Euklidesen algoritmo

Bi zenbaki arrunten zatitzaile komunetan handiena (z.k.h.) aurkitzeko aplikatzen den algoritmoa. Honela aplikatzen da: zatitu zenbaki handiena txikienarekin; hondarra zero bada, zatitzailea da bi zenbakien z.k.h.

Euklidesen algoritmoa, matematikan, bi zenbakiren zatitzaile komunetako handiena () kalkulatzeko erabiltzen den metodo bat da. Euklidesek deskribatu zuen lehenengo aldiz bere Elementuak obran (K.a. 300). Euklidesen algoritmo hedatuarekin, gainera, zatitzaile komunetako handiena emandako bi zenbakien konbinazio lineal moduan adierazteko koefizienteak kalkula daitezke. Algoritmoa hainbat arlotan aplikatzen da; aljebran, zenbaki-teorian eta informatikan, esaterako.

Euklidesen jatorrizko algoritmoaAldatu

 
AB eta CD segmentu neurgarriak

Grekoek matematikari buruz zuten ikuspuntuaren arabera, zenbakiak magnitude geometrikoak dira. Geometria grekoak bi segmenturen neurgarritasuna aztertzen zuen: bi segmentu (zenbaki) AB eta CD neurgarriak dira hirugarren PQ segmentu bat existitzen bada zein aurreko bien barruan egokitzen den n zenbaki osoa adina aldiz, hau da, PQ-k AB eta CD segmentuak neurtzen baditu.

Edozein segmentu bikote ez da neurgarria; pitagorikoek aurkitu zuten moduan, karratuaren diagonala eta aldea ez dira neurgarriak. Bi segmentu neurgarriak direnean, haien arteko neurri komun handiena topatu nahi izaten da.

Euklidesek bere Elementuak lanaren VII liburuko 2. proposizioan bi segmenturen (zenbakiren) neurri komun handiena topatzeko metodo bat deskribatzen du, zenbakiak haien artean lehenak ez diren kasurako.

« Elkarren artean lehenak ez diren bi zenbakiren gehienezko neurri komuna aurkitzeko.

Izan bitez AB, CD emandako bi zenbaki elkarrekiko ez-lehenak. Bada, AB, CD zenbakien neurri komun handiena aurkitu behar da.

»
Euklides. Elementuak VII.2

Metodoa termino geometrikoetan azaldu zen garai hartan. Gaur egungo hizkuntza modernoan algoritmoa horrela deskribatzen da:

 
Euklidesen jatorrizko algoritmoaren adibidea
  1. Izan bitez AB eta CD bi segmentu, non AB>CD betetzen den. AB-ri CD kentzen diogu behin eta berriz posiblea den bitartean. Amaieran hondarrik geratzen ez bada, orduan CD da neurri komun handiena.
  2. EA hondarra geratzen bada, CD baino txikiagoa izango da eta prozesua errepika daiteke; CD-ri EA kenduko zaio behin eta berriz posiblea den bitartean. Azkenean hondarrik gelditzen ez bada, EA izango da neurri komuna. Bestela, EA baino txikiagoa den FC hondar berria lortuko da.
  3. Prozesua errepikatu behar da hondarrik geratuko ez den arte. Lortutako azken hondarra da neurri komun handiena.

Euklidesen algoritmoaAldatu

Zatiketa Euklidearraren definizioaren arabera, bi zenbaki oso   eta   izanik,  , beste bi zenbaki oso   eta   existitzen dira eta bakarrak dira non

 

betetzen den,   izanik eta  -ren balio absolutua   den. Hau da,   zenbaki osoa   zenbaki osoaz zatitzean   zatidura eta   hondarra lortzen dira.

Euklidesen algoritmoa zatiketa euklidearrean oinarritzen da eta bi zenbaki osoren zatitzaile komunetako handiena kalkulatzeko balio du.   eta   bi zenbakiren zatitzaile komunetako handiena adierazteko erabiltzen den notazioa   da.

Euklidesen algoritmoaren oinarrizko printzipioa   da. Bertatik ondorioztatzen da   dela. Hortaz, Euklidesen algoritmoa erabiliz   eta   bi zenbakiren   zatitzaile komunetako handiena horrela kalkulatzen da:

  1.   bada   da.
  2. Bestela,   da,   izanik   eta  -ren arteko zatiketa euklidearraren hondarra.

Demagun   eta   notazioaz adierazten direla.   kalkulatzeko prozedura orokorra honakoa da:

Urratsa a b Eragiketa q r Esanahia
1       zati        
2       zati        
3       zati        
...
        zati        
        zati        

Hondarra txikituz doanez, azkenean 0 hondarra lortuko da eta prozedura amaituko da.   eta   zenbakien zatitzaile komunetako handiena   ez den azken hondarra da:  .

 

Adibidea.

  eta   izanik,   horrela kalkulatzen da:

Urratsa a b Eragiketa q r Esanahia
1       zati        
2       zati        
3       zati        

  sekuentziaren bidez, honakoa ondorioztatzen da:   eta   denez,   da.

OrokortasunaAldatu

Euklidesen algoritmoak ez du zenbaki arruntetarako soilik balio; hondarra uzten duen zatiketa bat dagoen beste kasuetara ere orokor daiteke. Koefiziente arrazionalak dituzten polinomioen arteko zatiketa euklidearra ere definitu daitekeenez, haien arteko zatitzaile komunetako handiena kalkula daiteke.

Adibidea.

Euklidesen algoritmoaren bidez   eta   polinomioen arteko zatitzaile komunetako handiena horrela kalkulatzen da:

Urratsa Eragiketa Esanahia
1   zati  ; hondarra:    
2   zati  ; hondarra:    
3   zati  ; hondarra:    

Hortaz,   eta   polinomioen zatitzaile komunetako handiena   dela ondorioztatzen da.

Deskribapen formalaAldatu

Algoritmoa modu formalagoan adierazteko sasikodea erabil daiteke. Kasu honetan, " " adierazpenaren esanahia "  zati   eragiketarekin lortutako hondarra" da (ikus Aritmetika modular).

 
Euklides algoritmoa


Algoritmo hau ez da eraginkorra konputagailuan inplementatua izateko,   balio guztiak gordetzea eskatzen duelako.

Euklidesen algoritmo hedatuaAldatu

Bi zenbaki osoren zatitzaile komunetako handiena haien konbinazio lineal moduan idatz daiteke. Formalki,   eta   bi zenbaki oso izanik,   betetzen duten   eta   koefiziente osoak existitzen dira,   edo   izanik. Gainera,   da   eta   zenbakien konbinazio lineal moduan idatz daitekeen zenbaki oso positiborik txikiena.   eta   koefizienteak ez dira bakarrak.

Euklidesen algoritmo hedatuari esker,   kalkulatzeaz gain   eta   koefiziente osoak kalkula daitezke.

Oinarrizko printzipioakAldatu

Euklidesen algoritmo hedatua azaltzeko, hainbat modu daude. Erabilienetako bat honako hau da:

  1. Euklidesen algoritmoa erabiltzea. Urrats bakoitzean,   zenbakia   zenbakiaz zatitzean,   zatidura eta   hondarra lortzen dira.   ekuazioaren bidez adierazten da.
  2. Ekuazio bakoitzean   hondarra askatzen da ( ).
  3. Azken ekuazioaren hondarra azken-aurrekoan ordezkatzen da, eta azken-aurrekoa azken-aurrekoaren aurrekoan eta horrela lehenengo ekuaziora iritsi arte. Urrats bakoitzean   hondarra zenbakien konbinazional lineal moduan adierazita agertuko da.

AplikazioakAldatu

Zatikien sinplikazioaAldatu

Zatikiekin eragitean, sinplifikazioak egitea oso garrantzitsua gertatzen da. Esaterako,   eta   zatikiak baliokideak dira (ikus Zenbaki arrazional). Izan ere,   bada,   zatikiak baliokideak dira. Oro har,   zatikia sinplifikatzeko,   eta   zenbakiak haien zatitzaile komunetako handienaz zatitu behar dira.

Adibidea.

  zatikia sinplifikatzeko,   denez,   eta   zatiketak egiten dira, eta  =  baliokideak direla ondorioztatzen da.

Zatiki jarraituakAldatu

Euklidesen algoritmoa aplikatzean egiten den zatiketa euklidear sorta   zatikia zatiki jarraitu moduan adierazteko erabil daiteke. Izan ere,   eta   badira, zera betetzen da:

 

Adibidea.

  zatikia izanik,   Euklidesen algoritmoa erabiliz kalkulatzean, honako zatiketa euklidear sorta egiten da:

Urratsa Eragiketa q r Esanahia
1   zati        
2   zati        
3   zati        
4   zati        

Ekuazio horiek guztiak era honetan ere idatz daitezke:

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  

Bigarren ekuazioa lehenengoan ordezkatuz gero, honakoa lortzen da:

 

Gainerakoak ere ordenatuz, honako adierazpena lortzen da:

 

Oro har, zera baiezta daiteke:

 

Biderketarekiko alderantzizko modularAldatu

Artikulu nagusia: Biderketarekiko alderantzizko modular.

Bi zenbaki oso   eta   kongruenteak dira modulu   ,   balioaz zatitzean hondar bera lortzen bada. Adibidez, 7 eta 12 kongruenteak dira modulu 5, 7 zenbakia eta 12 zenbakia 5ez zatitzean 2 hondarra lortzen delako.   eta   zenbakiak kongruenteak direla modulu   adierazteko

 

notazioa erabiltzen da. Aurreko adibideko kongruentzia, beraz, horrela adierazten da:

 .

Demagun   eta   balioak ezagunak direla, baina honako kongruentzia betetzen duen   ezezaguna dela:

 

  betetzen duen   balioa aurkitu behar da. Horrela, aurreko ekuazioa  -ekin biderkatuz, nahi den soluzioa lortuko da:

 

  balioa  ren alderantzizkoa modulu   dela esaten da.

Balio hori ez da beti existitzen. Esaterako,   eta   balioetarako ez da existitzen   zenbaki osorik non   betetzen den. Izan ere,   balioa existitzeko   bete behar da, hau da, zenbakiak elkarrekiko lehenak izan behar dute. Euklidesen algoritmo hedatua erabiltzean ( ) ,   lortzen bada, orduan   balioa  ren alderantzizkoa da, modulu  . Adibidez, honako ekuazio hau ebatzi nahi bada:

 

Orduan, Euklidesen algoritmo hedatuarekin   lortzen da.   denez, 5-ak badu alderantzizkoa modulu 9. Gainera,   denez, alderantzizko hori 2 da. Hortaz,

 ,

hau da,   da.

Bézouten IdentitateaAldatu

Artikulu nagusia: Bézouten identitate.

Bézouten identitateak zera dio: zeroren ezberdinak diren   eta   bi zenbaki oso eta   haien zatitzaile komun handiena izanik, honakoa betetzen duten   eta   bi zenbaki oso existitzen direla:

 

  eta   koefizienteak eta   haien zatitzaile komun handiena Euklidesen algoritmo hedatuaren bidez kalkula daitezke.

Algoritmoaren konplexutasunaAldatu

Lamé-ren teoremak baieztatzen du Euklidesen algoritmoa aplikatzean kasurik okerrena Fibonacci-ren segidako ondoz ondoko bi zenbakiren zatitzaile komunetako handiena kalkulatzean ematen dela.

Adibidea.

  eta   zenbakien zatitzaile komunetako handiena kalkulatzeko honako eragiketak egin behar dira:

 
Euklidesen algoritmoa aplikatzean egiten den zatiketa kopuruaren grafikoa. Gorriak eragiketa gutxi adierazten du; kolore urdinagoek, aldiz, eragiketa kopuru handiagoa adierazten dute.
Urratsa Eragiketa q r Esanahia
1   zati        
2   zati        
3   zati        
4   zati        
5   zati        
6   zati        
7   zati        
8   zati        
9   zati        

Ikusten denez, bi digituko bi zenbaki horietarako 9 zatiketa egin behar izan dira. Oro har, egindako zatiketa kopurua zenbakiek duten digito kopurua bider 5 baino altuagoa ez da inoiz izango.

Konplexutasun konputazionalari dagokionez,   eta  -ren   kalkulatzeko   zatiketa egin beharko dira,   izanik.

Brigitte Valleek frogatu zuen bi zenbakiak   bitetan adieraz badaitezke, orduan bataz bestean egin beharreko zatiketa kopurua   dela.

Hala ere, ez da nahikoa zatiketa kopurua ezagutzea. Aurretik aipatu den moduan, Euklidesen algoritmoak polinomioetan eta zenbaki osoetan funtzionatzen du eta, oro har, edozein eremu euklidearretan. Kasu bakoitzean, algoritmoaren konplexutasuna egin behar den zatiketa kopuruaren eta zatiketa bakoitza egitearen kostuaren mende dago. Polinomioen kasuan, egin beharreko zatiketa kopurua   da,   polinomioen gradua izanik.

BibliografiaAldatu

  • von zur Gathen, Joachim; Gerhard, Jürgen (2003). «The Euclidean Algorithm». Modern Computer Algebra
  • Cambridge University Press. ISBN 0-521-82646-2.
  • Shoup, Victor (2008). «Euclid’s algorithm». A Computational Introduction to Number Theory and Algebra
  • Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-85154-1.
  • Johnsonbaugh, Richard (2005). «Introducción a la teoría de números». Matemáticas Discretas. México: PEARSON EDUCACIÓN. ISBN 970-26-0637-3.
  • Ralph P. Grimaldi (1998). «Propiedades de los números enteros: Inducción matemática». Matemáticas Discreta y Combinatoria. México: Addison Wesley Longman de México. ISBN 968-444-324-2.
  • Lipschutz, Seymour; Lipson, Marc (2009). «Propiedades de los enteros». Matemáticas Discretas. McGraw-Hill. ISBN 978-970-10-7236-3.
  • Brassard, Gilles; Bratley, Paul (1997). «Análisis de algoritmos». Fundamentos de Algoritmia. Madrid: PRENTICE HALL. ISBN 84-89660-00-X.
  • Vallée, Brigitte (2002). «Dynamical Analysis of α-Euclidean Algorithms»
  • Journal of Algorithms 44 (1). ISSN 0196-6774 , pp. 246-285.
  • Cormen, Thomas; Leiserson, Charles; Rivest, Ronald; Stein, Clifford (2009). «Number-Theoretic Algorithms». Introduction to Algorithms. The MIT Press. ISBN 978-0-262-53305-8.
  • Barrera Mora, Fernando (2005). «Definiciones y resultados generales». Introducción a la Teoría de Grupos
  • Publicaciones Electrónicas de la Sociedad Matemática Mexicana. ISBN 968-9161-02-4.
  • Cárdenas, Humberto; Lluis, Emilio; Raggi, Francisco; Tomás, Francisco (2004). «Divisibilidad». Álgebra Superior. México: Trillas. ISBN 968-24-3783-0.
  • Pérez Seguí, María Luisa (2006). «Divisibilidad». Teoría de Números. Instituto de Matemáticas, UNAM. ISBN 970-32-1170-0.
  • Sánchez Velázquez, Jesús (1998). «Algoritmos para números grandes». Introducción al análisis de algoritmos. México: Trillas. ISBN 968-24-4341-5.
  • Baldor, Aurelio (2008). «Máximo común divisor». Álgebra. México: Grupo Editorial Patria. ISBN 978-970-817-000-0.

Kanpo estekakAldatu