Baliokidetasun-erlazio

Multzo-teorian eta algebran baliokidetasun-erlazio batek $A$ multzo bateko elementuen arteko erlazio bat definitzen du, elementuak euren artean baliokidetasun klaseetan antolatuz partizio bat sortuz. ${\mathcal {R}}$ baliokidetasun-erlazioa da baldin eta erlazio bitar bihurkor, simetriko eta iragankorra bada.

5 elementuko multzo batean posible diren 52 baliokidetasun-erlazioen matrize logikoak; eremu koloredunek batekoa eta eremu txuriek zerokoa adierazten dutelarik.

Definizioa

Izan bedi$A$ multzo ez huts bat eta ${\mathcal {R}}$ multzoaren gaineko erlazio bat. Erlazio hori baliokidetasun erlazioa izango da, baldin eta honako propietate hauek betetzen baditu:

• Erreflexiboa bada, hau da, $A$ multzoko elementu oro bere buruarekin erlazionaturik badago.

$\forall x\in A:\ x{\mathcal {R}}x$

• Simetrikoa bada, $A$ multzoko $x$ elementu bat multzoko beste $y$ elementu batekin erlazionatuta egonik, $y$ ere $x$-rekin erlazionaturik badago.

$\forall x,y\in A:\ x{\mathcal {R}}y\Rightarrow y{\mathcal {R}}x$

• Iragankorra (edo trantsitiboa) bada: $A$ multzoko elementu bat multzoko beste elementu batekin erlazionatuta badago, eta beste elementu hori hirugarren batekin; hasierako elementua hirugarrenarekin erlazionatuta badago:

$\forall x,y,z\in A,\ x{\mathcal {R}}y\land y{\mathcal {R}}z\;\Rightarrow x{\mathcal {R}}z$

Idazkera

$A$ multzoko $a$ eta $b$-ren arteko baliokidetasun-erlazioa $a\sim b$ edo $a\equiv b$ moduetan idazten da erlazioa definiturik badago eta $a\sim _{R}b$, $a\equiv _{R}b$ edo $a{\mathcal {R}}b$, hala ez bada.

$A$ multzoan ezarritako $\sim$ baliokidetasun-erlazioa, $(A,\sim )\,$ bikote ordenatuaren bidez adierazten da.

Aritmetika modularrean $a\equiv b(mod{\mathcal {R}})$ ($a$ baliokide $b$ modulu ${\mathcal {R}}$) bezala adierazten da.

Baliokidetasun klasea

${\mathcal {R}}$ baliokidetasun-erlazioak azpimultzo disjuntuak definitzen ditu $A$ multzoan. $x\in A$ elementua emanik, $x$-rekin erlazionaturik dauden elementu guztiek honako baliokidetasun-klase hau definitzen dute:

$[x]=\{y\in A\,\mid y{\mathcal {R}}x\}$

Baliokidetasun-erlazio batek sortzen dituen klase kopuruari ordena deritzo; kopurua finitua bada ordena finituko erlazioa izanik.

Partiketa

X-ren partiketa bat X-ren azpimultzo ez-hutsen P multzo bat da; beraz, X-ren elementu bakoitza P-ren elementu bakar baten elementua da. Gainera, P-ren elementuak binaka disjuntoak dira, eta haien lotura X da.

Adibideak

Baliokidetasun erlazioa eta klaseak

$\lbrace a,b,c\rbrace$ multzoan $\lbrace (a,a),(b,b),(c,c),(b,c),(c,b)\rbrace$ erlazioak betetzen badira, erlazioaren baliokidetasun klaseen multzoak honako hauek dira:

$[a]=\{a\},~~~~[b]=[c]=\{b,c\}$

Erlazio honetako baliokidetasun klase guztien multzoa $\{\{a\},\{b,c\}\}$ da.

Baliokidetasun erlazioak

• Triangelu guztien multzoan "Antzekoak dira" edo "Kongruentea da".
• Zenbaki osoen multzoan "Kongruentea da modulu n".
• Funtzio baten eremuko elementuetan "Irudi bera dute".
• Zenbaki errealen multzoan "Balio absolutu bera du".
• Angelu guztien multzoan "Kosinu bera du".
• Berdintza matematikoa.

Erreferentziak

• Brown, Ronald, 2006. Topology and Groupoids. Booksurge LLC. ISBN 1-4196-2722-8.
• Castellani, E., 2003, "Symmetry and equivalence" in Brading, Katherine, and E. Castellani, eds., Symmetries in Physics: Philosophical Reflections. Cambridge Univ. Press: 422-433.
• Robert Dilworth and Crawley, Peter, 1973. Algebraic Theory of Lattices. Prentice Hall. Chpt. 12 discusses how equivalence relations arise in lattice theory.
• Higgins, P.J., 1971. Categories and groupoids. Van Nostrand. Downloadable since 2005 as a TAC Reprint.
• John Randolph Lucas, 1973. A Treatise on Time and Space. London: Methuen. Section 31.
• Rosen, Joseph (2008) Symmetry Rules: How Science and Nature are Founded on Symmetry. Springer-Verlag. Mostly chpts. 9,10.
• Raymond Wilder (1965) Introduction to the Foundations of Mathematics 2nd edition, Chapter 2-8: Axioms defining equivalence, pp 48–50, John Wiley & Sons.

Kanpo estekak

• Datuak: Q130998
• Multimedia: Equivalence relations / Q130998