Artikulu hau objektu geometrikoari buruzkoa da; beste esanahietarako, ikus «Plano (argipena) ».
Geometrian , planoaren ekuazioak hiru dimentsioko espazioan plano bat osatzen duten puntu guztiak ditu soluzio. Adibidez x+y+z-6=0 planoko soluzio guztiak (besteak beste, (x=2,y=2,z=2), (x=3, y=2, z=1), (x=4, y=1, z=1) ) hiru ardatzeko diagrama kartesiar irudikatzen badira, plano bat sortuko da.
Plano bat zenbait eratara finka daiteke:
kolinealak edo zuzen berekoak ez diren hiru puntu emanez;
puntu bat eta planoarekiko normal edo elkarzuta izango den bektore baten bitartez;puntu bat eta planoaren norabidea emango duten bi bektore zuzentzaile eta elkarrekiko independente emanez.
Planoko hiru puntuak
(
x
0
,
y
0
,
z
0
)
,
(
x
1
,
y
1
,
z
1
)
,
(
x
2
,
y
2
,
z
2
)
{\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0}),(x_{1},y_{1},z_{1}),(x_{2},y_{2},z_{2})\,}
u
=
(
u
1
,
u
2
,
u
3
)
=
(
x
1
−
x
0
,
y
1
−
y
0
,
z
1
−
z
0
)
{\displaystyle \mathbf {u} =(u_{1},u_{2},u_{3})=(x_{1}-x_{0},y_{1}-y_{0},z_{1}-z_{0})\,}
v
=
(
v
1
,
v
2
,
v
3
)
=
(
x
2
−
x
0
,
y
2
−
y
0
,
z
2
−
z
0
)
{\displaystyle \mathbf {v} =(v_{1},v_{2},v_{3})=(x_{2}-x_{0},y_{2}-y_{0},z_{2}-z_{0})\,}
Horrela, hau izango da planoaren ekuazio bektoriala:
x
=
(
x
,
y
,
z
)
=
x
0
+
λ
u
+
μ
v
=
=
(
x
0
,
y
0
+
z
0
)
+
λ
(
x
1
−
x
0
,
y
1
−
y
0
,
z
1
−
z
0
)
+
μ
(
x
2
−
x
0
,
y
2
−
y
0
,
z
2
−
z
0
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {x} =(x,y,z)&=\mathbf {x} _{0}+\lambda \mathbf {u} +\mu \mathbf {v} =\\&=(x_{0},y_{0}+z_{0})+\lambda (x_{1}-x_{0},y_{1}-y_{0},z_{1}-z_{0})+\mu (x_{2}-x_{0},y_{2}-y_{0},z_{2}-z_{0}).\end{aligned}}}
Planoko puntuak
λ
,
μ
{\displaystyle \lambda ,\ \mu \,}
Ekuazio bektoriala deskonposatuz eratzen dira ekuazio parametrikoak:
x
=
x
0
+
λ
(
x
1
−
x
0
)
+
μ
(
x
2
−
x
0
)
{\displaystyle x=x_{0}+\lambda (x_{1}-x_{0})+\mu (x_{2}-x_{0})\,}
y
=
y
0
+
λ
(
y
1
−
y
0
)
+
μ
(
y
2
−
y
0
)
{\displaystyle y=y_{0}+\lambda (y_{1}-y_{0})+\mu (y_{2}-y_{0})\,}
z
=
z
0
+
λ
(
z
1
−
z
0
)
+
μ
(
z
2
−
z
0
)
{\displaystyle z=z_{0}+\lambda (z_{1}-z_{0})+\mu (z_{2}-z_{0})\,}
Ekuazio bektorialean bezala,
λ
,
μ
{\displaystyle \lambda ,\ \mu \,}
(x,y,z) puntuak sortuko dira.
Ekuazio bektorialetik abiatuz, hau betetzen denez:
x
−
x
0
=
λ
u
+
μ
v
{\displaystyle \mathbf {x} -\mathbf {x} _{0}=\lambda \mathbf {u} +\mu \mathbf {v} \,}
honako determinante honetan lehenengo zutabea bigarren zutabearen eta hirugarren zutabearen konbinazio lineala denez, determinantearen balioa 0 da:
|
x
−
x
0
x
1
−
x
0
x
2
−
x
0
y
−
y
o
y
1
−
y
0
y
2
−
y
0
z
−
z
0
z
1
−
z
0
z
2
−
z
0
|
=
0.
{\displaystyle \left|{\begin{array}{ccc}x-x_{0}&x_{1}-x_{0}&x_{2}-x_{0}\\y-y_{o}&y_{1}-y_{0}&y_{2}-y_{0}\\z-z_{0}&z_{1}-z_{0}&z_{2}-z_{0}\\\end{array}}\right|=0.}
Determinantea garatuz eta 0 baliora berdinduz, ekuazio orokor, kartesiar edo inplizitua lortzen da:
A
x
+
B
y
+
C
z
+
D
=
0
{\displaystyle Ax+By+Cz+D=0\,}
Planoko
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle (x,y,z)\,}
x
,
y
{\displaystyle x,y\,}
aldagaiei balio erreal bat eman eta ondoren
z
{\displaystyle z\,}
Bitez
P
0
=
(
x
0
,
y
0
,
z
0
)
{\displaystyle \mathbf {P} _{0}=(x_{0},y_{0},z_{0})\,}
n
=
(
a
,
b
,
c
)
{\displaystyle \mathbf {n} =(a,b,c)\,}
elkarzuta den bektore bat. Orduan,
P
=
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle \mathbf {P} =(x,y,z)\,}
P
P
0
→
n
=
0
{\displaystyle {\vec {PP_{0}}}\mathbf {n} =0\,}
Garatuz, planoaren ekuazio normala lortzen da:
n
P
P
0
→
=
a
(
x
−
x
0
)
+
b
(
y
−
y
0
)
+
c
(
z
−
z
0
)
=
a
x
+
b
y
+
c
z
+
d
=
0
,
{\displaystyle \mathbf {n} {\vec {PP_{0}}}=a(x-x_{0})+b(y-y_{0})+c(z-z_{0})=ax+by+cz+d=0\,,}
d
=
−
a
x
0
−
b
y
0
−
c
z
0
{\displaystyle d=-ax_{0}-by_{0}-cz_{0}\,}
Planoko
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle (x,y,z)\,}
x
,
y
{\displaystyle x,y\,}
aldagaiei balio erreal bat eman eta ondoren
z
{\displaystyle z\,}
Beraz, ekuazio orokorrarekin alderatuz, ekuazio okorreko
A
,
B
,
C
{\displaystyle A,B,C\,}
bektore bat osatzen dute.
Plano
Puntu batetik plano batera dagoen distantzia kalkulatzeko ariketa.
Plano bat eta zuzen bat paraleloak diren jakiteko ariketa.
Bi puntutatik pasatzea zuzen bat eta plano baten paraleloa izatea.
Datuak: Q17285
Multimedia: Euclidean planes / Q17285
