Topologia aljebraikoaren eremu matematikoan, espazio topologiko baten oinarrizko taldea espazioan dauden begizten homotopia bidezko baliokidetasun-klaseen taldea da. Espazio topologikoaren oinarrizko formari, edo zuloei, buruzko informazioa jasotzen du. Oinarrizko taldea lehenengo homotopia-taldea da, sinpleena. Oinarrizko taldea homotopia-inbariante bat da: homotopiari dagokionez baliokide diren espazio topologikoek oinarrizko talde isomorfikoak dituzte. espazio topologiko baten oinarrizko taldea notazioaz adierazten da.

Intuizioa

aldatu

Izan bitez espazio bat (gainazal bat, adibidez), espazioko edozein puntu bat eta puntu horretan hasi eta amaitzen diren begizta (bide) guztiak. Bi begizta konbina daitezke horrela: lehenengo begizta zeharkatu eta amaitzean bigarrena zeharkatu. Bi begizta baliokideak direla esaten da, horietako bat deformatzean bestea lor badaiteke, hautsi gabe. Espazio baten oinarrizko taldea, begiztak konbinatzeko metodo horren bidez eta begizten arteko baliokidetasunaren definizio horretan oinarrituz osatzen diren begizta guztien multzoa da.

Historia

aldatu

Henri Poincarék 1895ean definitu zuen oinarrizko taldea "Analysis Situs" artikuluan.[1][2] Kontzeptua Riemann-en gainazalen teorian sortu zen, Bernhard Riemannen, Poincaré-ren eta Felix Kleinen obran. Zenbaki konplexuetako funtzioen monodromia-propietateak deskribatzen ditu, eta gainazal itxien sailkapen topologiko oso bat ematen du.

Definizioa

aldatu
 
X espazio topologiko baten adibide bat

Artikulu honetan zehar, X espazio topologiko bat da. Adibide tipiko bat eskuineko irudikoa bezalako gainazala da. Gainera, X-ko   puntua oinarri-puntua dela esaten da. Talde-homotopiaren definizioak zera adierazten du: X-ko zenbat kurba deforma daitezkeen batetik bestea lortzeko. Definizio zehatza begizten homotopiaren nozioaren araberakoa da.

Begizten homotopia

aldatu

X espazio topologikoa izanik, oinarri-puntua   duen begizta honako funtzio jarraitua da:

  

non   iturburu-puntua (begiztaren hasierakoa) eta   helburu-puntua (amaierakoa)   puntuaren berdinak diren.

 
Begizten homotopia

Homotopia bi begizten arteko interpolazio jarraitua da. Zehatzago esanda,   oinarri-puntu bereko   bi begizten arteko homotopia, horrelako aplikazio jarraitu bat da:

 

non,

  •   den   guztietarako, hau da, homotopiaren abiapuntua   da t guztietarako (denbora-parametro moduan hartu ohi da t).
  •   den   guztietarako, hau da, homotopiaren helburu-puntua   da t guztietarako.
  •   den,   guztietarako.

Halako h homotopia bat existitzen bada,   eta   homotopikoak direla esaten da. "   eta   homotopikoak dira " erlazioa baliokidetasun-erlazioa da. Ondorioz, honako zatidura-multzoa (baliokidetasun-klaseen multzoa) har daiteke:

. 

Zatidura-multzo horri (ondoren deskribatzen den talde-egiturarekin batera) X espazio topologikoaren oinarrizko taldea deitzen zaio   oinarri-puntuan. Begizten baliokidetasun-klaseak homotopiarekiko hartzen dira, zatidura-multzo hori erabilgarriagoa eta konputagarriagoa gertatzen delako askotan. Bestela, begizta guztiek osatutako multzoa hartzen da zatidura-multzoan (X-ren begizta-espazioa esaten dena), zenbait helburutarako erabilgarria dena.

Talde-egitura

aldatu
 
Begizten batura

Aurreko definizioaren arabera,   multzo bat besterik ez da. Talde bihurtzen da begiztak kateatzearen ondorioz. Hortik datorkio oinarrizko talde izena. Zehatzago esateko, bi begizta   eta   izanik, haien arteko biderketa horrela definitutako begizta da:

 
 

Hala,   begiztan aurrena   begizta zeharkatzen da "abiadura bikoitzarekin", eta gero   "abiadura bikoitzarekin".

Ondorioz, begizten   eta   bi homotopia-klaseen biderketa definitzen da,  . Froga daiteke, biderketa hori ez dagoela ordezkarien aukeraketaren mende eta, beraz,   multzoan ondo definitutako eragiketa dela. Eragiketa horrek   multzoa talde bihurtzen du. Haren elementu neutroa begizta konstantea da,   puntuan dagoena t parametroaren balio guztietarako (une oro). Begizta baten homotopia baliokodetasun-klase baten alderantzizkoa begizta bera da, baina kontrako noranzkoan zeharkatzen dena. Formalki,

. 

Hiru begizta   eta   izanik, honako biderketa

 

hiru begizten kateatzea (uztartzea) da, hasteko   zeharkatuz, ondoren   abiadura laukoitzean eta gero   abiadura bikoitzean. Modu berean, hiru begizten biderketa moduan sortutako beste begizta honetan,

 

bide bera zeharkatzen du (ordena berean), baina   abiadura bikoitzean eta   eta   abiadura laukoitzean. Ondorioz, abiadurak desberdinak direnez, bi bideak ez dira berdinak. Elkartze-propietatearen axioma

 

beraz, zatidura-multzoa homotopiarekiko kontsideratu izanaren mendekoa da. Izan ere, aurreko bi kateatzeak   eta   begiztak abiadura hirukoitzarekin zeharkatzen dituen begiztarekin homotopikoak dira. Hortaz, homotopiarekiko baliokide diren oinarrizko begiztak, aurreko eragiketarekin hornituak,   multzoa talde bihurtzen dute.

Oinarri-puntuaren mendekotasuna

aldatu

Oinarrizko taldea, oro har, hautatzen den oinarri-puntuaren mendekoa den arren, X espazioa bideen bidez konexua bada (path-connected), isomorfismoari (barne-isomorfismoari) dagokionez oinarri-puntuaren aukeraketak ez du alderik eragingo. Hori dela eta, bideen bidez konexu diren X espazioak adierazteko, autore askok   notazioa erabiltzen dute   erabili ordez.

Adibideak

aldatu

Atal honetan, oinarrizko taldeen zenbait adibide aipatzen dira. Hasteko,   espazio euklidestarrean edo  espazioaren edozein azpimultzo ganbiletan, begizten klase homotopiko bakarra dago, eta, beraz, oinarrizko taldea elementu bakarra duen talde nabaria da. Oro har, izar-eremu guztiek eta uzkurgarri diren eremu guztiek oinarrizko talde nabaria dute. Hala, oinarrizko taldeak ez ditu bereizten espazio horiek.

2-esfera

aldatu

Bideen bidez konexua (path-connected) den espazio baten oinarrizko taldea nabaria bada, guztiz konexua deritzo (ingelesez, simply connected). Adibidez, irudiko   2-esfera, eta baita dimentsio handiagoko esfera guztiak ere, guztiz konexuak dira. Irudiak homotopia bat erakusten du, begizta bat begizta konstantera uzkurtuz. Ideia hori   begiztaren irudian ez dauden   puntuak dituzten   begizta guztietara egokitu daiteke. Hala ere, begizta batzuetan   betetzen denez, (Peano-ren kurbaren bidez eraikitzen direnetan, adibidez), froga egiteko topologia aljebraikoko tresnak erabili behar dira, Seifert-van Kampen teorema edo cellular approximation teorema.

Zirkulua

aldatu

Zirkulua edo 1-esfera,  , ez da guztiz konexua. Homotopia-klase bakoitzean, zirkuluaren inguruan hainbait aldiz biratuz lortzen diren begizta guztiak daude (positiboak edo negatiboak izan daitezke, biraketaren noranzkoaren arabera). m bira eman dituen begizta baten eta n bira eman dituen beste baten biderketaren emaitza m + n bira eman dituen begizta bat da. Beraz, zirkuluaren oinarrizko taldea zenbaki osoen multzoak eta batuketa eragiketak   osatzen duten taldearekin isomorfoa da. Hori erabil daiteke Brouwer-en puntu finkoaren[3] teoremaren eta Borsuk-Ulam-en teoremaren frogak 2 dimentsiotan egiteko.[4]

Zortziko-irudia

aldatu

Zortziko-irudiaren oinarrizko taldea bi letren talde librea da. Hori horrela frogatzen da: bi zirkuluen ebaki-puntua (irudian puntu beltz baten bidez adierazten dena) oinarri-puntu moduan aukeratuz,   begizta oro horrela deskonposa daiteke:

 

non a eta b bira ematen duten bi begiztak diren (irudiko begizta gorria eta urdina) eta   zenbaki osoak berretzaileak diren.   ez bezala, zortziko-irudiaren oinarrizko taldea ez da talde abeldarra: a eta b konposatzeko bi moduak ez dira elkarren artean homotopikoak:

 

Oro har, r zirkulu-sortaren oinarrizko taldea r letretako talde librea da.

Bideen bidez konexuak (path-connected) diren X eta Y espazioen puntu bateko baturaren (wedge sum) oinarrizko taldea, haien oinarrizko taldeen biderkadura libre moduan kalkula daiteke:

 

Horrek aurrekoak orokortzen ditu, zortziko-irudia bi zirkuluren puntu bateko batura baita.

n puntutan zulatutako planoaren oinarrizko taldea n sortzaile dituen talde librea da. i. sortzailea i. zulotik doan begiztaren klasea da, beste zulo batetik pasa gabe.

Grafoak

aldatu

Oinarrizko taldea egitura diskretuetarako ere defini daiteke. Izan bitez G = (V, E) grafo konexua eta V erpinen multzoko v0 erpina. G grafoan begiztak v0 erpinean hasten eta amaitzen diren zikloak dira. Izan bedi G grafoaren T hedapen-zuhaitz bat. G-ko begizta sinple guztiek ertz bat dute E \ T-n; G-ko begiztak begizta sinpleen kateatzeak dira. Beraz, grafo baten oinarrizko taldea talde libre bat da, eta duen sortzaile kopurua E \ T-n dagoen ertz kopurua da, hau da, |E| − |V| + 1 ertz.[5]

Demagun, adibidez, G-k 16 erpin dituela, 4 erpineko 4 errenkadetan antolatuta, eta horizontalki edo bertikalki alboko diren erpinak ertzen bidez konektatuta daudela. Hortaz, G-k 24 ertz ditu guztira, eta hedapen-zuhaitz bakoitzean duen ertz-kopurua 16 − 1 = 15 da; beraz, G-ren oinarrizko taldea 9 sortzaileko talde librea da.[6] Kontuan izan behar da, G grafoak 9 "zulo" dituela, oinarrizko talde bera duen 9 zirkuluko sorta batek bezala.

Korapilo-taldeak

aldatu

Definizioz, korapilo-taldeak   espazioan txertatutako K korapilo baten osagarriaren oinarrizko taldea dira. Adibidez, hiruorriko korapiloaren korapilo-taldea   adaxka-taldea da, oinarrizko talde ez-abeldarra.

Ikus, gainera

aldatu

Erreferentziak

aldatu
  1. Poincaré, Henri. (2010). Papers on topology : analysis situs and its five supplements. American Mathematical Society ISBN 978-0-8218-5234-7. PMC 610018837. (Noiz kontsultatua: 2022-12-27).
  2. (Ingelesez) Poincaré, Henri. (2009). Papers on Topology. Analysis Situs and Its Five Supplement. Translated by John Stillwell (PDF), 281 or..
  3. May, J. Peter. (1999). A concise course in algebraic topology. University of Chicago Press ISBN 0-226-51182-0. PMC 41266205. (Noiz kontsultatua: 2022-12-28).
  4. Massey, William S.. (1991). A basic course in algebraic topology. Springer-Verlag ISBN 0-387-97430-X. PMC 22308878. (Noiz kontsultatua: 2022-12-28).
  5. Simon, J.. (2008). «Example of calculating the fundamental group of a graph G» web.archive.org (Noiz kontsultatua: 2022-12-28).
  6. «The Fundamental Groups of Connected Graphs» mathonline.wikidot.com (Mathonline) (Noiz kontsultatua: 2022-12-28).

Bibliografia

aldatu

Kanpo estekak

aldatu