldatu

Triangelu angeluzuzen batean, pitagorasen alderantzizko ekuazioak bi katetoak,   eta  , eta altuera   erlazionatzen ditu[17]:

 

Gehiago

aldatu
  • Eskailera baten neurria kalkulatzeko; eskuratu nahi den hormaren h altuera eta erpinetik (lurzoru-horma) eskaileraren oinera dagoen p distantziak ezagutzen dira.
 
 
  • Geometria analitiko lauan,   eta  puntuen artean distantzia aurkitzeko.[18]
 
  • Geometrian, triangelu aldekide baten altuera aldearen menpe kalkulatzeko; ertza erabiliz tetraedro erregular baten altuera lortzeko. Zirkunskribatutako zirkunferentziaren erradioa ezagututa, inskribatutako triangelu aldekide eta hexagono erregular baten apotema aurkitzeko.
  • Aljebran, zenbaki oso gaussiar bat lehena den aztertzeko. Adibidez,  , haren norma   da.
  • Arkeologoek Pitagorasen Teorema erabiltzen dute indusketetan. Indusketa bat hasten dutenean, sareta laukizuzen bat jartzen dute induskatu beharreko azaleraren gainean. Sareta zehatz bat izateko, oinarrizko lerroen luzera erabaki ondoren (eje-X eta eje-Y), diagonalaren luzera Pitagorasen Teorema erabiliz kalkulatzen da[19], koadrantea laukizuzena dela eta ez beste paralelogramo bat ziurtatzeko. Gainjarritako sareta Koordenatu Kartesiarren sistema gisa erabiltzen dute.[20]

Orokortzeak

aldatu

Kosinuaren teorema

aldatu
Sakontzeko, irakurri: «Kosinuaren teorema»

Pitagorasen teorema, edozein triangelutan aldeen luzerak erlazionatzen dituen teorema orokorragoaren kasu berezi bat da, kosinuaren teorema. Honakoa dio,  ,   eta   aldeak dituen triangelu batean

 ,

non  ,   eta   aldeen arteko angelua den. Alde hauek ortogonalak direnean, hau da   eta ondorioz  , kosinuaren teorema Pitagorasen teoremara murrizten da.

Barne produktudun espazioak

aldatu

Pitagorasen teorema barne produktudun espazioetara orokortu daiteke, berean barne produktudun espazio ezagunenak Hilberten espazioak izanik, espazio euklidearren orokortzeak. Adibidez, funtzio bat barne produktudun espazio batean infinitu osagai dituen bektoretzat har daiteke, hau da, segidatzat.

Barne produktudun espazioetan aldagai perpendikularren ordez, aldagai ortogonalez hitz egiten dugu: bi bektore   eta   ortogonalak diogu, haien barne produktua   zero baldin bada. Barne produktua bektoreen biderketa eskalarraren orokotzea da, hau izanik espazio Euklidearren barne produktu kanonikoa, baina beste batzuk ere defini ditzakegu.[21]

Aldeen luzeraren ordez, barne produktudun espazioetan norma defini daiteke

 .

Barne produktudun espazioetan, Pitagorasen teoremak bi elementu ortogonalen   eta  , non   (katetoak liratekenak) baturaren   (hipotenusa) karratua, bektore bakoitzaren luzeraren karratuen gehiketa dela dio:

 .

Gainera, Pitagorasen ekuazioa bi bektore ortogonal baino gehiagoren baturara heda daiteke. Hau da,   binakako bektore ortogonalak badira (i.e.   edozein  ), Pitagorasen teoremak ondorengoa dio:

 .

Bektore ez ortogonalentzat ere orokortu daiteke Pitagorasen teorema, norma batek paralelogramoaren legea betetzen diogu edozein bi bektorek ondorengo ekuazioa betetzen badute

 .

Ohartu propietate hau bektore espazio normatuaren propietate bat dela. Hau da, paralelogramoaren legea ez dute bektore espazio normatu guztiek betetzen. Gainera, analisi funtzionaleko teorema ezaguna da espazio bektore normatu batek paralelogramoaren legea betetzen badu, norma barne produktu baten eratorria dela.[22]

Ariketak

aldatu

Erreferentziak

aldatu
  1. «Pitagorasen teorema - Harluxet Hiztegi Entziklopedikoa» www1.euskadi.net (Noiz kontsultatua: 2023-06-08).
  2. Sally, Judith D.; Sally, Paul. (2007). Roots to research: a vertical development of mathematical problems. American Mathematical Society ISBN 978-0-8218-4403-8. (Noiz kontsultatua: 2023-06-04).
  3. a b (Ingelesez) «Pythagorean theorem | Definition & History | Britannica» www.britannica.com 2023-04-27 (Noiz kontsultatua: 2023-06-08).
  4. Robson, Eleanor. (2001). Neither Sherlock Holmes nor Babylon: a reassesment of Primpton 322.. Historia Mathematica, 167-206 or.  doi:10.1006/hmat.2001.2317..
  5. «La pirámide de Kefren» www.maravillas-del-mundo.com (Noiz kontsultatua: 2022-11-11).
  6. Plofker, Kim. (2009). Mathematics in India. Princeton University Press, 17-18 or. ISBN 978-0-691-12067-6..
  7. Cullen, Christopher. (2007). Astronomy and Mathematics in Ancient China. The 'Zhou Bi Suan Jing'.. Cambridge University Press, 139 or. ISBN 978-0-521-03537-8..
  8. (Ingelesez) Kangshen Shen; John N. Crossley; Anthony Wah-Cheung Lun. (1999). The nine chapters on the mathematical art: companion and commentary. Oxford University Press, 488 or. ISBN 0-19-853936-3..
  9. a b Angulo Martin, Patxi. (2005). Euklides. Elementuak. Elhuyar ISBN 84-95338-26-7..
  10. (Ingelesez) Maor, Eli. (2007). The Pythagorean Theorem: A 4,000-year History. Princeton University Press, 25 or. ISBN 978-0-691-12526-8. (Noiz kontsultatua: 2023-06-30).
  11. (Ingelesez) Loomis, Elisha Scott. (1968). The Pythagorean Proposition: Its Demonstrations Analyzed and Classified, and Bibliography of Sources for Data of the Four Kinds of Proofs. National Council of Teachers of Mathematics ISBN 978-0-87353-036-1. (Noiz kontsultatua: 2023-06-30).
  12. «Pythagorean Theorem and its many proofs» www.cut-the-knot.org (Noiz kontsultatua: 2023-07-13).
  13. (Ingelesez) Staring, Mike. (1996). The Pythagorean Proposition: A Proof by Means of Calculus. Mathematics Magazine, 45-46 or..
  14. (Ingelesez) Shaughan, Lavine. (1994). Understanding the infinite. Harvard University Press, 13 or. ISBN 0=674-92096-1..
  15. (Ingelesez) Kurt, Von Fritz. (1945). «The Discovery of Incommensurability by Hippasus of Metapontum» Annals of Mathematics. Second Series 46 (2): 242-264.  doi:10.2307/1969021..
  16. «Funciones circulares (trigonométricas): Razones trigonométricas, seno, coseno y tangente. Aplicaciones de medida» www.xtec.cat (Noiz kontsultatua: 2022-11-11).
  17. «Pythagorean Theorem for the Reciprocals» www.cut-the-knot.org (Noiz kontsultatua: 2023-07-13).
  18. (Gaztelaniaz) «La ecuacion de la recta que pasa por dos puntos | Superprof» Material Didáctico - Superprof (Noiz kontsultatua: 2022-11-11).
  19. «DBHko Matematika» DBHko Matematika (Noiz kontsultatua: 2022-11-11).
  20. 20801 Koordenatu kartesiarrak. (Noiz kontsultatua: 2022-11-11).
  21. (Ingelesez) Howard Anton; Chris Rorres. (2010). Elementary Linear Algebra: Applications. (10. argitaraldia) Wiley, 336 or. ISBN 978-0-470-43205-1..
  22. (Ingelesez) Saxe, Karen. (2002). Beginning functional analysis. Springer, 7 or. ISBN 0-387-95224-1..

Kanpo estekak

aldatu