Bézouten identitate

Bézouten identitateak (edo Bézouten lemak) zera dio: zeroren ezberdinak diren eta bi zenbaki oso eta haien zatitzaile komun handiena izanik, honakoa betetzen duten eta bi zenbaki oso existitzen direla:

Identitateari izena Étienne Bézout (1730-1783) matematikari frantsesaren omenez jarri zitzaion[1]. Zenbaki teoriako beste teorema batzuk (Euklidesen lema edo Hondarraren teorema txinatarra, adibidez) Bézouten identitatean oinarritzen dira.

Soluzioen egituraAldatu

Bézouten identitateko ( ,  ) zenbakiak ( ,  )-rako Bézouten koefizienteak direla esaten da. Koefiziente horiek eta   haien zatitzaile komun handiena Euklidesen algoritmo hedatuaren bitartez kalkula daitezke eta lortuko diren balioek honakoa beteko dute:

  eta  

  eta   bata bestearen multiplo badira, goiko erlazioan berdintza beteko da.

Bézouten koefizienteak ez dira bakarrak. Izan ere,

 .

Hortaz, ( ,  ) Bézouten koefiziente pare bat kalkulatua izan denean, (Euklidesen algoritmo hedatuaren bidez, adibidez), gainerako ( ,  ) koefiziente-pareek existitzen diren Bézouten koefiziente guztiak (infinitu) adieraziko dituzte.

 .

AdibideaAldatu

Izan bitez   eta   bi zenbaki oso. Euklidesen algoritmo hedatuaren bidez   Bézouten koefizienteak eta haien zatitzaile komun handiena den   kalkulatuko ditugu. Zatiketa euklidearrak eginek eta hondarrak askatuz, zera lortuko dugu:

 


Hortaz,   da. Hondarrak atzera ordezkatuz, ( ,  ) Bézouten koefizienteak kalkulatuko ditugu:

 


Beraz, lortu ditugu Bézouten koefizienteak:   eta  .

Egiazta daiteke Bézouten identitatea ( ) betetzen dela:

 .

Esan dugunez, Bézouten koefizienteak ez dira bakarrak.   baliorako, adibidez, honako beste ( ,  ) koefiziente-parea lortuko dugu:

 .


Egiazta daiteke Bézouten identitatea ( ) betetzen dela:

 .


ErreferentziakAldatu

  1. (Frantsesez) Bézout, Étienne. (1779). Théorie générale des équations algébrique. De l'imprimerie de Ph. D. Pierres . Noiz kontsultatua: 2017-12-22.

Kanpo estekakAldatu