Baliokidetasun-erlazio

Multzo-teorian eta algebran baliokidetasun-erlazio batek $A$ multzo bateko elementuen arteko erlazio bat definitzen du, elementuak euren artean baliokidetasun klaseetan antolatuz partizio bat sortuz. ${\mathcal {R}}$ baliokidetasun-erlazioa da baldin eta erlazio bitar bihurkor, simetriko eta iragankorra bada.

Definizioa

Izan bedi $A$ multzo ez huts bat eta ${\mathcal {R}}$ multzoaren gaineko erlazio bat. Erlazio hori baliokidetasun erlazioa izango da, baldin eta honako propietate hauek betetzen baditu:

Erreflexiboa bada, hau da, $A$ multzoko elementu oro bere buruarekin erlazionaturik badago.

$\forall x\in A:\ x{\mathcal {R}}x$

Simetrikoa bada, $A$ multzoko $x$ elementu bat multzoko beste $y$ elementu batekin erlazionatuta egonik, $y$ ere $x$ -rekin erlazionaturik badago.

$\forall x,y\in A:\ x{\mathcal {R}}y\Rightarrow y{\mathcal {R}}x$

Iragankorra (edo trantsitiboa) bada: $A$ multzoko elementu bat multzoko beste elementu batekin erlazionatuta badago, eta beste elementu hori hirugarren batekin; hasierako elementua hirugarrenarekin erlazionatuta badago:

$\forall x,y,z\in A,\ x{\mathcal {R}}y\land y{\mathcal {R}}z\;\Rightarrow x{\mathcal {R}}z$

Idazkera

$A$ multzoko $a$ eta $b$ -ren arteko baliokidetasun-erlazioa $a\sim b$ edo $a\equiv b$ moduetan idazten da erlazioa definiturik badago eta $a\sim _{R}b$ , $a\equiv _{R}b$ edo $a{\mathcal {R}}b$ , hala ez bada.

$A$ multzoan ezarritako $\sim$ baliokidetasun-erlazioa, $(A,\sim )\,$ bikote ordenatuaren bidez adierazten da.

Aritmetika modularrean $a\equiv b(mod{\mathcal {R}})$ ( $a$ baliokide $b$ modulu ${\mathcal {R}}$ ) bezala adierazten da.

Baliokidetasun klasea

${\mathcal {R}}$ baliokidetasun-erlazioak azpimultzo disjuntuak definitzen ditu $A$ multzoan. $x\in A$ elementua emanik, $x$ -rekin erlazionaturik dauden elementu guztiek honako baliokidetasun-klase hau definitzen dute:

$[x]=\{y\in A\,\mid y{\mathcal {R}}x\}$

Baliokidetasun-erlazio batek sortzen dituen klase kopuruari ordena deritzo; kopurua finitua bada ordena finituko erlazioa izanik.

Partiketa

X-ren partiketa bat X-ren azpimultzo ez-hutsen P multzo bat da; beraz, X-ren elementu bakoitza P-ren elementu bakar baten elementua da. Gainera, P-ren elementuak binaka disjuntoak dira, eta haien lotura X da.

Adibideak

Baliokidetasun erlazioa eta klaseak

$\lbrace a,b,c\rbrace$ multzoan $\lbrace (a,a),(b,b),(c,c),(b,c),(c,b)\rbrace$ erlazioak betetzen badira, erlazioaren baliokidetasun klaseen multzoak honako hauek dira:

$[a]=\{a\},~~~~[b]=[c]=\{b,c\}$

Erlazio honetako baliokidetasun klase guztien multzoa $\{\{a\},\{b,c\}\}$ da.

Baliokidetasun erlazioak

Triangelu guztien multzoan "Antzekoak dira" edo "Kongruentea da".
Zenbaki osoen multzoan "Kongruentea da modulu n".
Funtzio baten eremuko elementuetan "Irudi bera dute".
Zenbaki errealen multzoan "Balio absolutu bera du".
Angelu guztien multzoan "Kosinu bera du".
Berdintza matematikoa.

Erreferentziak

Brown, Ronald, 2006. Topology and Groupoids. Booksurge LLC. ISBN 1-4196-2722-8.
Castellani, E., 2003, "Symmetry and equivalence" in Brading, Katherine, and E. Castellani, eds., Symmetries in Physics: Philosophical Reflections. Cambridge Univ. Press: 422-433.
Robert Dilworth and Crawley, Peter, 1973. Algebraic Theory of Lattices. Prentice Hall. Chpt. 12 discusses how equivalence relations arise in lattice theory.
Higgins, P.J., 1971. Categories and groupoids. Van Nostrand. Downloadable since 2005 as a TAC Reprint.
John Randolph Lucas, 1973. A Treatise on Time and Space. London: Methuen. Section 31.
Rosen, Joseph (2008) Symmetry Rules: How Science and Nature are Founded on Symmetry. Springer-Verlag. Mostly chpts. 9,10.
Raymond Wilder (1965) Introduction to the Foundations of Mathematics 2nd edition, Chapter 2-8: Axioms defining equivalence, pp 48–50, John Wiley & Sons.

Kanpo estekak

Datuak: Q130998
Multimedia: Equivalence relations / Q130998