Zenbaki elkarrekiko lehenak

Matematikan, elkarrekiko lehenak diren zenbakiak, elkarren artean faktore lehen komunik ez duten bi zenbaki oso, a eta b, dira. Beste modu batera esanda, 1 eta -1ez gain ez badute beste zatitzaile komunik. Elkarrekiko lehenak dira, baldin eta soilik baldin, haien zatitzaile komun handiena 1 bada.[1][2][3][4]

Adibidez, 6 eta 35 elkarrekiko lehenak dira, baina 6 eta 27 ez dira zeren eta biak 3 zenbakiak zatitzen ditu.

Bi zenbaki elkarrekiko lehenak diren jakiteko modu azkar bat Euclidesen algoritmoa erabiltzea da.

PropietateakAldatu

OinarrizkoakAldatu

  • Elkarrekiko lehenak diren bi zenbakiren arteko zatitzaile komun handiena 1 da. Hori dela eta, ez da existitzen biak zatituko dituen zenbaki lehenik, zkh  [1][2].
  •   eta   elkarrekiko lehenak badira, orduan existitzen dira bi zenbaki,   eta y non   den. (Bézout-en identitatea)
  •   eta   elkarrekiko lehenak badira eta   orduan  .(Euklidesen lema)
  •   eta   zenbaki osoak elkarrekiko lehenak dira baldin  -k alderantzizko bat badu modulu   produkturako, hau da, existitzen da zenbaki oso bat y non   (mod a). Honen ondorio bat da   eta   elkarrekiko lehenak badira eta  , orduan  . Beste modu batera esanda,   sinplifika daiteke   moduluko osokoen Z/nZ eraztunean.
  •   eta   zenbaki arruntak, elkarrekiko lehenak badira,  ,  ,  ere bai.
  •   eta   zenbaki oso positiboak elkarrekiko lehenak badira,  ,  ,   ere bai.
 
1 irudia. 4 eta 9 zenbakiak elkarrekiko lehenak dira. Beraz, 4x9-ren erretikuluko diagonalak ez du elkarukitzen erretikuluko gainontzeko puntuekin.

Beste Propietate BatzukAldatu

  •   eta   zenbaki osoak elkarrekiko lehenak dira baldin eta soilik baldin, koordenatu sistema kartesiar batean   koordenatua   jatorrik ikus badaiteke. Hau da, ez dago beste koordenatu punturik   eta  ren artean.(Ikus 1 irudia);
  • Ausaz hartutako bi zenbakik elkarrekiko lehenak izateko duten probabilitatea   da.[3]
  • Bi zenbaki arrunt a eta b elkarrekiko lehenak dira, baldin eta soilik baldin,   eta   elkarrekiko lehenak badira.[5]
  • Zenbaki oso positibo batekiko,  , elkarrekiko lehenak diren zenbaki osoen kopurua,   eta   bitartean, Eulerren  funtzioak ematen du .
  • Bi zenbaki ondoz ondokoak badira, elkarrekiko lehenak dira. (Hori erraz ikus daiteke Euclidesen Algoritmoa erabilita).

Elkarrekiko Lehenak Izateko ProbabilitateaAldatu

Bi ausaz aukeratutako zenbaki oso   eta   hartuz gero, normala izango litzateke hauek   eta   elkarren artean lehenak izateko duten probabilitateaz galdetzea. Hau egiaztatzeko,   eta   elkarren artean lehenak direla esango dugu, baldin eta soilik baldin bi zenbakiak beste zenbaki lehen edozeinek ez baditu zatitzen (ikusi Aritmetikaren oinarrizko teorema).

Beste edozein zenbaki lehen (edo beste oso)   batek zatitzeko probabilitatea   da; adibidez, 7. oso bakoitza zazpi zenbakiaz zatigarria da. Hori dela eta, bi zenbaki  -k zatitzeko probabilitatea  da. Edozein zenbaki lehen ezberdinekin loturiko zatigarritasun gertaeren bilduma finkoa elkar independentea da. Esaterako, bi zenbakiko kasuan, zenbaki bat   eta  lehenekiko zatigarria izango da baldin eta soilik baldin  -rekiko ere zatigarria bada. Arrazoiketa hori zatigarritasun gertakari infinituetara hedatu daitekeelako suposizio heuristikoa egiten badugu, bi zenbaki elkarrekiko lehenak izateko probabilitatea, zenbaki guztien gaineko produktu batek ematen du,

 


Hemen ζ Riemann en zeta funtzioari dagokio, zenbaki lehenen produktua ζ (2) gainean erlazionatzen duen identitatea, Eulerren produktu baten adibidea da, eta ζ(2) ebaluazioa π2/6 bezala Baselen problema da, Leonhard Eulerrek ebatzia 1735 ean.


Ez dago ausazko zenbaki positibo bat hautatzeko modurik, zenbaki positibo bakoitza probabilitate berarekin gertatzeko, baina hauei (ausaz hautatutako zenbaki osoak) buruzko adierazpenak, aurrekoak bezala, dentsitate naturalaren nozioarekin formalizatu daitezke. Zenbaki oso positibo N bakoitzarentzat, ausaz autatutako   bi zenbaki elkarrekiko lehenak izateko probabilitatea PN izango da. Nahiz eta PN ez den inoiz   ren berdina izango zehazki, batek lana eginez[6],   limitean probabilitatea  ,   ra gerturatzen dela frogatu lezake.

Oro har, ausaz hautatutako k zenbaki elkarren artean lehenak izateko probabilitatea   da.

Elkarrekiko Zenbaki Lehen Bikote Guztiak SortzenAldatu

 
Algoritmo honekin hertsapen-pareak sortzeko ordena. Lehen nodoa (2,1) gorriz markatuta dago, hurrengo belaunaldiko 3 nodoak laranjaz erakusten dira, hirugarren belaunaldia horia da eta horrela hurrenez hurren ortzadarraren ordenan.

Elkarrekiko lehenak diren zenbaki bikote guztiak   , disjuntoak diren bi zuhaitz hirutarretan antolatu daitezke. Zuhaitz bat  -etik hasita (bakoiti-bikoiti eta bikioiti-bakoiti bikoteentzat)[7] eta bestea  -etik hasita (bakoiti-bakoiti bikoteentzat)[8]. Erpin   batetik ateratzen diren adar guztiak, honela sortuta daude:

  • 1 Adarra:  
  • 2 Adarra:  
  • 3 Adarra:  

Eskema hau guztiz baliogabea eta ez-erredundantea da, kide baliogaberik gabe.

ErreferentziakAldatu

  1. a b (Ingelesez) James Stewart Eaton. (1872). A Treatise on Arithmetic .... Thompson, Bigelow & Brown . Noiz kontsultatua: 2018-11-29.
  2. a b 1877-1947., Hardy, G. H. (Godfrey Harold),. (2008). An introduction to the theory of numbers. (6th ed.. argitaraldia) Oxford University Press ISBN 9780199219858 PMC 214305907 . Noiz kontsultatua: 2018-11-29.
  3. a b (Ingelesez) W., Weisstein, Eric. «Relatively Prime» mathworld.wolfram.com . Noiz kontsultatua: 2018-11-29.
  4. The future of the U.S.-EU-Japan triad : how dominant? how interdependent? how divergent?. Center for Strategic & International Studies 1995 ISBN 0892063173 PMC 31938715 . Noiz kontsultatua: 2018-11-29.
  5. 1939-, Stark, Harold M.,. (1978, ©1970). An introduction to number theory. (1st MIT Press pbk. ed. argitaraldia) MIT Press ISBN 0262690608 PMC 3707973 . Noiz kontsultatua: 2018-11-29.
  6. Teorema hau Ernesto Cesàrok egiaztatu zuen 1881ean. Proba moduan, ikusi Hardy & Wright 2008, 332. teorema
  7. Saunders, Robert; Randall, Trevor. (1994). «78.12 The Family Tree of the Pythagorean Triplets Revisited» The Mathematical Gazette (482): 190–193 doi:10.2307/3618576 . Noiz kontsultatua: 2018-11-29.
  8. Mitchell, Douglas W. (2001eko Uztaila), "An alternative characterisation of all primitive Pythagorean triples", Mathematical Gazette, 85: 273–275, doi:10.2307/3622017

Kanpo estekakAldatu