Lankide:Julen Martin Barandiaran/Proba orria

Jarraituaren Hipotesia

Multzo - teoriaren barruan, Jarraituaren hipotesia (Hilberten lehen problema izenaz ere ezagutua) zenbaki errealen multzoen kardinalitatearekin erlazionatua dagoen enuntziatua da. Hipotesi hau, George Cantor matematikari errusiarraren eskutik formulatua izan zen 1878. urtean.

Jarraituaren hipotesiak adierazten du ez dela existitzen multzo infiniturik zeinaren tamaina, zenbaki arrunten ($\mathbb {\mathbb {N} }$) eta zenbaki errealen ($\mathbb {R}$) artean kokatzen den, hau da, ez dagoela multzo infiniturik zenbaki naturalen eta errealen kardinalitateen artean.

Hipotesi hau, David Hilbert matematikari alemaniarrak 1900 urtean proposaturiko 23 problemetako bat izan zen. Kurt Gödel eta Paul Cohen matematikarien ekarpenei esker, frogatu ahal izan zen hipotesi hau Zermelo - Frankel axiomen guztiz indepedentea zela, multzo teorian axioma multzo estandarra izanik.

Sarrera

Multzo - teorian, zenbaki kardinal kontzeptua erabiltzen da infinitu mota ezberdinak aztertzeko eta sailkatzeko. Zenbaki arrunten multzoaren kardinala $\aleph _{0}$ bidez adierazten da. Zenbaki oso ($\mathbb {Z}$) eta arrazionalen ($\mathbb {Q}$) multzoek kardinal bera dute, eta zenbakigarriak dira. Aldiz, zenbaki errealen kardinala handiagoa da, eta honen balioa $2^{\aleph _{0}}$ da.

Adierazpen hau erraz uler daiteke zenbaki erreal bat idaztean, askotan, dezimalen atalean infinitu digitu kokatu behar izaten baitira. Esaterako, $\pi$ = 3.141592…

Idatz daitezkeen zenbaki erreal kopurua eta lor daitezkeen konbinazio kopurua berdinak dira. Adibidez, 3 zifrako zenbaki batek 10³ = 1.000 balio posible ditu. Edozein zenbaki errealen kasurako, zenbaki kopurua infinitua da. Beste era batera esanda, zifra kopurua $\aleph _{0}$ da, eta horrenbestez, $10^{\aleph _{0}}$ balio posible existitzen dira.

Kontuan hartuta berrekizuna finitua dela, eta berretzailea berriz, infinitua, adierazpena beste era honetan formula dezakegu: $2^{\aleph _{0}}$. Notazio honek esan nahi du n elementurekin egin daitezkeen azpimultzo kopurua $2^{n}$ - koa dela. Hau gertatzen da $\mathbb {R}$ multzoa isomorfoa delako $\mathbb {\mathbb {N} }$ - ren potentzia - multzoarrekin.

Froga

Ikus dezakegu $\mathbb {R}$ isomorfoa dela (0,1) -arekin. Multzo honetako elementuak oinarri binarioan idazten baditugu, eta elemenentu guztien artean, 1 zenbakia duten posizioak aukeratzen baditugu, argi dago multzo hori $\mathbb {\mathbb {N} }$ - ren potentzia - multzoa dela. Edozein zenbaki naturalen multzorako, aurki dezakegu zenbaki bat (0,1) tartean, eta beraz, $\mathbb {R}$ ez da zenbakigarria.

R -ren azpimultzo infinitu baten kardinala beti izango da $2^{\aleph _{0}}$ baino txikiagoa (adibidez, $\mathbb {\mathbb {N} }$ multzoa) edo berdina ([0,1] tarteko elementuak). Jarraituaren hipotesiak esaten du, hain zuzen ere, ez dela posible $\mathbb {R}$ -ren azpimultzo bat aurkitzea, zeinaren kardinala $\aleph _{0}$ eta $2^{\aleph _{0}}$ - ren artean dagoen.

Enuntziatua

Jarraituaren hipotesiak baieztatzen du ez dagoela multzorik zeinaren kardinalitatea zenbaki naturalen eta zenbaki errealen artean dagoen:

Ez da existitzen A multzorik zeinaren kardinalak (|A|) ondorengoa betetzen duen: $\aleph _{0}$ < |A| < $2^{\aleph _{0}}$

Hautapenaren axioma kontuan hartuta, kardinal infinituen egitura argiagoa da: kardinal infinitu guztiak "aleph" - ak dira eta ondo ordenatuak daude. Beraz, kardinal bakarra existitzen da $\aleph _{0}$ baino handiagoa dena, eta $\aleph _{1}$ gisa adierazten da. Orduan, axioma hau kontuan hartuta, honela geratzen da Jarraituaren Hipotesia:

Zenbaki errealen multzoaren kardinala, zenbaki naturalen kardinala baino handiagoa da: $2^{\aleph _{0}}$ = $\aleph _{1}$

Historia. Independentzia

Cantor matematikariak uste zuen jarraituaren hipotesiaren enuntziatua egiakoia zela, eta hainbat alditan egin zuen frogapenaren saiakera, arrakastarik lortu gabe. Problema oso famatua bilakatu zen, eta David Hilbert matematikariak, mendeko 23 problema matematikoen zerrendan lehenengoa kokatu zuen.

Hala ere, jarraituaren hipotesia independentea da: multzo - teoriaren axiometatik abiatuta, ezin daiteke egiaztatu ezta ezeztatu ere. Kurt Gödel matematikari austriarrak frogatu zuen lehen aldiz, 1940. urtean, hipotesia ezin zitekeela ezeztatu. Bestalde, Paul Cohen izan zen, 1963. urtean hain zuzen ere, hipotesia egiazta ezin zitekeela frogatu zuena.

Jarraituaren hipotesi orokortua

Zenbaki errealen multzoa ekipotentea da zenbaki arrunten potentzia - multzoarekin, hau da, zenbaki naturalen azpimultzo guztiek osatutako multzoarekin. Beraz, hipotesiaren beste formulazio bat ondorengoa izango litzateke: ez da existitzen kardinalik zenbaki naturalen multzoaren eta bere potentzia multzoaren (zenbaki errealen) artean. Jarraituaren hipotesi orokorra enuntziatu honen bertsio orokortua da, zenbaki arrunten kasua zehaztu gabe:

Edozein A multzo infiniturako, ez da existitzen B multzorik ondorengioa betetzen duenik: |A| < |B| < 2|A|

Zenbaki naturalen kasuan bezala, 2^|A| kardinala, A - ren potentzia multzoaren kardinala da. Hipotesi orokortu hau enuntziatu sinpleago baten bidez azal daiteke, hautapenaren axioma kontuan hartuz gero: kardinal infinitu bakoitza "aleph" bat da, eta halako bakoitzarentzat existitzen da "aleph" handiago bat.

Edozein multzo infinituren potentzia multzoaren kardinala multzo horren hurrengo kardinalaren berdina da. Edozein kardinal infinitu, λ, izanik: 2λ = λ+