Uhin-funtzio

Mekanika kuantikoan, sistema fisiko bat deskribatzen duen funtzio matematikoa. Esaterako, Schrödingerren ekuazioan, uhin-funtzioak partikula edo partikula-sistema baten egoera eta bilakaera uhin-ezaugarriak kontuan hartuz definitzen ditu.

Mekanika kuantikoan, uhin-funtzioa sistema fisiko bat deskribatzen duen funtzio matematikoa da.

Fotoiaren dentsitate uhinaren propagazioa 2 dimentsiotan.

Uhin-funtzioa balio konplexuko probabilitate-anplitude bat da, eta hortik abiatuta, sisteman egindako neurketen balizko emaitzen probabilitateak deriba daitezke. Uhin funtzio baterako sinbolo ohikoenak edo dira.

Adibidez, Schrödingerren ekuazioan, uhin-funtzioak partikula edo partikula-sistema baten egoera eta bilakaera uhin-ezaugarriak kontuan hartuz definitzen ditu. Bornen interpretazio estatistikoan, uhin funtzioaren normaren karratua, , aldiune batean partikula bat posizio edo momentu jakinarekin neurtzeko probabilitate-dentsitate bezala interpretatzen da.[1]

Kantitate honen integralak espazio osoan, , 1 izan behar du, probabilitatearen intepretazio arabera. Honi normalizazio baldintza deritzo.

Testuinguru historikoaAldatu

1905ean, Albert Einsteinek fotoi baten frekuentziaren eta bere energiaren arteko proportzionaltasuna,   ,postulatu zuen, eta 1916an fotoi baten momentuaren eta uhin luzeraren arteko erlazioa zehaztu zuen,  non   Planck-en konstantea den.[2]

 
Erwin Schrödinger, Schrödingerren ekuazioaren garatzailea, 1933an. Urte horretan Nobel saria irabazi zuen Paul Dirac-ekin batera.

Louis de Broglie izan zen aurreko erlazioa, orain de Broglieren erlazioa deritzona, partikula masiboentzat balio duela iradokitzen lehena, zantzu nagusia Lorentzen aldagabetasuna delarik. Hau mekanika kuantikoaren garapen modernoaren abiapuntua izan daiteke. Ekuazioek uhin-korpuskulu dualtasuna adierazten dute, bai masarik gabeko partikulentzat, bai masiboentzat.[3]

1926an, Erwin Schrödingerrek bere uhin ekuazioa argitaratu zuen, Schrödingerren ekuazioa deritzona:


 

Ekuazio hau operadore kuantikoen bidez energiaren kontserbazio klasikoan eta de Broglieren erlazioetan oinarritzen zen, eta ekuazioaren soluzioak sistema kuantikoaren uhin funtzioak ziren. Hala ere, ez zegoen erabat argi nola interpretatu: Hasieran, Schrödingerrek eta beste batzuek pentsatu zuten uhin-funtzioek sakabanatutako partikulak errepresentatzen zituztela, non partikula gehienak funtzioaren balio handieneko tokietan zeuden.

1926an, Bornek probabilitatearen zabaltasunaren perspektiba eman zuen.[4] Honek mekanika kuantikoaren kalkuluak behaketa esperimental probabilistikoekin erlazionatzen ditu zuzenean. Kopenhageko mekanika kuantikoaren interpretazioaren zati bezala onartzen da.[5]

DefinizioaAldatu

GarapenaAldatu

Gaur egun Schrödingerren ekuazioa postulatu bat da fisika kuantikoan,[6] baina ekuaziora iristeko modu ikuskor batean honako garapen hau egingo da: [7]

Uhin-ekuazioa (bai elektromagnetikoa edo uhin mekanikoa denean) dimentsio bakar batean hau da:


 


Soluzioa:

 , non   eta  

Bestalde, deBroglie-ren postulatuaren arabera:

 

  denez, eta   dugunez energia zinetiko ez erlatibista,  

Beraz, elektroia ezin da adierazi aurreko uhin funtzioarekin,   eta  -ren arteko erlazioa ez-lineala izan behar delako.

Honako ekuazio hau proposatu egingo dugu:


 


Soluzio hau sartuz ekuazioan:  ,   lortzen da. Ordezkatuz eta  -z biderkatuz:


  lortzen dugu, uhin-funtzioa. [8]

Orain   erlazioa ez lineala izatea lortu da.

Hiru dimentsiotan:  , non   Laplacearra den. Soluzioa kasu honetan  

Spin-ik gabeko partikularen dimentsio bakarreko uhin-funtzioaAldatu

Uhin funtzioa azalzeko lehenik kasu errazena aipatuko dugu: spin-ik gabeko partikula dimentsio bakarrean.

Posizio-denbora uhin funtzioaAldatu

Partikula baten posizio-denbora uhin funtzioa honela adierazten da:

  ,   posizioa izanik, eta   denbora.

Funtzio hau bi aldagai errealeko funtzio konplexua da. Zeinak probabilitate anplitudea adierazten duen. Funtzio honen moduluaren karratua kalkulatuz gero, partikulak t aldiunean x posizioan egoteko daukan probabilitate dentsitatea lortuko dugu:

 

Beraz, uhin funtzioak ez digu partikularen posizioa zehazteko gaitasunik ematen, baizik eta partikularen posizioaren probabilitate banaketa deskribatzeko.[1]

Normalizazio baldintzaAldatu

Jakinik partikula aldiune batean a eta b puntuen artean egoteko probabilitatea honako integral honek definitzen duela:

 
Funtzio gausdarra funtzio normalizatua da

 ,  

Uhin funtzioa normalizatu dezakegu, kontuan edukita partikula hori espazioko edozein tokitan egoteko probabilitatea 1 dela, (%100-ko probabilitatearekin partikula espazioko puntu batean egongo baita) honako integral hau kalkulatuz funtzioaren balio normalizatua lortuko dugu: [9]

 , non   uhinaren amplitudea den.

Uhin funtzioa normalizatuta dagoenean   da, eta bi uhin funtzio   eta   ortogonalak badira,  . Gainera, bi funtzio hauek normalizatuta badaude, funtzio ortonormalak dira.

Posizioa eta momentuaren arteko erlazioaAldatu

Posizioaren eta momentuaren adierazpenak hurregoak dira:

 

  egoeraren proiekzioa, momentuaren funtzio propioetan sartuz eta aurreko bi ekuazioak erabiliz,

 

orduan Schrödinger ekuazio askean erabilitako adierazpena egoera propio normalizatuetarako erabiliz,

 

honako hau lortzen da:

 

Modu berean, posizioaren funtzio propioak erabiliz,

 

Orduan ikusten da, momentu eta posizio funtzioak bata bestearen Fourier transformatuak direla. Bi uhin-funtzioek informazio bera dute, eta bakarra nahikoa da partikularen propietate guztiak kalkulatzeko.

Hilbert espazio fisiko abstraktuaren elementuen ordezkari bezala, non hauen elementuak sistemaren egoerak desberdinak diren, bektore berdina irudikatzen dute. Hauek propietate fisiko berdinak dute, baina adierazpenak ez dira berdinak funtzio integral karratu bezala adierazten badira.[10]

Potentzial osinaAldatu

Sakontzeko, irakurri: «potentzial osin»

Uhin funtzioak erabiltzeko adibide sinple bat potentzial osin infinituarena da. Demagun   potentzialeko eremu bat dugula   tartean, eta tarte horretatik kanpo   dela. [11]

 
Potentzial osina (kasu honetan osinetik kanpoko potentziala ez da infinitua)

 


Honelako egoera batean aztertzen ari garen partikula   tartean egongo da, eta ezinezkoa da partikula hori tarte horretatik kanpo egotea. Potentzial osin hau elektroi baten egoeraren hurbilketa gisa kontsideratu dezakegu solido baten barnean dagoenean, elektroia solido barruko edozein puntutan aurki daiteke (puntu batzuetan besteetan baino probabilitate handiagoarekin) baina ezin da inoiz solidotik kanpo egon.

Partikularen posizioaren probabilitate dentsitatea jakin nahi badugu, uhin funtzioa lortu behar dugu, eta osinaren barruan,   denez, honako hau da ebatzi beharreko ekuazioa:


     .


  definituz:


 

Ikus daitekeen bezala hori osziladore harmonikoaren ekuazioa da. Beraz soluzioa erraz lortu dezakegu:

 

Orain A eta B ren balioak lortzeko mugalde baldintzak aplikatuko ditugu.[11] Uhin funtzioak jarraitua izan behar duenez, mugalde baldintza horiek   eta   dira. Beraz hori aplikatuz, ikusten dugu   izan behar duela. Bestalde,   baldintza betetzeko bi aukera ditugu: lehenengoa   da baina kasu horretan ez genuke uhin funtziorik izango. Bigarrena honako hau da:


   ,  


eta k-ren balioa ordezkatzen badugu energiaren balioak konkretuak direla ikus dezakegu:


  ,  


Uhin funtziora itzuliz honako adierazpen hau dugu:


  


Baina   oraindik definitu gabe dago.   definitzeko funtzioa normalizatuko dugu.


  


Baina emaitza hau ez da guztiz zehatza.  -ren balio zehatza honako hau da:


 

non   fase arbitrarioa den. Uhin funtzio bakarraren kasuan faseak ez du garrantzi fisikorik eta edozein hartu daiteke. Beraz sinpletasunagatik  =0 hartuko dugu. Honela, jada definitu dugu potentzial osinaren kasua uhin funtzio bakarrarekiko. Honako hauek dira energia posibleak (autobalioak) eta bakoitzari dagozkion autoegoerak: [11]

  ,  


eta uhin funtzio osoa lortzeko, t aldiunean:

  

Potentzial jauziaAldatu

Beste adibide bat potentzial jauzia da, kasu honetan berriro dimentsio bakarreko espazioa daukagu, baina bitan zatitua. Eskualde batean (x<0 adibidez), potentziala nulua da, baina bestean balio konstante bat hartzen du ( ). Uhin funtzioak lortzeko Schrödinger ekuazioa ebatzi behar da .

x < 0 gunean, denboraren independentea den ekuazioa hau da:

  


  definituz, ondoko soluzioa lortzen da:

 


Berriro ekuazioa x > 0 zatian aplikatuz,   potentziala dagoenez:

  


Orduan bi kasu ditugu:

Lehenego kasuan,   denean, eta   definituz , ekuazioa horrela geratzen da,

 


Lortutako uhin ekuazioa infiniturantz doanean (x→∞), ezin da dibergentea izan, orduan D=0 izan behar da. Beraz, bakarrik A,B eta C konstanteak geratzen dira, baina uhin-funtzioa eta deribatua jarraituak izan behar da:

  

  

B eta C askatuz,

  ,  


Orduan,   denean, ondoko uhin-funtzioak lortzen dira,

   

   

Bigarren kasuan,  , hemen   magnitudea definitzen da, modu berean soluzioa hau da:

 


Orain ezin da konstante bat zerotzat hartu, funtzioa infiniturantz denean dibergentea ez baita. Beste aldetik, berriro funtzioa eta deribatuak jarraituak dira. Honekin 4 konstantetik (A,B,C,D) bi desagertzen dira, beste biak independenteak dira.

  funtzioa ezkerretik eskuinera mugitzen den partikularen uhin-funtzioa da. Modu berean   alderantziz mugitzen da. Sistema finkatu arren, partikula hasieran ezkerretik eskuinera mugitzen dela onartuko da. Hormara iristen denean partikulak bi aukera ditu, ezkerrerantz itzultzen da edo bere norabidearekin jarraitzen du. Baina eskuinean dagoenean ezin da ezkerretara joan. Kasu honetan D=0 da.

Beste kasu partikular bat hartzekotan; partikula eskuinetik dator. Berriro hormara iristean aurreko bi aukerak ditu,  itzuli eta infinitura joan eskuinerantz edo horma zeharkatu ezkerrerantz. Bigarren kasua aztertuz, A=0 izango da. Hurrengo lerroetan lehenengo kasua aztertuko da:

Berriro uhina eta derbatuak jarraituak direnez,

  

  

Berriro B eta C askatuz

  ,  


Orduan,   denean, modu berean, ondoko uhin-funtzioak lortzen dira,

   

   

Orduan, ezkerretik etortzen diren partikulak, mugara heltzean ezkerraldera edo eskuinaldera mugitu egin daitezke (islapena edo transmisioa). Bere norabidea aldatzen badu, abiadura ez du moduluz aldaketarik jasango, baina norabidea kontrakoa izango da. Partikulak bere norabidea aldatzen ez badu, honen abiadura hasierako baino txikiagoa izango da.

Uhin-funtzioak eta espazio-funtzioakAldatu

Funtzio espazioen kontzeptua berez sartzen da uhin funtzioei buruzko eztabaidan. Espazio funtzio bat, funtzio multzo bat da, normalean funtzioei buruzko zenbait eskakizun zehaztuz (integragarriak badira), batzuetan egitura aljebraikoarekin, (kasu honetan bektore espaizoak biderketa eskalarrarekin).

Espazio bektorialen egituraAldatu

Superposizio kuantikoaren ondorioak

Uhin-funtzio bat, funtzio espazio baten elementu bat da, honako deskribapen konkretu eta abstraktuekin ezaugarritzen dena:

  • Schrödinger ekuazioa lineala da. Honek esan nahi du, ekuazioaren soluzioak (uhin-funtzioak), batu edo eskalar batekin biderkatu daitezkela soluzio berri bat osatzeko. Schrödinger ekuazioaren soluzio multzoa espazio bektorial bat da.
  • Mekanika kuantikoaren gainazartze-printzipioa:   eta   sistema kuatiko baten bi egoera badira, eta   edozein bi zenbaki konplexu badira. Orduan   ere egoera posiblea da. Egoera posible guztien multzoa espazio bektorial bat osatzen dute.

Biderketa eskalarraAldatu

Egitura aljebraiko gehigarri bat dago uhin-funtzioen bektore-espazioetan.

  • Fisikoki, uhin-funtzio ezberdinak gainezartu daitezke. Sistema bat   egoeran badago eta   egoerarekin gainezartzen ez bada,   neurtzen bada ezinezkoa da   egoeran aurkitzea. Baina  ,  ,... gainazartzen badira   -rekin, baliteke   deskribatzen duen egoera neurtzerakoan,  ,  ,... menpe egotea. Horrek esan nahi du zenbait prozesu perspektiba batzuetatik (adibidez energia [12] eta momentuaren kontserbazioa) ez direla gertatzen hasierako eta bukaerako uhin-funtzioak ez direlako gainezartzen.
  • Matematikoki, Schrödinger ekuazioko soluzioak, potentzial partikularrentzako, ortogonalak dira nolabait, eta hau, normalean, integral batekin deskribatzen da:   , non  ,   indizeak diren (zenbaki kuantikoak), soluzio ezberdinak irudikatuz eta   kronecker delta. Integral hau aztertzen dugun espazio osoaren gainean egiten da.

ErreferentziakAldatu

  1. a b (Ingelesez) Barukčić, Ilija. (2016-06-07). «The Physical Meaning of the Wave Function» Journal of Applied Mathematics and Physics 4 (6): 988–1023. doi:10.4236/jamp.2016.46106. Noiz kontsultatua: 2021-04-17.
  2. (Ingelesez) «Deriving the de Broglie Wavelength» Chemistry LibreTexts 2013-10-02 Noiz kontsultatua: 2021-04-12.
  3. Feynman, Richard P.. (2006). QED : the strange theory of light and matter. (Expanded Princeton Science Library edition. argitaraldia) ISBN 978-1-4008-4746-4. PMC 839301787. Noiz kontsultatua: 2021-04-17.
  4. (Ingelesez) «Max-Born Interpretation of Wave Functions» Dalal Institute Noiz kontsultatua: 2021-04-12.
  5. «Copenhagen Interpretation» abyss.uoregon.edu Noiz kontsultatua: 2021-04-12.
  6. (Ingelesez) «3.9: Postulates of Quantum Mechanics» Chemistry LibreTexts 2013-10-03 Noiz kontsultatua: 2021-04-17.
  7. Eisberg, Robert Martin. (1961). Fundamentals of modern physics. Wiley ISBN 0-471-23463-X. PMC 424504. Noiz kontsultatua: 2021-04-17.
  8. «Schrodinger equation» hyperphysics.phy-astr.gsu.edu Noiz kontsultatua: 2021-03-30.
  9. (Ingelesez) Probability amplitude. 2021-01-29 Noiz kontsultatua: 2021-03-30.
  10. Téllez, Armando Martínez. (2009-08-11). «El espacio de Hilbert I» La Mecánica Cuántica Noiz kontsultatua: 2021-04-13.
  11. a b c «SquareWell.pdf» Google Docs Noiz kontsultatua: 2021-03-31.
  12. (Gaztelaniaz) Conservación de la energía. 2021-03-27 Noiz kontsultatua: 2021-03-30.

BibliografiaAldatu

Ikus, gaineraAldatu

Kanpo estekakAldatu