Aljebra lineal

Aljebra lineala bektoreak, matrizeak, ekuazio linealen sistemak eta espazio bektorialak bezalako kontzeptuak aztertzen dituen matematikaren adar bat da.

Hiru[Betiko hautsitako esteka] plano hauek ekuazio lineal baten soluzioa adierazten dute espazioan, hain zuzen, lerro urdina.

Aljebra lineala funtsezkoa da matematikako ia arlo guztietan. Ingeniaritza zientzietako esparru gehienetan ere erabiltzen da, hainbat fenomeno natural modelatzeko.[1][2][3]

Oinarrizko kontzeptuakAldatu

EragiketakAldatu

Izan bedi    multzo bat. Orduan,   multzoan eragiketa bat,   moduan adierazten dena, ondorengoa betetzen duen arau bat da:  ,  .

TaldeaAldatu

Izan bitez   multzoa eta    -ko eragiketa.   taldea dela esaten da hurrengo hiru baldintzak betetzen direnean:

  1. Propietate elkarkorra betetzen bada, hau da,   .
  2. Elementu neutroa existitzen bada, hau da,   .
  3.   multzoko elementu guztiak alderantzikagarriak badira, hau da,   . Kasu horretan,   -ren alderantzizkoa deitzen zaio.

Gainera, propietate trukakorra betetzen bada, hau da,   , orduan,   talde abeldarra edo talde trukakorra deitzen da.

EraztunaAldatu

Izan bitez   multzoa eta   gaineko bi eragiketa. Orduan,   eraztuna dela esaten da baldin eta ondorengo baldintzak betetzen badira:

  1.   talde abeldarra bada.
  2.   propietate elkarkorra betetzen badu.
  3. Banatze-propietateak betetzen badira, hau da,   eta   .

GorputzaAldatu

Izan bitez   eremu bat (  zenbaki errealen, zenbaki osoen edo zenbaki arrunten multzoa izan ohi da, adibidez) eta   eraztuna. Orduan,   gorputza dela esaten da ondorengo propietateak betetzen badira:

  1.   ez bada tribiala, hau da,   -k elementu bat baino gehiago badu.
  2.   identitateduna eta trukakorra bada.
  3.   multzoko elementu guztiak alderantzikagarriak badira   eragiketarekiko.

Espazio bektorialakAldatu

XIX. mendera arte, aljebra lineala sistema linealen ekuazioekin eta matrizeekin adierazi zen. Matematika modernoan, espazio bektorialen bidezko adierazpena hobesten da orokorrean; izan ere, mota horretako adierazpena sintetikoagoa, orokorragoa eta kontzeptualki adierazteko errazagoa da, nahiz eta abstraktuagoa izan.[4]

Izan bitez   gorputza eta   multzoa. Orduan    -espazio bektoriala dela esaten da baldin eta ondorengo baldintzak betetzen badira:

  1.   -n eragiketa bat definiturik badago,   denotatzen dena, eta   talde abeldarra bada.
  2. Banatze-propietateak betetzen badira bi eragiketekiko:   eta   eta   .
  3. Biderketak propietate elkarkorra betetzen badu:   eta   .
  4. Biderketa eskalarrak elementu neutroa badu:  .

 -ko elementuak bektoreak deitzen dira eta  -koak, aldiz, eskalarrak.

Aplikazio linealakAldatu

Aplikazio linealak bektore-espazio egitura gordetzen duten espazio bektorialen arteko aplikazioak dira. Izan bitez   eta   bi  -espazio bektorial, orduan   aplikazio lineal bat izango da ondorengoa betetzen badu:     eta  . Horrek ondorengoa inplikatzen du:  .

Aplikazio lineal baten nukleoa   moduan adierazten da, eta ondorengo multzoa da:  .

Aplikazio berdinaren irudia   edo   moduan adierazten da, eta ondorengo multzoa da:  .

Aplikazio bat injektiboa izango da, baldin eta soilik baldin,   bada, eta supraiektiboa da baldin eta  .

Kontzeptu horiekin isomorfismoak definitu ditzakegu:   aplikazio lineala isomorfismoa dela esaten da baldin eta   bijektiboa bada, hau da, injektiboa eta supraiektiboa.   deneko kasuan, isomorfismoari automorfismo deritzo.

Azpiespazioak eta oinarriakAldatu

   -espazio bektorial baten azpiespazio lineala  -ren azpimultzo bat da,   deituko duguna, ondorengoa betetzen badu:   eta  ,   eta  .   ere  -espazio bektoriala da.

 -ren bi azpiespazioen batura honela definitzen da:  . Batura hori zuzena dela esaten da   bada, eta kasu horretan   denotatuko litzateke.

Espazio bektorialak adierazteko, eta horiei buruzko informazioa barneratzeko, oinarriak ezinbestekoak dira. Oinarri bateko elementuekin espazio lineal baten elementu guztiak adieraz ditzakegu horien konbinazio linealen bidez, hau da,   bektoreek   espazio bektorialaren oinarria osatzen badute, edozein   bektore   moduan idatz daiteke,   eskalarrak izanik. Baina     azpiespazioaren oinarria izango da baldin eta ondorengo baldintzak betetzen baditu:

  1.     -ren sistema sortzailea bada, hau da,  -ko edozein bektore   bektoreen konbinazio lineal moduan adieraz badaiteke. Kasu horretan   multzoari   deritzo, eta   idazten da.
  2.   sistema askea bada, hau da,   izateak   direla inplikatzen du.

  espazio bektorial baten sistema sortzailea (  denotatzen dena) finitua bada, orduan   finituki sortua dela esaten da, eta  -k sortzen duen oinarriaren kardinalari  -ren dimentsioa deritzo.

MatrizeakAldatu

Matrizeek dimentsio finituetako espazio bektorialak eta aplikazio linealak modu esplizituan manipulatzea ahalbidetzen dute. Gainera, aljebra linealean funtsezkoak dira. Matrizeak isomorfismo batean parte hartzen duten bi espazioen arteko oinarri batetik bestera pasatzeko erabiltzen dira gehien.

Izan bitez   dimentsioko  -espazio bektoriala eta    -ren oinarri bat. Oinarriaren definizioagatik

 

 

aplikazioa   espaziotik   espaziorako bijekzio bat da.  Isomorfismo horrekin bektore bat bere aurreirudiaren bidez adieraz dezakegu, hau da,   koordenatuen bidez.

Orain, izan bitez   dimentsioko  -espazio bektoriala eta    -ren oinarri bat, orduan ondorengo aplikazioa,  ,  -ren oinarriko elementuen gainean ondo definiturik dago, hau da,   non     balioetarako. Beraz,     matrizearekin adieraz dezakegu.

Matrizeen biderkadurak bi aplikazioren arteko konposizio matrizea ematen du.

Sistema linealakAldatu

Ekuazio linealetako sistema bat   ekuazio eta   ezezagunekin egindako sistema da. Matrizeak bezala, aljebra linealean funtsezkoak dira. Historikoki, aljebra lineala eta matrizeen teoria sistema ezberdinei soluzioak emateko garatuak izan dira. Gaur egungo aljebra linealean, problema ezberdinak espazio bektorialen eta matrizeen bitartez interpreta daitezke, ekuazio linealetako sistema bezala.[5][6][7][8][9]

Orokorrean ekuazio linealetako sistemak honela idazten dira:

  non  .

Ekuazio linealetako sistemak matrizialki adieraz daitezke, eta   bezala denotatuko lirateke, non:

  sistemaren matrizea den.

  gai askeen matrizea den.

  ezezagunen matrizea den.

  sistemaren matrize hedatua den.

Izan bedi   ekuazio linealetako sistema bat.   matrizea sistemaren soluzioa dela esaten da baldin eta   betetzen bada.

  soluziorik ez badu sistema bateraezina deitzen da; eta beste kasuan bateragarria. Azkenengo kasuan:

  1. Sistemak soluzio bakarra badu, bateragarri determinatua deitzen da.
  2. Sistemak soluzio bat baino gehiago badu, bateragarri indeterminatua dela esaten dugu.

AdibideaAldatu

Izan bitez ondorengo sistema lineala:

 

Lehenengo eta behin, har dezagun sistemaren matrizea:

 

eta gai askeen matrizea:

 

Deitu diezaiogun   ezezagunen matrizea non   den.

Orain, ezabaketa gaussiarra erabiliko dugu. Metodo hau errenkaden arteko eragiketetan oinarrituta dago, beraz, eragiketa hauek ez dute sistemaren soluzioa aldatzen.

 

Beraz, sistema honen soluzio bakarra   da, hots, sistema hau sistema bateragarri determinatua da.

ErreferentziakAldatu

  1. Banerjee, Sudipto,. Linear algebra and matrix analysis for statistics. ISBN 978-1-4200-9538-8. PMC 875055780. Noiz kontsultatua: 2020-11-15.
  2. Strang, Gilbert.. Linear algebra and its applications. (4th ed. argitaraldia) ISBN 0-03-010567-6. PMC 61231077. Noiz kontsultatua: 2020-11-15.
  3. Weisstein, Eric. (2007-08-07). «Making MathWorld» The Mathematica Journal 10 (3) doi:10.3888/tmj.10.3-3. ISSN 1097-1610. Noiz kontsultatua: 2020-11-15.
  4. Roman, Steven.. (2005). Advanced linear algebra. (2nd ed. argitaraldia) Springer ISBN 978-0-387-27474-4. PMC 262679871. Noiz kontsultatua: 2020-11-15.
  5. Anton, Howard.. (1987). Elementary linear algebra. (5th ed. argitaraldia) Wiley ISBN 0-471-84819-0. PMC 13580207. Noiz kontsultatua: 2020-11-15.
  6. Beauregard, Raymond A.. ([1973]). A first course in linear algebra; with optional introduction to groups, rings, and fields. Houghton Mifflin ISBN 0-395-14017-X. PMC 600254. Noiz kontsultatua: 2020-11-15.
  7. Burden, Richard L.,. Numerical analysis. (Fifth edition. argitaraldia) ISBN 0-534-93219-3. PMC 26546859. Noiz kontsultatua: 2020-11-15.
  8. Golub, Gene H. (Gene Howard), 1932-2007.. (1996). Matrix computations. (3rd ed. argitaraldia) Johns Hopkins University Press ISBN 0-8018-5413-X. PMC 34515797. Noiz kontsultatua: 2020-11-15.
  9. Harper, Charlie, 1931-. (1976). Introduction to mathematical physics. Prentice-Hall ISBN 0-13-487538-9. PMC 1622343. Noiz kontsultatua: 2020-11-15.

Kanpo estekakAldatu