Mekanika kuantikoaren formulazio matematikoa

Mekanika kuantikoaren formulazio matematikoa, mekanika kuantikoaren formulazio zorrotza ahalbidetzen duten formalismo matematikoen multzoa da. Hauek XX. mendearen hasieran erabilitako matematika abstraktoen formalismo matematikoez baliatzen dira. Estruktura hauetako asko analisi funtzionaletik lortzen dira, matematika puruen arloko ikerketan eraginda. Denbora gutxian, behaketa fisikoen baloreak, energia eta momentua bezalakoak, ez ziren funtzioen balore bezala kontsideratu espazioan, baina bai balore propio bezala. Zehatzago esanda, operadore linealen balio espektralen moduan kontsideratzen ziren Hilbert-en espazioan.

Gaur egun, mekanika kuantikoaren formulazio hauek erabiltzen jarraitzen dira. Deskripzioan zehar egoera kuantikoaren eta behaketa kuantikoaren ideiak daude, zeinak, orain arte erabilitako errealitate fisikoarekin konparatuz oso desberdinak diren . Matematikak esperimentalki neur daitezkeen kantitate askoren kalkulua baimentzen duen bitartean, limite teoriko bat ere existitzen da aldi berean neur daitezkeen balioetarako. Limite hau Heisenberg-ek argitu zuen lehen aldiz pentsamendu esperimental baten bidez, eta matematikoki adierazten da behagarri kuantikoak adierazten duten operadoreen konmutazioan.

Mekanika kuantikoaren agerpena baino lehen banatutako teoria bezala, fisikan erabilitako matematikak analisi matematiko formal baterako erabiltzen ziren, kalkuluekin hasita geometria diferentziala eta ekuazio diferentzial partzialak lortu arte. Probabilitatearen teoria mekanika estatistikoan erabilia izan zen. Geometriak paper garrantzitsua jokatu zuen lehenengo bietan, eta ondorioz erlatibitatearen teoria kontzeptu geometrikoen terminoetan formulatu ziren. Fisika kuantikoaren sorrera 1895 eta 1915 bitartean izan zen, eta teoria kuantikoaren sorreraren aurreko 10-15 urteetan fisikariek pentsatzen jarraitu zuten teoria kuantikoan gaur egun fisika klasikoa deritzogunaren limiteen barruan, eta bereziki egitura matematiko beraren barruan. Honen adibiderik onena, Sommerfeld-Wilson-Ishiwararen kuantifikazio erregelarena da, fase klasikoaren espazioan formulatua izan zena.

Lehen postulatua: Uhin funtzioa

Mekanika kuantikoan, sistema baten egoera guztiz azalduta dago $\Psi (q,t)$  uhin-funtzioarengatik ($q$ partikularen koordenatua; $t$ denbora aldagaia). Funtzio hau unibokoa, jarraia, deribatu jarraia, eta bere karratuaren integragarritasuna izan behar ditu.

Uhin funtzioa orokorrean funtzio konplexua da, berak bakarrik ez dauka esanahi fisikorik, baino bere karratuak probabilitate dentsitatea adierazten du:

$\Psi ^{*}(q,t)\Psi (q,t)dq$   $t$ denboran sistema $q$ eta $q+dq$ tartean egoteko probabilitatea

Gainera, zentzu fisiko bat izateko uhin funtzioa normalizatua dago, hau da %100-eko balore bat du eta balore hori 1 da. Baldintza, $\textstyle \int _{R}^{}\Psi ^{*}(q,t)\Psi (q,t)dq$ egotea da, eta honek balore finitu bat du. Honek baimenduko du uhin funtzioaren normalizazioa, sistemaren existentziaren probabilitate unitatea delako.

Bigarren postulatua: Operadoreak

$A$ behagarri fisiko bakoitzari ${\hat {A}}$ operadore lineal eta hermitiko bat dagokio. Operadorea arau matematiko bat da, funtzio bat beste funtzio baten bihurtzen duena.

$\Psi (q,t)\longrightarrow {\displaystyle \Psi '(q,t)}$   eta honela adierazten da    ${\hat {A}}\Psi =\Psi '$

• Operadore lineala: demagun bi funtzio, $\Psi$ eta  $\theta$ , eta zenbaki konplexu pare bat, $c$ eta $d$, orduan: ${\hat {A}}(c\Psi +d\theta )=c{\hat {A}}\Psi +d{\hat {A}}\theta$
• Operadore hermitikoa: edozein funtzio espazioko edozein puntuetan balore berdinak ematen dituenean: $\textstyle \int _{R}^{}\Psi {\hat {A}}\theta =\textstyle \int _{R}^{}(\Psi {\hat {A}})\theta$

Hermitiko izateak neurri fisikoak zenbaki errealak direla bermatzen du, honek bi propietate betetzen ditu:

• $a\in R$
• Ortogonalak izatea

Mekanika kuantikako ohiko operadore batzuk agertzen dira taulan: 

Behatzaile fisikoak eta berari dagokion operadore kuantikoak
	Behatzailea	Operadorea	Operadorea
Izena	Sinboloa	Sinboloa	Operazioa
Posizioa	$r$	${\widehat {r}}$	$a*r$
Momentua	$p$	${\hat {p}}$	$-i\hbar ({\hat {i}}{d \over dx}+{\hat {j}}{d \over dy}+{\hat {k}}{d \over dz})$
Energia zinetikoa	$T$	${\hat {T}}$	${\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}({d^{2} \over dx^{2}}+{d^{2} \over dy^{2}}+{d^{2} \over dz^{2}})$
Energi potentziala	$V(r)$	${\hat {V}}(r)$	$a*{\displaystyle {\hat {V}}(r)}$
Energi totala	$E$	${\hat {H}}$	${\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}({d^{2} \over dx^{2}}+{d^{2} \over dy^{2}}+{d^{2} \over dz^{2}})+{\hat {V}}(r)$
Momentu angeluarra (x)	$l_{x}$	${\hat {l}}_{x}$	$-i\hbar (y{d \over dz}-z{d \over dy})$
Momentu angeluarra (y)	$l_{y}$	${\hat {l}}_{y}$	$-i\hbar (z{d \over dx}-x{d \over dz})$
Momentu angeluarra (z)	$l_{z}$	${\hat {l}}_{z}$	$-i\hbar (x{d \over dy}-y{d \over dx})$

Non  $a$ konstante bat den

Hirugarren postulatua: Operadoreen funtzio/balore propioak

${\hat {A}}$ operadore baterako, $\Psi _{n}{\hat {A}}$-ren funtzio propio eta $a_{n}{\hat {A}}$-ren balore propio bat dela esaten dugu, baldin eta  ${\hat {A}}\Psi _{n}=a_{n}\Psi _{n}$ non $n=1,2,3...$ den. Orduan, ${\hat {A}}$ operadoreari dagokion propietate baten neurketa batek, balore propio baten balioa hartu behar du. Erabiltzen diren sinonimoak funtzio propioa, autofuntzioa, balore propioa eta autobalorea dira. Bi funtzio propio degeneratuak daudela esaten da balore propio berdina badute. Edozein konbinazio lineal funtzio propio degeneratua da. Gainera honako baieztapenak betetzen dira:

Operadore hermitiko baten balore propio guztiak zenbaki errealak dira: $\Psi \alpha$ operadorearen funtzio propioa da eta a balore propioa

$a=\int \Psi ^{*}\alpha \Psi dq=\int (\alpha \Psi )^{*}\Psi dq=\int (a\Psi )^{*}\Psi dq=a^{*}$

Operadore hermitiko baten bi funtzio propio ez-degeneratuak ortogonalak dira:

Demagun $\alpha \Psi _{i}=a_{i}\Psi _{i}$ eta $\alpha \Psi _{j}=a_{j}\Psi _{j}$ eta $a_{i}$ desberdina $a_{j}$-rekiko

$a_{j}S_{\beta }=\int \Psi _{i}^{*}\alpha \Psi _{j}dq=\int (\alpha \Psi _{i})^{*}\Psi _{j}dq=a_{i}^{*}S_{\beta }=a_{j}S_{\beta }\Rightarrow (a_{i}-a_{j})S_{\beta }=0$

Ondorioz, $S_{\beta }=\int \Psi _{i}^{*}\Psi _{j}dq=0$

non, $S_{\beta }=S_{i,j}$ den.

Laugarren postulatua: Neurketa egoera nahaste batean

Postulatu honek esaten du, egoera nahaste batean dagoela, non, $\Psi =\textstyle \sum _{n}^{\displaystyle }\Psi _{n}c_{n}$ den, hau da, funtzio propioen konbinaketa lineala. Orduan, behagarri

baten neurketa indibidual bat, $a_{n}$ balore propio bat emango du, $|c_{n}|^{2}$ probabilitatearekin, eta neurketaren ondorioz, sistema kolapsatuko da $\Psi _{n}$ egoerara.

Horrela, $\Psi$ egoeran, neurketa multzo baten batezbesteko balioa hauxe izango da.

$<A>=\int \Psi ^{*}A\Psi \,dq/\int \Psi ^{*}\Psi \,dq$

Bi operadore desberdinak ditugunean $\alpha$ eta $\beta$, linealak eta hermitikoak, baieztapen hauek baliokideak dira:

1. $\alpha$ eta $\beta$ bateragarriak dira operadore baten neurketak ez du aldatzen sistemaren egoera beste operadorearen neurketarekiko.
2. $\alpha$eta $\beta$ kommutatzen dute: $[\alpha ,\beta ]=0$
3. $\alpha$ eta $\beta$ funtzio propio multzo berdina dute: $\Psi$_i

Aldi berean, posizioaren eta abiaduraren determinazioa jakitea ezinezkoa zehaztasun osoz. Ondorioz, partikula mikroskopikoak bereiztezinak dira eta Heisenbergen printzipioak ez du eraginik mundu makroskopikoan.  

Bosgarren postulatua: Schrödingerren ekuazioa

5. postulatuak, uhin funtzioak denborarekiko jasaten duen eboluzioa honako hau dela esaten du:

${\hat {H}}\Psi (q,t)=ih{\partial \over \partial t}\Psi (q,t)$, non, hamiltondarra energia zinetikoaren eta potentzialaren arteko batura den: ${\hat {H}}={\hat {T}}+{\hat {V}}$  

Hala ere, Schrödingerren ekuazioak esaten du, ${\hat {H}}$ hamiltondarra denboraz independentea denean, hau da, egoera egonkor batean dagoenean, uhin funtzioa bere osagaietan bana daitekeela: $\Psi (q,t)=\Psi (q)\tau (t)$

Hona hemen demostrazioa:

${\hat {H}}\Psi (q,t)=ih{\partial \over \partial t}\Psi (q,t)$

${\hat {H}}\Psi (q)\tau (t)=ih{\partial \over \partial t}\Psi (q)\tau (t)$

${\hat {H}}{\Psi (q) \over \Psi (q)}={1 \over \tau (t)}ih{\partial \over \partial t}\tau (t)$

$f(q)=f(t)$

Honek adierazten du alde batean  $q$-rekiko dependentea den funtzio bat dagoela, eta beste aldean $t$-rekiko dependentea den funtzio bat. Bi funtzio hauek berdinak izan behar dutenez, alde bakoitza konstante batekin berdintzen da, kasu honetan $E$-rekin (energiarekin). Beraz:

• Alde batetik:

${\hat {H}}{\Psi (q) \over \Psi (q)}=E$

${\hat {H}}\Psi (q)=E\Psi (q)$

Hau da denborarekiko independentea den Schrödingerren ekuazioa, eta ikusten den bezala, ${\hat {H}}$ hamiltondarraren autobalorea izango da $E$ (sistemaren egoeraren energia).

• Beste aldetik:

$E={1 \over \tau (t)}ih{\partial \over \partial t}\tau (t)$

$E{\tau (t) \over ih}={\partial \over \partial t}\tau (t)$

$-i{E \over h}\tau (t)={\partial \over \partial t}\tau (t)$

$\tau (t)=e^{-{iE \over h}t}$

Ondorioz, egoera egonkor baten uhin funtzioa:

$\Psi (q,t)=\Psi (q)e^{-{iE \over h}t}$

Egoera egonkorra dela esaten da, zentzu fisikoa duena uhin funtzioaren berbidura delako, elektroia aurkitzeko probabilitate dentsitatea adierazten duena, eta hau denborarekiko independentea dela frogatuta dago:

$|\Psi (q,t)|^{2}=|\Psi (q)|^{2}e^{-{iE \over h}t}+e^{{iE \over h}t}=|\Psi (q)|^{2}$

Seigarren postulatua: Pauliren printzipioa

Postulatuak partikula kuantikoek oinarrizko propietate bat dutela esaten digu, partikularen berezko momentu angeluar bat bezala kontsideratzen dena: spin-a. Spinak balore osoa (bosoia) edo erdia (fermioia) hartu ditzake.

Bi partikula berdin daudenean, bereizezinak eta independenteak, bi fermioiek ezingo dute egoera berdinean egon, baina bosoiek bai. Hau, bi partikulen elkartrukearekiko, fermioien uhin funtzioa antisimetrikoa delako eta bosoien uhin funtzioa simetrikoa delako da.

Fermioiak materia osatzen duten partikulak dira, esaterako, elektroiak, protoiak… Bosoiak aldiz, indar desberdinak transmititzen dituzten partikulak, adibidez: fotoiak.

$\Psi (q_{1},...q_{i},...q_{j},...q_{N},t)=\pm \Psi (q_{1},...q_{i},...q_{j},...q_{N},t)$

Erreferentziak

• J. von Neumann, Mathematical Foundations of Quantum Mechanics (1932), Princeton University Press, 1955. Reprinted in paperback form.
• H. Weyl, The Theory of Groups and Quantum Mechanics, Dover Publications, 1950.
• A. Gleason, Measures on the Closed Subspaces of a Hilbert Space, Journal of Mathematics and Mechanics, 1957.
• G. Mackey, Mathematical Foundations of Quantum Mechanics, W. A. Benjamin, 1963 (paperback reprint by Dover 2004).
• R. F. Streater and A. S. Wightman, PCT, Spin and Statistics and All That, Benjamin 1964 (Reprinted by Princeton University Press)
• R. Jost, The General Theory of Quantized Fields, American Mathematical Society, 1965.
• J. M. Jauch, Foundations of quantum mechanics, Addison-Wesley Publ. Cy., Reading, Massachusetts, 1968.
• G. Emch, Algebraic Methods in Statistical Mechanics and Quantum Field Theory, Wiley-Interscience, 1972.
• M. Reed and B. Simon, Methods of Mathematical Physics, vols I–IV, Academic Press 1972.
• T.S. Kuhn, Black-Body Theory and the Quantum Discontinuity, 1894–1912, Clarendon Press, Oxford and Oxford University Press, New York, 1978.
• D. Edwards, The Mathematical Foundations of Quantum Mechanics, Synthese, 42 (1979),pp. 1–70.
• R. Shankar, "Principles of Quantum Mechanics", Springer, 1980.
• E. Prugovecki, Quantum Mechanics in Hilbert Space, Dover, 1981.
• S. Auyang, How is Quantum Field Theory Possible?, Oxford University Press, 1995.
• N. Weaver, "Mathematical Quantization", Chapman & Hall/CRC 2001.
• G. Giachetta, L. Mangiarotti, G. Sardanashvily, "Geometric and Algebraic Topological Methods in Quantum Mechanics", World Scientific, 2005.
• David McMahon, "Quantum Mechanics Demystified", 2nd Ed., McGraw-Hill Professional, 2005.
• G. Teschl, Mathematical Methods in Quantum Mechanics with Applications to Schrödinger Operators, http://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-schroe/, American Mathematical Society, 2009.
• V. Moretti, "Spectral Theory and Quantum Mechanics: Mathematical Foundations of Quantum Theories, Symmetries and Introduction to the Algebraic Formulation", 2nd Edition, Springer, 2018.
• B. C. Hall, "Quantum Theory for Mathematicians", Springer, 2013.
• V. Moretti, "Mathematical Foundations of Quantum Mechanics: An Advanced Short Course". Int.J.Geom.Methods Mod.Phys.13 (2016) 1630011, 103 pages, https://arxiv.org/abs/1508.06951
• K. Landsman, "Foundations of Quantum Theory", Springer 2017

Kanpo estekak

• Datuak: Q606855