Azelerazio

Fisika klasikoan, azelerazioa magnitude fisiko bektorial bat da, abiadurak denboraren funtzioan jasaten duen aldaketa adierazten duena; azelerazio-bektorea ere esaten zaio.

azelerazioa
Formula	${\boldsymbol {a}}={\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {v}}}{\mathrm {d} t}}$
Formulako ikurra	${\boldsymbol {a}}$, ${\boldsymbol {v}}$ eta $t$
Ohiko ikurra	${\boldsymbol {a}}$
Neurtzeko unitatea	metro zati segundo karratu
Dimentsioa	${\mathsf {L}}{\mathsf {T}}^{-2}$
Aurkitzailea edo asmatzailea	Pierre Varignon

Matematikoki adierazita, azelerazio-bektorea abiadura-bektorearen denborarekiko deribatua da, eta ${\boldsymbol {a}}$ sinboloaz adierazten da (${\vec {a}}$ sinboloa ere erabil daiteke). Azelerazioaren egitura dimentsionala ${\text{L T}}^{-2}$da, eta nazioarteko SI sisteman beraren unitatea ${\text{m s}}^{-2}$ da (edo ${\text{m/s}}^{2}$). Unitate hori bizpahiru eratan irakurtzen («esaten») da: «metro zati segundo karratu», «metro segundo ber minus bi» edo «metro bider segundo ber minus bi».

Hizkera arruntean, gorputzaren abiaduraren modulua handiagotzen ari denean, gorputza azeleratzen ari dela esaten da, alegia azelerazio positiboa duela; aldiz, abiaduraren modulua txikiagotzen ari denean, dezeleratzen ari dela esaten da, eta azelerazio negatibo horri dezelerazio esaten zaio, eta horrek esan nahi du gorputza balaztatzen edo frenatzen ari dela.

1) Azeleraziorik gabeko higidura $t={\text{0 s}}\longmapsto t={\text{4 s}}$ bitartean. 2) Azelerazio konstantedun higidura zuzena. 3) Dezelerazio konstantedun higidura zuzena. 4) Azelerazio konstantedun higidura kurbatua.

Hurbilketa intuitiboa

Abiadurak objektu batek denboran zehar duen posizio-aldaketa deskribatzen duen era berean, azelerazioak «objektuaren abiadurak denboran zehar duen aldaketa» zehazten du. Hizkera matematikoan esanda, «azelerazioa abiaduraren denborarekiko deribatua da». Fisikan, azelerazio kontzeptuak hizkera arrunteko hiru kasu hauek biltzen ditu:

• Bizkorrago joatea. Azelerazio-pedalari gehiago sakatzean, automobilaren abiadura-neurgailuak gero eta abiadura handiagoa adierazten du. Matematikoki, azelerazio positiboa duela esan nahi du horrek (alboko irudiko bigarren kasua).
• Astiroago joatea. Oinpeko balazta zapaltzean, automobilaren abiadura-neurgailuak gero eta abiadura txikiagoa adierazten du (hirugarren kasua). Azelerazio negatiboa duela esan nahi du horrek. Balaztatzen, frenatzen edo dezeleratzen ari dela esan ohi da.
• Norabidea aldatzea. Bolanteari eskuin edo ezkerrerantz eragitean, abiadura-neurgailuak abiadura berbera adierazi arren ere, autoa azeleratzen ari da. Izatez, azelerazio bektoreak ibibidearekiko perpendikularra den osagai bat du. Horrek sorrarazten du autoaren norabide-aldaketa; autoa bira egiten ari da. Irudiko laugarren kasuan azelerazio konstanteaz (moduluz eta norabidez) sortzen den higidura parabolikoa adierazten da.
• Azelerazioa nulua denean, higidura zuzen eta uniformea dugu, beti ere abiadura berean (irudiko lehenengo kasua).

Pierre Varignon (1654-1722), abiadura eta azelerazioaren definizio analitikoen sortzailea.

Azelerazio kontzeptuaren sorreraren eta formalizazioaren historia laburra

Azelerazioaren izaera XVII. mendearen bigarren partean joan zen finkatzen, Newton-ek mekanikaren hiru oinarrizko legeak Philosophiæ naturalis principia mathematica liburuan 1687an argitaratu ondoren, eta bertako bigarren legean indarraren eta azelerazioaren arteko erlazioa zehaztean. Mekanikaren ikuspegiarekin batera, funtsezkoa izan zen, aldi berean metodo desberdinez Leibniz-ek eta Newtonek berak garatutako kalkulu diferentzialaren formalismo matematikoa.

Haien lanetan oinarriturik, Pierre Varignon-ek (1654-1722) formalizatu egin zituen aldiuneko abiaduraren eta aldiuneko azelerazioaren kontzeptuak mende berriaren atarian. Hain zuzen, partikularen ibilbidea aztertzeko Newtonek eta Leibnizek landuriko kalkulu diferentziala baliatuz, 1698ko uztailaren 5ean Parisko Zientzien Erret Akademiara (Académie Royale des Sciences) bidalitako komunikazio batean, aldiuneko abiadura definitu zuen esanez ezen «posizioaren denborarekiko deribatua» zela, eta geroago, 1700eko urtarrilaren 20an bidalitako beste komunikazio batean, aldiuneko azelerazioa ere definitu zuen, «aldiuneko abiaduraren denborarekiko deribatua» zela esanez.

Varignonen lana oso azkar onartua izan zen bere garaiko zientzialarien artean, eta berehala normaltasunez erabilia. Haren ohorez esan behar da, berak ireki ziela bidea D’Alembert-i eta Lagrange-ri gaur egun oraindik mekanika analitikoan erabiltzen diren enuntziatuak idazteko. Hortaz, nolabait esan dezakegu Varignon izan zela mekanika analitikoaren sortzaileetako bat.

Azelerazioaren definizioa

Batez besteko azelerazioa ibilbideko bi punturen abiaduren kenketa bektoriala eginez lortzen da.

Varignon-ek proposaturiko metodologiaz baliaturik, bi pausotan definituko dugu higikari baten azelerazioa. Lehenik, batez besteko azelerazioa definituko dugu, higikariaren ibilbideko denbora-tarte finitu bati dagozkion hasierako eta bukaerako puntuetako abiaduren arteko kendura eginez; ondoren, denbora-tarte infinitesimala kontsideratuko dugu, horrela aldiuneko azelerazioa definitzeko

Batez besteko azelerazioa

Batez besteko azelerazioa esaten zaio denbora-tarte finitu batean gertatu den abiadura-bektorearen aldakuntzari. Honelaxe adierazten da era matematikoan, $t_{1}$ aldiunetik $t_{2}$ aldiunera bitartean, gorputzak jasan duen batez besteko azelerazioa:

$${\boldsymbol {a}}_{\text{m}}={\frac {\Delta {\boldsymbol {v}}}{\Delta t}}={\frac {{\boldsymbol {v}}_{2}-{\boldsymbol {v}}_{1}}{t_{2}-t_{1}}},$$

non ${\boldsymbol {a}}_{\text{m}}$ batez besteko azelerazioa den, ${\boldsymbol {v}}_{2}$eta ${\boldsymbol {v}}_{1}$ bukaerako eta hasierako aldiuneetako abiadurak izanik, hurrenez hurren. Definizio honetan kontuan hartu dugu abiaduraren eta azelerazioaren izaera bektoriala. Izaera bektorial hori agerian agertzen da eskuinaldeko irudiko bi kasuetan. Goiko kasuan, ibilbidea zuzena izanik, hasierako eta bukaerako abiadurak norabide berekoak dira, eta halaber dira norabide berekoak abiaduren arteko aldakuntza eta batez besteko azelerazioa. Beheko kasuan, ordea, hasierako eta bukaerako abiadurak norabide desberdinekoak direnez, bien arteko kendurak bestelako norabidea du, baita batez besteko azelerazioak ere.

Aldiuneko azelerazioa

Bigarren pausoan kalkulu difentzialeko teknikak erabiliko ditugu, preseski deribatu kontzeptuaren definizioa. Hortaz, definizioz, aldiuneko azelerazioa deritzogu batez besteko azelerazioaren balio limiteari, $\Delta t$ denbora-tartearen balioa zerorantz jotzean; bestelako hitzekin esanik, abiaduraren deribatuari. Hauxe da, beraz, aldiuneko azelerazioaren adierazpen matematikoa:

$${\boldsymbol {a}}=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\Delta {\boldsymbol {v}}}{\Delta t}}={\frac {{\text{d}}{\boldsymbol {v}}}{{\text{d}}t}}.$$

Hots, Varignon-ek azaldu zuen bezala, «aldiuneko azelerazioa abiaduraren deribatua» da, ibilbideko puntu bakoitzean. Agerikoa denez, hau ere magnitude bektoriala da; horrek esan nahi du azelerazioaren modulua eta norabidea kontsideratu behar ditugula. Gauzak horrela, gorputzaren higidura grafikoki irudikatzean, bereizi egin ahal izango ditugu ibilbidea (denboran zehar pasaturiko puntu guztiak marraztuz) eta, aldi berean, puntu bakoitzeko abiadura (zeina ibilbidearen tangentea den) eta azelerazioa (zeinak bi osagai izango dituen higidura lauaren kasuan).

Azelerazioa kontzeptu erlatiboa da

Higidura kontzeptu erlatiboa denez, partikularen azelerazioa neurtzean, kontuan izan behar da zein erreferentzia-sistematatik neurtzen dugun, alegia, zein den neurketa egiten duen behatzailea. Horrek esan nahi du azelerazioaren balioa desberdina izan daitekeela neurtua izan den sistemaren arabera; hots, azelerazioa magnitude erlatiboa dela, neurtu duen behatzailearen araberakoa.

Erreferentzia-sistema inertzial baten (SI) eta sistema ez-inertzial baten (SEI) arteko erlazio zinematikoak deskribatzeko eskema grafikoa.

Horretaz jabetzeko, erreferentzia-sistema inertzial batetik abiatuko gara, eta bertako behatzaileak neurturiko ${\boldsymbol {a}}$ azelerazioa hartuko dugu erreferentziatzat. Beste edozein sistematan partikula berberaren azelerazioa aztertzean, kontuan izan behar da bigarren sistema hori inertziala den ala ez.

• Bigarren sistema ere inertziala bada, higitzen ari den partikula baten kasuan balio bereko azelerazioa neurtuko dute bi sistemetako behatzaileek, ${\boldsymbol {a}}$. Emaitza hori orokortuz esan dezakegu erreferentzia inertzial guztietan azelerazio berbera neurtzen dela. Horregatik batzuetan sistema inertzialetatik neurturiko azelerazioa absolutua dela esaten da, guztietan emaitza berbera lortzen baita partikularen azelerazioa neurtzean.

• Baina bigarren sistema inertziala ez bada, orduan sistema horretako behatzaileak azelerazio desberdina neurtuko du, ${\boldsymbol {a}}'$ ikurraz adieraziko duguna.
• Kasurako, alboko irudian eskematikoki adierazita dauden bi sistemetako bat inertziala izango da ($SI$ikurraz adierazia eta $B$ behatzailea duena), eta bestea ez-inertziala ($SEI$ eta $B'$, hurrenez hurren). Bigarren sistema honen jatorria ${\boldsymbol {A}}$ azelerazioaz higitzen ari da lehenengoarekiko, eta gainera, biraka ari da ${\boldsymbol {\omega }}$ abiadura angeluar aldakorraz, azelerazio angeluarra ${\boldsymbol {\dot {\omega }}}$ izanik. Sistema inertzialeko behatzaileak ${\boldsymbol {a}}$ azelerazioa neurtuko du partikularen higidura behatzean, eta sistema ez-inertzialekoak, ${\boldsymbol {a}}'$ azelerazioa. Kalkulu matematikoak froga ikus daitekeenez, erlazio hau dago bi balio horien artean:
  $${\boldsymbol {a}}={\boldsymbol {A}}+{\boldsymbol {a}}'+{\boldsymbol {\dot {\omega }}}\times {\boldsymbol {r}}'+{\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {r}}')+2{\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {v}}'.$$
  Hau da, sistema ez-inertzialeko $B'$ behatzaileak neurtuko duen azelerazioa honako hau izango da
  $${\boldsymbol {a}}'={\boldsymbol {a}}-{\boldsymbol {A}}-{\boldsymbol {\dot {\omega }}}\times {\boldsymbol {r}}'-{\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {r}}')-2{\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {v}}'.$$
  Horrek esan nahi du $B$ eta $B'$ behatzaileek azelerazio desberdinak lortuko dituztela gorputz berberaren azelerazioa neurtzean, hau da: ${\boldsymbol {a}}\neq {\boldsymbol {a}}'$ izango dela. Labur esanda, azelerazioa erlatiboa da, erreferentzia-sistema ez-inertziala nolakoa den araberakoa.
  

Azelerazioaren kausak

Azelerazioaren kausak aztertzen dituen mekanikaren arloari dinamika deritzo. Labur esanda, azelerazioaren kausak abiadura-bektorea aldarazten duten fenomenoak dira. Oro har, fenomeno horiei indarrak deritze, eta mekanika newtondarrean Newtonen bigarren legearen bidez definitzen dira,

$${\boldsymbol {F}}=m{\boldsymbol {a}}.$$

Lege hori da dinamikaren oinarrizko printzipioa. Bertan hiru elementu ageri dira: ${\boldsymbol {F}}$ indarra, magnitude bektoriala, objektuaren azelerazioaren kasua dena; $m$ masa, magnitude eskalarra, objektuaren materiaren ezaugarri mekanikoak biltzen dituena; eta azelerazioa, magnitude bektoriala, aurreko bi magnitudeen bidez definiturik geratzen dena:

$${\boldsymbol {a}}={\frac {\boldsymbol {F}}{m}}.$$

Nolanahi ere, bi motatako indarrak bereizi behar dira: elkarrekintzak eta inertzia-indarrak.

Elkarrekintzak

Objektuen artean gertatzen diren interakzioak dira, hala nola presioa, indar elektromagnetikoa, grabitazioa... Indar hauek dira Newtonen lehenengo legea (inertziaren printzipioa) hausten dutenak; alegia, elkarrekintzaren ondoriozko indar horiek dira erreferentzia-sistema inertzial batean ageri diren azelerazioen sortzaileak.

Newton-en lehenengo eta bigarren legeak

Isaac Newtonek proposatutako mekanikaren lehenengo bi legeetan presentzia zehatza du azelerazioak. Hain zuzen ere, lehenengo legeak dioenez —inertziaren printzipioari dagokiona—, indarren eraginik jasaten ez duen partikulak abiadura konstantea du —azelerazio nulua du— sistema inertzial batean, hots, ez du azeleraziorik jasango:

$${\boldsymbol {F}}=0\rightarrow {\boldsymbol {v}}={\text{kte}}\rightarrow {\boldsymbol {a}}=0.$$

Bestetik, bigarren legeak zehazki adierazten du partikulan eragiten duen ${\boldsymbol {F}}$ indarraren, partikularen $m$ masaren, eta indarraren eraginaren ondorioz partikularen ${\boldsymbol {a}}$ azelerazioaren arteko erlazioa, betiere kontuan izanik indarra eta azelerazioa magnitude bektorialak direla; eta masa, eskalarra:

$${\boldsymbol {F}}=m{\boldsymbol {a}}.$$

Baina lege hori, izatez, erreferentzia-sistema inertzialetan betetzen da, eta elkarrekintzei dagozkien indarrekin betetzen da sistema horietan. Beraz, interakzioan egindako indarra eta interakzioaren ondorioz sorturiko azelerazioa elkarren proportzionalak dira, proportzionaltasun konstantea partikularen masa izanik. Baina beste objektu batekiko elkarrekintzarik ez badago, azeleraziorik ez dago.

$${\boldsymbol {F}}=0\rightarrow {\boldsymbol {a}}=0.$$

Bestela esanda, erreferentzia-sistema inertzial batean elkarrekintza-indarrik egon ezean, partikula higidura zuen uniformean higituko da, inertzia printzipioa betez, Newtonen lehenengo legea, alegia.

Grabitazio unibertsalaren legea

Newtonen grabitazio unibertsalaren legea ere erlazionaturik dago azelerazio kontzeptuarekin, eta horrek garrantzi berezia du gu bizi garen Lurraren grabitatearen koasuan. Hain zuzen ere, Lurrak egiten digun ${\boldsymbol {F}}_{\text{g}}$ grabitate-indarraren balioa honako hau dela kontuan izanik:

$${\boldsymbol {F}}_{\text{g}}=-G{\frac {mM_{\text{L}}}{R^{2}}}{\boldsymbol {u}}_{\text{r}},$$

non $G$ grabitazio unibertsalaren konstantea den, $m$ lurrazalean dagoen edozein gorputzen masa, $M_{\text{L}}$ Lur planetaren masa, $R$ Lurraren erradioa eta ${\boldsymbol {u}}_{\text{r}}$ Lurraren erradioaren norabideko bektore unitarioa. Horretan oinarriturik, Lurraren gainazalean dauden gorputz guztiok jasaten dugun ${\boldsymbol {g}}$ azelerazio grabitatorioa defini dezakegu, honelaxe:

$${\boldsymbol {g}}={\frac {{\boldsymbol {F}}_{\text{g}}}{m}}=-G{\frac {M_{\text{L}}}{R^{2}}}{\boldsymbol {u}}_{\text{r}}.$$

Bistan denez, Lurreko azelerazio grabitatorioa magnitude bektoriala da, eta beraren moduluak $g=9,8{\text{ m·s}}^{-2}$ balio du lurrazalean, gutxi gorabehera. Azelerazio hori dute lurrazaletik hurbil jausten ari diren gorputz guztiek (hutsean erorizgero, noski).

Inertzia-indarrak

Aurreko atalean ("Azelerazioa kontzeptu erlatiboa da" izenekoan) azaldu denez, erreferentzia-sistema ez-inertzialetako $B'$ behatzaileak ${\boldsymbol {a}}'$ azelerazioa neurtzean, interakzioei dagokien ${\boldsymbol {a}}$ azelerazioaz gain, kontuan hartu behar ditu sistema ez-inertzialaren higiduren kausaz ageri diren gainerako osagaiak; alegia, beraren neurketan balio hau lortuko du:

$${\boldsymbol {a}}'={\boldsymbol {a}}+(-{\boldsymbol {A}}-{\boldsymbol {\dot {\omega }}}\times {\boldsymbol {r}}'-{\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {r}}')-2{\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {v}}').$$

Dakigunez, erreferentzia-sistema inertzialetan eta elkarrekintza-indarrekin baino ezin dugu aplikatu Newtonen bigarren legea. Zer egin dezakegu lege hori modu berean aplikatzeko sistema ez-inertzialetan? Horretarako, fisikariek trikimailu praktiko bat asmatu zuten, esanez sistema horietan inertzia-indarrak deritzen irudizko indarrek ere eragiten dutela, elkarrekintza-indarrez gain. Horretarako, arrazonamendu hau egiten da. Sistema ez-inertzialean ere Newtonen bigarren legea aplikatzeko,

$${\boldsymbol {F}}'=m{\boldsymbol {a}}'$$

balio duen indar batek egon behar luke eragiten. Baina, horrela bada, $B'$ behatzaileak neurturiko ${\boldsymbol {a}}'$ azelerazioa kontuan izanik, indar horrek balio hau izango luke:

$${\boldsymbol {F}}'=m{\boldsymbol {a}}'=m{\boldsymbol {a}}+(-m{\boldsymbol {A}}-m{\boldsymbol {\dot {\omega }}}\times {\boldsymbol {r}}'-m{\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {r}}')-2m{\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {v}}').$$

Horrek esan nahi du, ezen objektuan eragiten diharduen elkarrekintza-indarraz gain —${\boldsymbol {F}}=m{\boldsymbol {a}}$ indarra, zeinari "indar erreala" ere esaten zaio batzuetan—, parentesiaren barneko azelerazioak sortzen dituzten "indarrak" ere sumatzen direla sistema ez-inertzialean; eta bakarrik sistema ez-inertzialean. Horregatik, indar horiei inertzia-indar edo "indar fiktizioak" ere esaten zaie. Indar horiek erreferentzia-sistema ez-inertzialaren higiduraren kausaz sumatzen dira, eta bakoitza higiduraren ezaugarri bati dagokio. Hauexek dira:

• $-m{\boldsymbol {A}}$ : Aurreko irudiko $SEI$ erreferentzia-sistema ez-inetzialaren jatorriaren azelerazioari dagokion inertzia-indarra.
• $-m{\boldsymbol {\dot {\omega }}}\times {\boldsymbol {r}}'$ : $SEI$ erreferentzia-sistemaren azelerazio angeluarrari dagokion inertzia-indarra.
• $-m{\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {r}}')$ : $SEI$ erreferentzia-sistemaren abiadura angeluarrari eta biraketa-ardatzarekiko posizioari dagokien inertzia-indar berezia, zeinari indar zentrifugoa deritzon.
• $-2m{\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {v}}'$ : $SEI$ erreferentzia-sistemaren abiadura angeluarraren eta abiadura erlatiboaren efektu konbinatuari dagokion inertzia-indar berezia, zeinari Coriolis-en indarra deritzon.

Bestela esanda, inertzia-indarrak sistema ez-inertzialetan Newtonen legea kalkuluetan egokiro erabiltzeko trikumailu bat dira.

Azelerazioaren osagaiak koordenatu-sistema desberdinetan

Objektuen higidura aztertzeko erabiltzen diren posizioaren eta abiaduraren bektoreak bezala, abiadura-bektoreak modu desberdinetan adierazten dira erreferentzia-sistema deskribatzeko aukeratu den koordenatu-sistemaren arabera, alegia, koordenatu kartesiarrak, zilindrikoak, esferikoak edo bestelakoak aukeratu diren arabera. Horretaz, garrantzizkoa da azpimarratzea, erreferentzia-sistema berean, edozein koordenatu-sistema aukera daitekeela; baina aukeratutako koordenatuen arabera, posizio-, abiadura- eta azelerazio-bektorearen osagaiak modu desberdinean adieraziko direla, jarraian ikus daitekeen bezala.

Kordenatu-sistema kartesiarra.

Koordenatu kartesiarrak

Koordenatu kartesiarrak $(x,y,z)$ eta bektore unitarioak ${\boldsymbol {u}}_{x}$, ${\boldsymbol {u}}_{y}$, eta ${\boldsymbol {u}}_{z}$ izanik (askotan ${\boldsymbol {i}}$, ${\boldsymbol {j}}$ eta ${\boldsymbol {k}}$ ikurrak erabiltzen dira) honelaxe adierazten dira posizio, abiadura eta azelerazioari dagozkien bektoreak:

• Posizio-bektorea: ${\boldsymbol {r}}(t)=x(t){\boldsymbol {u}}_{x}+y(t){\boldsymbol {u}}_{y}+z(t){\boldsymbol {u}}_{z}.$
• Abiadura-bektorea: ${\boldsymbol {v}}(t)={\frac {{\text{d}}x(t)}{{\text{d}}t}}{\boldsymbol {u}}_{x}+{\frac {{\text{d}}y(t)}{{\text{d}}t}}{\boldsymbol {u}}_{y}+{\frac {{\text{d}}z(t)}{{\text{d}}t}}{\boldsymbol {u}}_{z}=v_{x}{\boldsymbol {u}}_{x}+v_{y}{\boldsymbol {u}}_{y}+v_{z}{\boldsymbol {u}}_{z}.$
• Azelerazio-bektorea: ${\boldsymbol {a}}(t)={\frac {{\text{d}}v_{x}}{{\text{d}}t}}{\boldsymbol {u}}_{x}+{\frac {{\text{d}}v_{y}}{{\text{d}}t}}{\boldsymbol {u}}_{y}+{\frac {{\text{d}}v_{z}}{{\text{d}}t}}{\boldsymbol {u}}_{z}={\frac {{\text{d}}^{2}x}{{\text{d}}t^{2}}}{\boldsymbol {u}}_{x}+{\frac {{\text{d}}^{2}y}{{\text{d}}t^{2}}}{\boldsymbol {u}}_{y}+{\frac {{\text{d}}^{2}z}{{\text{d}}t^{2}}}{\boldsymbol {u}}_{z}=a_{x}{\boldsymbol {u}}_{x}+a_{y}{\boldsymbol {u}}_{y}+a_{z}{\boldsymbol {u}}_{z}.$

Koordenatu-sistema zilindrikoa.

Koordenatu zilindrikoak

Koordenatu zilindrikoak $(\rho ,\varphi ,z)$ eta bektore unitarioak ${\boldsymbol {u}}_{\rho }$, ${\boldsymbol {u}}_{\varphi }$, eta ${\boldsymbol {u}}_{z}$ izanik:

• Posizioa: ${\boldsymbol {r}}(t)=\rho {\boldsymbol {u}}_{\rho }+z{\boldsymbol {u}}_{z}.$
• Abiadura: ${\boldsymbol {v}}(t)={\dot {\rho }}{\boldsymbol {u}}_{\rho }+\rho {\dot {\varphi }}{\boldsymbol {u}}_{\varphi }+{\dot {z}}{\boldsymbol {u}}_{z}.$
• Azelerazioa: ${\boldsymbol {a}}=({\ddot {\rho }}-\rho {\dot {\varphi }}){\boldsymbol {u}}_{\rho }=(2{\dot {\rho }}{\dot {\varphi }}+\rho {\ddot {\varphi }}){\boldsymbol {e}}_{\varphi }+{\ddot {z}}{\boldsymbol {u}}_{z}.$

Aurreko fomuletan, adierazpenak errazteko, mekanikan ohikoa den idazkera laburtu hau erabili da: aldagaiaren gainean puntu bat jartzean, aldagai horren denborarekiko deribatua adierazi nahi da, hots, ${\dot {\rho }}\equiv {\frac {{\text{d}}\rho }{{\text{d}}t}}$; era berean bi puntu jartzean, denborarekiko bigarren deribatua adierazten da, hau da, ${\ddot {\rho }}\equiv {\frac {{\text{d}}^{2}\rho }{{\text{d}}t^{2}}}$.

Koordenatu-sistema esferikoa.

Koordenatu esferikoak

Koordenatu esferikoak $(r,\theta ,\varphi )$, eta bektore unitarioak ${\boldsymbol {u}}_{r}$, ${\boldsymbol {u}}_{\theta }$, eta ${\boldsymbol {u}}_{\varphi }$ izanik:

• Posizioa: ${\boldsymbol {r}}(t)=r{\boldsymbol {u}}_{r}.$
• Abiadura: ${\boldsymbol {v}}={\boldsymbol {\dot {r}}}={\dot {r}}{\boldsymbol {u}}_{r}+r{\dot {\theta }}{\boldsymbol {u}}_{\theta }+r{\dot {\varphi }}\sin {\theta }{\boldsymbol {u}}_{\varphi }.$
• Azelerazioa: ${\boldsymbol {a}}={\ddot {\boldsymbol {r}}}=({\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}-r{\dot {\varphi }}^{2}\sin ^{2}\theta ){\boldsymbol {u}}_{r}+(r{\ddot {\theta }}^{2}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}^{2}-r{\dot {\varphi }}^{2}\sin \theta \cos \theta ){\boldsymbol {u}}_{\theta }+(r{\ddot {\varphi }}\sin \theta +2{\dot {r}}{\dot {\varphi }}\sin \theta +2r{\dot {\theta }}{\dot {\varphi }}\cos \theta ){\boldsymbol {u}}_{\varphi }.$

Ikus daitekeenez, koordenatu-sistema zein den arabera, posizio, abiadura eta azelerazioaren formulak sinpleagoak edo korapilatsuagoak izan daitezke. Dena den, problema konkretuaren simetrien arabera, koordenatu-sistema bat edo beste aukeratzea komeni izaten da.

Koordenatu intrintsekoak. Frenet eta Serrat-en formulak

Frenet eta Serrat-en erreferentzia-sistemako hiru bektore unitarioen irudia.

Aurreko hiru koordenatu-sistemak erreferentzia-sistemari lotuak izan dira, eta ez dute zerikusirik partikularen higidurarekin; alegia, bertako bektore unitarioak berberak dira partikularen ibilbidea edozein izanik ere. Baina batzuetan komeni izaten da higidura bera higitzen ari den partikularekin batera doan koordenatu-sistema berezi batetik aztertzea, eta orduan bektore unitarioak ibilbidearen izaeraren bitartez definitzen dira; horrela egitean, ibilbideko puntu bakoitzean hiru bektore unitario definituz, eta koordenatu intrintsekoak dauzkan Frenet-en erreferentzia-sistema osatuz. Frenet eta Serrat-en formulak ere esaten zaie Jean Frédéric Frenet-ek 1847an eman baitzituen eta Joseph Alfred Serret-ek 1851n, bakoitzak bere aldetik eman ere.

Hain zuzen, espazio tridimentsionalean partikularen ${\boldsymbol {r}}$ posizio-bektorea hasierako puntutik $s$ distantziaren funtzioan definiturik badugu, hau da, ${\boldsymbol {r}}={\boldsymbol {r}}(s)$ eran, edozein ibilbide kurbatutan, honelaxe defini ditzakegu edozein $P$ puntuko bektore unitarioak:

• Bektore unitario tangentea honelaxe definitzen da:
  $${\boldsymbol {u}}_{\text{t}}\equiv {\frac {{\text{d}}{\boldsymbol {r}}}{{\text{d}}t}}.$$
  Agerikoa denez, bektore unitario tangentea ibilbideko puntu bakoitzean definitzen da; hots, posizioaren funtzioa da: ${\boldsymbol {u}}_{t}={\boldsymbol {u}}_{t}(s)$

• Bektore unitario normala definitzeko, lehenik kurbaren plano oskulatzailea zehaztu behar dugu. Puntu bakoitzean, plano oskulatzailea da bere barnean bektore unitarioa edukirik kurbaren tangentea den planoa. Behin plano oskulatzailea definiturik, bektore unitario normala plano horretakoa izanik bektore tangentearen perpendikularra duena, eta noranzkoa kurbaren barrualderanzkoa izanik. Matematikoki idatzita, erlazio hau du bektore unitario tangentearekin:
  $${\frac {{\text{d}}{\boldsymbol {u}}}{{\text{d}}s}}={\frac {1}{\rho }}{\boldsymbol {u}}_{\text{n}},$$
  non $\rho$ ibilbideak puntu horretan daukan kurbadura-erradioa den.

Triedro intrintsekoaren eboluzioa ibilbidean zehar

• Triedro intrintsekoa osatzeko, definizioz, bektore unitario binormala aurreko bien biderkadura bektoriala da:
  $${\boldsymbol {u}}_{b}\equiv {\boldsymbol {u}}_{\text{t}}\times {\boldsymbol {u}}_{\text{n}}.$$
  Hortaz, bektore binormala plano oskulatzailearen perpendikularra da ibibideko puntu bakoitzean. Alboko irudi animatuan ikus daiteke triedroaren eboluzioa ibilbidean zehar.

Frenet eta Serraten sisteman honelaxe adierazten dira abiadura eta azelerazioa:

• abiadura: ${\boldsymbol {v}}=v{\boldsymbol {u}}_{\text{t}}.$ Alegia, abiadurak osagai bakarra du, ibibidearen tangentearen norabidean.
• azelerazioa: ${\boldsymbol {a}}={\ddot {s}}{\boldsymbol {u}}_{\text{t}}+{\frac {\dot {s}}{\rho }}{\boldsymbol {u}}_{\text{n}}.$ Azelerazioak, ostera, bi osagai ditu: bata tangentearen norabidean, ${\ddot {s}}{\boldsymbol {u}}_{\text{t}}$, eta bestea normalarenean, ${\frac {\dot {s}}{\rho }}{\boldsymbol {u}}_{\text{n}}$.

Higidura lauaren kasuko azelerazioaren bi osagaiak

Partikularen higidura plano batean gauzatzen denean, ibilbidearen kurbatu denean, azelerazioak bi osagai ditu: azelerazio tangentziala eta azelerazio normala. Lehenengoak ibilbidearen norabide tangentziala du puntu bakoitzean, eta abiaduraren moduluaren aldaketa adierazten du; bigarrena ibilbidearen norabide perpendikularra du, eta abiadurak denborarekiko pairatzen duen norabide-aldaketa azaltzen du.

Partikularen abiadura eta azelerazioa ibilbideko hiru puntutan. Higidura laua eta kurbatua denean, azelerazioaren noranzkoa kurbaren barrualderanzkoa da (A eta C); higidura zuzena denean (B puntuan), abiadurak eta azelerazioak ibilbidearen norabide berbera dute, eta osagai normala nulua da.

Azelerazio tangentziala

Azelerazioaren osagai tangentzialaren modulua $(a_{\text{t}})$abiaduraren moduluak denbora-unitateko pairatzen duen aldaketa da; matematikoki esanez, abiaduraren moduluaren denborarekiko deribatua da:

$$a_{\text{t}}={\frac {{\text{d}}v}{{\text{d}}t}},$$

Bektore modura harturik, azelerazio tangentzial hori ibilbidearen bektore tangentzial unitarioaren $({\boldsymbol {u}}_{\text{t}})$ bidez adieraz daiteke:

$${\boldsymbol {a}}_{\text{t}}={\frac {{\text{d}}v}{{\text{d}}t}}{\boldsymbol {u}}_{\text{t}}.$$

Agerikoa denez, abiaduraren modulua konstante denean, azelerazio tangentziala nulua izango da.

Azelerazio normala

Azelerazioaren osagai normala abiadurak pairatzen duen norabide-aldaketaren ondorioa da. Ibilbidea kurbatua denean agertzen da, eta ibilbidearen kurbadura-zentroarekiko norabidea du; bestela esanda, ibilbidearen lerro ukitzailearen norabide perpendikularra du. Azelerazio normalaren moduluaren adierazpen matematikoa ondorengoa da:

$$a_{\text{n}}={\frac {v^{2}}{\rho }},$$

non $\rho$ hori ibilbidearen kurbadura-erradioa den puntu horretan. Eta bektore gisa adieraziz, barruranzko ${\boldsymbol {u}}_{\text{n}}$ bektore unitario normalaren bidez:

$${\boldsymbol {a}}_{\text{n}}={\frac {v^{2}}{\rho }}{\boldsymbol {u}}_{\text{n}}.$$

Kasu honetan, abiaduraren modulua konstantea izan arren, azelerazio normala ez da nulua.

Higiduraren legeak zenbait kasu berezitan

Objektu baten higiduraren legeek determinatu egiten dute objektuaren posizioa, aldiuneko abiadura eta aldiuneko azelerazioa denboraren funtzio modura. Zinematikako hiru magnitude horiek bektorialak dira, eta gorago emandako definizioetan ikusi dugunez, magnitude batetik besterako transformazioa deribazio edo integrazio baten bidez egiten da, edota higidurari dagokion ekuazio diferentziala ebatziz. Jarraian, zenbait adibide aztertuko ditugu.

Higidura Zuzena

Higidura zuzena lerro zuzenean gertatzen dena da. Beraz, abiadurak etengabe du norabide berbera; eta azelerazio normalik ez du. Horregatik abiaduraren modulua kontsideratuko dugu soilik. Aldiuneko azelerazioaren definiziotik abiaturik, abiaduraren balioa kalkulatu ahalko dugu denboraren funtzioan:

$$a={\frac {{\text{d}}v}{{\text{d}}t}}\rightarrow {{\text{d}}v}=a{{\text{d}}t},$$

Hortaz, $t=0$ eta edozein $t$ aldiuneren artean integratuz, eta hasierako aldiuneko abiadura $v_{0}$ izan dela kontsideratuz, hauxe izango da abiaduraren balioa $t$ aldiunean:

$$v(t)=v_{0}+\int _{0}^{t}a{\text{d}}t.$$

Azelerazioaren balioa zein den jakinik, erraz kalkula dezakegu integral hori. Eta modu berean eginez, abiaduraren definiziotik abiaturik eta aurretik lorturiko abidurari aplikatuz, partikularen posizioa lortu ahalko dugu. Adibide gisa, higidura zuzeneko zenbait kasu berezi aztertuko ditugu.

Higidura zuzen uniformea

Abiadura konstantea den kasuan —edo gauza bera dena, azelerazioa nulua denean—, $v=v_{0}={\text{kte}}$ da. Orduan higidura zuzen uniformea dugu:

$$v(t)=v_{0},$$

Abiadura etengabe hasierako berbera denez, objektua hasieran non egon den jakinez gero, honelaxe kalkulatu ahalko dugu edozein aldiunetako posizioa, hasierako posizioa, $s_{0}$, zein izan den jakinez gero:

Abiadura nuluz abiaturiko bolak ibilitako distantzia denboraren karratuaren proportzionala da.

$$v={\frac {{\text{d}}s}{{\text{d}}t}}\rightarrow \int _{s_{0}}^{s}{{\text{d}}s}=s-s_{0}=\int _{0}^{t}{v{{\text{d}}t}}=vt\rightarrow s=vt+s_{0}.$$

Higidura zuzen uniformeki azeleratua

Azelerazioa konstantea den kasuan, $a={\text{kte}}$ , higidura zuzen uniformeki azeleratua dugula esango dugu. Kasu horretan, edozein aldiunetako abiadura honako hau izango da:

$$v(t)=v_{0}+\int _{0}^{t}a{\text{d}}t=v_{0}+at$$

Horretaz baliatuz, edozein aldiunetako posizioa, $s(t)$, ere kalkula dezakegu, hasierako posizioa, $s_{0}$, zein izan den jakinez gero:

$$s(t)=s_{0}+\int _{0}^{t}(v_{0}+at){\text{d}}t=s_{0}+v_{0}t+{\frac {1}{2}}at^{2}.$$

Demagun objetu bat grabitatearen eraginez erortzen utzi dugula altuera batetik, hasierako abiadura nuluz; higidura horri erorketa askea deritzo, eta$a=g=9,81{\text{m/s}}^{2}$ azelerazio konstanteaz gertatzen da. Hasierako posiziotik neurtzen hasiz gero, $s_{0}=0$ eta $v_{0}=0$ izango dira. Beraz, erortzean ibilitako distantzia honako hau izango da:

$$s(t)={\frac {1}{2}}gt^{2}.$$

Alegia, ibilitako distantzia pasaturiko denboraren karratuaren proportzionala izango da, alboko irudian adierazita dagoenez.

Higidura zirkular uniformeko azelerazio zentripetua.

Higidura zirkular uniformea

Higidura zirkular uniformean, ibilbidea zirkularra izan arren, partikularen abiaduraren modulua konstantea da. Hortaz, azelerazio tangentziala nulua da:

$$v={\text{kte}}\rightarrow a_{\text{t}}={\frac {{\text{d}}v}{{\text{d}}t}}=0.$$

Ostera, azelerazio normalak modulu konstantea du:

$$a_{\text{n}}={\frac {v^{2}}{R}}={\text{kte}},$$

eta ibilbideko puntu guztietan zentroranzko norabide eta noranzkoa duenez, ohitura dago azelerazio zentripetua deitzeko.

Azelerazioaren unitateak

• Azelerazioa unitate eratorria da, nazioarteko SI sisteman balio hau daukana: ${\text{m·s}}^{-2}.$
• Bestalde, zenbait kasutan erabiltzen den cgs sisteman, azelerazio-unitatea ${\text{cm·s}}^{-2}$da.

Ariketak

• Azelerazioa
• Higidura, abiadura unitateak eta azelerazio unitateak lantzeko ariketa I.
• Higidura, abiadura unitateak eta azelerazio unitateak lantzeko ariketa II.
• Higidura, abiadura unitateak eta azelerazio unitateak lantzeko ariketa III.
• Higidura, abiadura unitateak eta azelerazio unitateak lantzeko ariketa IV.

Bibliografia

• Aguirregabiria, Juan María. (2004). Mekanika klasikoa. Universidad del País Vasco ISBN 84-8373-631-4 PMC 932541663
• Fishbane, Paul (2008) Fisika zientzialari eta ingeniarientzat. 1. bolumena, (1.etik-21.era Gaiak) Universidad del País Vasco/Euskal Herriko Unibertsitatea ISBN9788490820308PMC932800438.
• Etxebarria Bilbao, Jose Ramon (arg.) Fisika orokorra (2. argitalpena) UEU, Bilbo (2003) ISBN 9788484380450.
• Marcelo Alonso, Edward J. Finn (1976). Física. Fondo Educativo Interamericano. ISBN 84-03-20234-
• J.R. Etxebarria & F. Plazaola (1992) Mekanika eta Uhinak, UEU, Bilbo, ISBN 84-86967-42-2

Ikus, gainera

• Abiadura
• Azelerazio angeluarra
• Indarra
• indar zentripetua
• indar zentrifugoa
• Bektorea
• Deribatua
• Erreferentzia-sistema

Kanpo estekak

• Datuak: Q11376
• Multimedia: Acceleration / Q11376