Determinante

Determinante (matematika)» orritik birbideratua)

Matematikan, determinantea espazio bektorial baten gainean txandakatutako forma multilineal gisa definitzen da. Definizio honek propietate matematiko batzuk adierazten ditu eta matrize baten determinantearen kontzeptua orokortzen du, eremu askotan aplikagarri bihurtuz. Determinantea edo bolumen orientatuaren kontzeptua ekuazio linealen sistemen soluzio-kopurua aztertzeko sartu zen.

Aljebra linealean, determinantea matrize karratu bati esleitutako balioa da. A matrize baten determinantea det(A) edo |A| adierazten da. Matrizearen zutabe- edo errenkada-kopuruari determinantearen ordena deritzo. Determinantea kalkulatzeko, batuketa bat egin behar da: batugai bakoitzean, zutabeen eta errenkaden osagai bana hartu eta biderkatu behar dira; biderkadura bakoitzari zeinu bat, + edo −, egokitzen zaio kontuan hartzen diren osagaien arabera; horrela osatutako biderkadura horiek batu behar dira determinantea lortzeko.

Adibidez, matrizearen determinantea honela idazten da: eta balio hau du: .

Determinanteen historiaAldatu

Determinanteak XVI. mendetik aurrera sortu ziren, hau da, matrizeen aurretik, azken horiek XIX. mendean sortu baitziren. Jiuzhang Suanshu izan zen determinanteen aitzindaria, bera izan baitzen zeroen taula erabiltzen lehena, eta Algoritmo bat aplikatu zuen (gaur egun Gauss-Jordanen eliminazioa izenarekin ezagutzen dugun algoritmoa).

XVIII eta XIX.mendeetako matematikari ospetsuenak determinanteen propietateak garatu zituzten. Historialari gehienek uste dute determinanteen teoria Gottfried Wilhelm Leibnizek sortu zuela.

Determinanteen teoriari buruzko ekarpen oparoenak Augustin-Louis Cauchy matematikari frantzesak egin zituen, izan ere, 1812an 84 orrialdeko memoria bat idatzi zuen, det AB = det A det B formularen lehenengo froga idatzita.

Determinanteen lehenengo kalkuluakAldatu

Determinante batek ekuazio sistema linealen soluzioen bakartasuna biltzen du. Cardanok 2 ordenako kasu baterako erabili zuen 1545ean, Ars Magna obrarako, bi ezezagun eta bi ekuazio dituen sistema bate soluzioa bilatzeko lege bezala.

Ordena handiagoko determinanteak 100 urte baino beranduago heldu ziren. Seki Takakazu japoniarraren eta Leibniz alemaniarraren eskutik heldu ziren horiek.

Leibnizek ekuazio sistema lineal ezberdinak aztertu zituen. Idazkera matriziala falta zenez, ezezagunen koefizienteak indize pareekin errepresentatzen zituen, horregatik ij erabiltzen zuen aij adierazteko. 1678an 3 ezezagun eta 3 ekuaziotako sistemetan interesatu zen, eta ordena hortako formularen zutabe baten gainean egindako garapena lortu zuen. Urte berean 4 ordenako determinante bat idatzi zuen eta zeinua izan zen egindako akats bakarra. Lan hori ez zen argitaratua izan eta emaitzak 50 urte beranduago aurkitu zituzten, era independientean.

Denbora tarte berean Kowa Sekik determinanteei buruzko eskuizkribu bat argitaratu zuen. Bertan, interpretatzen zailak diren formula orokorrak ageri dira. Formula horiek zuzenak dira 3 eta 4 ordenako matrizeentzat, ordena handiagoko matrizeetan zeinuak txarto adierazten dira.

Edozein dimentsiotako determinanteakAldatu

1748an, MacLaurinen aljebraren tratatu batean n ezezaguneko n ekuazio linealek osatzen duten sistemaren soluzioa aurkitzeko legea azaltzen da, n 2,3 edo 4 delarik. Soluzio hori determinanteen erabileraren bidez ematen da. 1750ean, Cramerrek edozein ordenako sistemaren soluzioaren legea adierazi zuen, baina ez zuen frogapenik adierazi.

Bezoutek 1764an argitaratutako artikuluaren ondorioz hainbat matematikari determianteen gaiarekin interesatu ziren. 1772an Laplacek Laplaceren legeak ezarri zituen. Urte bat beranduago, Lagrangek determinanteen eta bolumenen kalkuluen arteko erlazioaz jabetu zen.

Gaussek determinante hitza Disquisitiones arithmeticae liburuan (1801) erabili zuen lehenengoz. Gaur egun koadrika baten desberdintze bezala ezagutzen dugunaren sinonimotzat erabili zuen, eta determinante modernoaren kasu partikular bat da. Hala ere produktu baten determinantearen teorema lortzetik hurbil izan zen.

Determinatearen era modernoaren agerpenaAldatu

Cauchy izan zen determinantearen esanahi modernoa erabiltzen lehena. Aurretik zeuden ezagutzen laburpena egiteaz arduratu zen eta 1812an produktu baten determinantearen formula eta bere frogapena argitaratu zituen, Laplacen legearen enuntziatu eta frogapenarekin batera. Urte berean, Binetek produktu baten determinantea lortzeko beste formula bat (okerra) argitaratu zuen. Garai hartan, Cauchyk endomorfismoaren erredukzioaren inbestigaziorako oinarriak ezarri zituen.

1825ean Heinrich F. Scherkek determinantearen propietate berri batzuk argitaratu zituen. Horietako bat hurrengoa zen: Matrize bateko ilara bat beste ilara baten konbinazio lineala bada, matrize horren heina 0 izango da.

Jacobik famatu egin zuen determinanteen auzia, 1841ean Crelle aldizkarian determinanteei buruzko hiru tratatu argitaratu zituenean. Modu algoritmiko batean oinarritutako kalkulatzeko metodo sistematikoak aurkeztu zituen lehenengo aldiz. Modu berean, funtzioen determinanteen ebaluazioa posible egin zuen definizio jacobiarrari esker, eta horrek determinante kontzeptuaren abstrakzioan garapen handiak ekarri zituen.

Kuadro matriziala Cayley y James Joseph Sylvesterek ezarri zuten. Cayley bera izan zen matrizeen barra bertikalezko notazioaren sortzailea (1841) eta matrizeen alderantzizkoa lortzeko matrizeen bidezko formula ezarri zuen (1858).

Determinanteen teoria simetria partikularren propietateak dituzten determinanteei eta determinanteak matematikako beste arlo batzuetan erabiltzen hasi izateari esker indarberritu zen.

Kalkulu-metodoakAldatu

Edozein ordenatako matrizeen determinantea kalkulatzeko, arau errekurrente bat dago (Laplaceren teorema), kalkulua ordena txikiagoko determinanteen arteko batuketa eta kenketetara murrizten duena. Prozesu hori behar beste aldiz errepika daiteke, problema nahi bezain ordena txikiko determinante anitzen kalkulura murriztu arte. Eskalar baten determinantea eskalar bera dela jakinda, edozein matrizeren determinantea kalkula daiteke teorema hori aplikatuz.

Behe mailako matrizeakAldatu

Beheko mailako matrizeen kasua (1., 2. edo 3. ordena) oso sinplea da, eta determinantea arau ezagun sinpleen bidez kalkulatzen da. Arau horiek Laplaceren teorematik ere ondoriozta daitezke.

Bat ordenako matrize bat, kasu tribiala da, baina kasu guztiak osatzeko tratatuko dugu. Bat ordenako matrize bat eskalar bat bezala trata daiteke, baina hemen bat ordenako matrize karratu bat kontsideratuko dugu:

 

Determinantearen balioa matrizearen termino bakarraren berdina da:

 

Bi ordenako matrize baten determinanteak:

 

formula honen bidez kalkulatzen dira:

 

Hiru ordenako matrizea izanik:

 

Hiru ordenako matrize baten determinantea Sarrusen erregelaren bidez kalkulatzen da:

 

ErreferentziakAldatu

Kanpo estekakAldatu