Aljebra lineala kontzeptuak aztertzen dituen matematikaren adar bat da, hala nola bektoreak, matrizeak, ekuazio linealen sistemak eta espazio bektorialak.

Hiru[Betiko hautsitako esteka] plano hauek ekuazio lineal baten soluzioa adierazten dute espazioan, hain zuzen, lerro urdina.

Beste era batera esanda, aljebra lineala ekuazio linealez arduratzen den matematikaren adarra da, hala nola:

eta aplikazio linealak, hala nola:

eta espazio bektorialetako eta matrizeen bidezko irudikapenak[1][2][3].​​

Aljebra lineala funtsezkoa da matematikaren ia arlo guztietan. Adibidez, aljebra lineala funtsezkoa da geometriaren aurkezpen modernoetan, baita oinarrizko objektuak definitzeko ere, hala nola lerroak, planoak eta biraketak. Gainera, analisi funtzionala, analisi matematikoaren adar bat, aljebra lineala funtzio-espazioetan aplikatzearen parekotzat har daiteke. Ingeniaritza zientzietako esparru gehienetan ere erabiltzen da hainbat fenomeno natural modelatzeko[4][5][6].

Aljebra lineala ingeniaritzaren zientzia eta arlo gehienetan ere erabiltzen da, fenomeno natural asko modelatzeko aukera ematen duelako eta eredu horiekin modu eraginkorrean konputatzeko aukera ematen duelako. Sistema ez-linealetarako, aljebra linealaren bidez modelatu ezin direnetarako, lehen mailako hurbilketak tratatzeko erabiltzen da askotan, puntu bateko «aldagai anitzeko funtzio» baten diferentziala puntu horretatik hurbil funtzioa ongien hurbiltzen duen mapa lineala dela erabiliz, baita analisi funtzionala, ekuazio diferentzialak, eragiketen ikerketa, ordenagailu bidezko grafikoak eta ingeniaritza ere, besteak beste.

Aljebra lineal modernoaren historia 1843an hasten da, William Rowan Hamiltonek (zeinengandik bektore terminoaren erabilera datorren) koaternioiak zenbaki konplexuetan oinarrituta sortu zituenean[7] eta, 1844an, Hermann Grassmannek Die lineare Ausdehnungslehre (Hedapenaren teoria lineala) liburua argitaratu zuenean[8].

Historia

aldatu

Aldi bereko ekuazio linealak ebazteko prozedura, orain ezabatze gaussiar deritzona Txinako testu matematiko zaharrean agertzen da. Matematika-artearen bederatzi kapituluak liburuaren zortzigarren atala: 方程 Fangcheng («matrize laukizuzenak: Ekuazio linealen sistemak»). Haren erabilera hemezortzi problematan erakusten da, bitik bost ekuaziotara[9].

Ekuazio linealetako sistemak Europan sortu ziren René Descartesek 1637an geometriako koordenatuak sartu zituenean. Izan ere, geometria berri horretan, orain geometria cartesiar deitua, lerroak eta planoak ekuazio linealen bidez adierazita daude, eta haien arteko ebakidurak kalkulatzea ekuazio-sistema linealak ebaztearen baliokidea da.

Sistema linealak ebazteko lehenengo metodo sistematikoek determinanteak erabiltzen zituzten; Leibnizek, lehen aldiz, 1693an erabili zituen. 1750ean, Gabriel Cramer-ek sistema linealen soluzio esplizituak emateko erabili zituen, orain Cramerren erregela deitzen dena. Geroago, Gauss-ek are gehiago deskribatu zuen ezabatze-metodoa, hasieran, geodesian egindako aurrerapentzat hartu zena[10].

1844an, Hermann Grassmann-ek bere Die lineale Ausdehnungslehre (Hedaduraren Teoria) argitaratu zuen, gaur egun aljebra lineala deitzen denaren sorrerako gai berriak jasotzen zituena. 1848an, James Joseph Sylvester-ek matrize terminoa sartu zuen, sabel esan nahi duena latinez.

Aljebra lineala plano konplexuan idatzitako ideiekin hazi zen. Adibidez, bi zenbaki, w eta z ℂ-n diferentzia bat dute, w - z, eta   eta   lerro-segmentuek luzera eta norabide bera dute. Segmentuak ekipolenteak dira.Koaternioien lau dimentsioko ℍ sistema 1843an hasi zen garatzen. Bektore terminoa honela sartu zen: v = x i + y j + z k, espazioan puntu bat irudikatuz. p - q koaternioien diferentziak ere  -rekiko segmentu ekipolente bat sortzen du. Beste zenbaki-sistema hiperkonplexu batzuek ere oinarri bat duen espazio lineal baten ideia erabili zuten.

Arthur Cayleyk matrize-biderketa eta alderantzizko matrizea sartu zituen 1856an, multzo lineal orokorra posible eginez. Talde-ordezkaritza mekanismoa irudikatzeko erabilgarri egin zen zenbaki konplexuak eta hiperkonplexuak deskribatzeko. Funtsean, Cayleyk letra bakarra erabili zuen matrize bat adierazteko, horrela matrize bat objektu agregatu gisa tratatuz. Halaber, konturatu zen matrizeen eta determinanteen arteko loturaz, eta hau idatzi zuen: «Matrizeen teoria horri buruz gauza asko esan beharko lirateke, zeinak, nire ustez, determinatzaileen teoriaren aurretik joan beharko luketen»[10].

Benjamin Peircek Linear Associative Algebra (Aljebra lineal asoziatiboa) (1872) argitaratu zuen, eta bere seme Charles Sanders Peircek lana handiagotu zuen gerora[11].

Telegrafoak azalpen-sistema bat behar zuen, eta, 1873an, A Treatise on Electricity and Magnetism argitaratu izanak indar-eremuen teoria bat eratu zuen, eta geometria diferentziala behar izan zuen hura adierazteko. Aljebra lineala geometria diferentzial laua da, eta kolektoreen ukitzaile diren espazioetan balio du. Espazio/denborako simetria elektromagnetikoak Lorentz-en transformazioen bidez adierazten dira, eta algebra linealaren historiaren zati handi bat Lorentzen transformazioen historia da.

Bektore-espazioaren lehen definizio moderno eta zehatzagoa Peanok sartu zuen 1888an[10];​ 1900ean, dimentsio finituko bektore-espazioen transformazio linealen teoria bat sortu zen. Aljebra linealak bere forma modernoa hartu zuen XX. mendearen lehen erdian, aurreko mendeetako ideia eta metodo asko aljebra abstraktu gisa orokortu zirenean. Ordenagailuen garapenari esker, algoritmo eraginkorren ikerketa areagotu zen gaussiarren ezabapenerako eta matrize-deskonposizioetarako, eta aljebra lineala funtsezko tresna bihurtu zen modelizaziorako eta simulazioetarako[10].

Testuinguru orokorra

aldatu

Modu formalagoan, aljebra linealak bektore-espazio izeneko multzoak aztertzen ditu. Horiek bektore multzo batez eta eremu-egitura duen eskala-multzo batez osatuta daude, bektoreen batuketaren eragiketa batekin eta beste bat eskalarren eta bektoreen arteko biderketaren eragiketarekin, zenbait propietate betetzen dituztenak (adibidez, batura kommutatiboa dela).

Transformazio linealak ere aztertzen ditu, linealtasun-baldintzak betetzen dituzten bektore-espazioen arteko funtzioak direnak:

 

Aurreko atalean garatutako adibidean ez bezala, bektoreak ez dira nahitaez eskalarren n-ak, baizik eta edozein multzotako elementuak izan daitezke (izan ere, edozein multzotatik abiatuta bektore-espazio bat eraiki daiteke eremu finko baten gainean).

Azkenik, aljebra linealak bektore-espazioei egitura gehigarria ezartzen zaienean agertzen diren propietateak ere aztertzen ditu, Ohikoenetako bat da barne-produktu bat izatea (bi bektoreren arteko biderkadura moduko bat), eta, haren bidez, nozioak sar daitezke, hala nola bektoreen luzera eta bektore-pare baten arteko angelua.

Oinarrizko kontzeptuak

aldatu

Eragiketak

aldatu

Izan bedi    multzo bat. Orduan,   multzoan eragiketa bat,   moduan adierazten dena, ondorengoa betetzen duen arau bat da:  ,  .

Taldea

aldatu

Izan bitez   multzoa eta    -ko eragiketa.   taldea dela esaten da hurrengo hiru baldintzak betetzen direnean:

  1. Propietate elkarkorra betetzen bada, hau da,   .
  2. Elementu neutroa existitzen bada, hau da,   .
  3.   multzoko elementu guztiak alderantzikagarriak badira, hau da,   . Kasu horretan,   -ren alderantzizkoa deitzen zaio.

Gainera, propietate trukakorra betetzen bada, hau da,   , orduan,   talde abeldarra edo talde trukakorra deitzen da.

Eraztuna

aldatu

Izan bitez   multzoa eta   gaineko bi eragiketa. Orduan,   eraztuna dela esaten da baldin eta ondorengo baldintzak betetzen badira:

  1.   talde abeldarra bada.
  2.   propietate elkarkorra betetzen badu.
  3. Banatze-propietateak betetzen badira, hau da,   eta   .

Gorputza

aldatu

Izan bitez   eremu bat (  zenbaki errealen, zenbaki osoen edo zenbaki arrunten multzoa izan ohi da, adibidez) eta   eraztuna. Orduan,   gorputza dela esaten da ondorengo propietateak betetzen badira:

  1.   ez bada tribiala, hau da,   -k elementu bat baino gehiago badu.
  2.   identitateduna eta trukakorra bada.
  3.   multzoko elementu guztiak alderantzikagarriak badira   eragiketarekiko.

Espazio bektorialak

aldatu

XIX. mendera arte, aljebra lineala sistema linealen ekuazioekin eta matrizeekin adierazi zen. Matematika modernoan, espazio bektorialen bidezko adierazpena hobesten da orokorrean; izan ere, mota horretako adierazpena sintetikoagoa, orokorragoa eta kontzeptualki adierazteko errazagoa da, nahiz eta abstraktuagoa izan.[12]

Izan bitez   gorputza eta   multzoa. Orduan    -espazio bektoriala dela esaten da baldin eta ondorengo baldintzak betetzen badira:

  1.   -n eragiketa bat definiturik badago,   denotatzen dena, eta   talde abeldarra bada.
  2. Banatze-propietateak betetzen badira bi eragiketekiko:   eta   eta   .
  3. Biderketak propietate elkarkorra betetzen badu:   eta   .
  4. Biderketa eskalarrak elementu neutroa badu:  .

 -ko elementuak bektoreak deitzen dira eta  -koak, aldiz, eskalarrak.

Aplikazio linealak

aldatu

Aplikazio linealak bektore-espazio egitura gordetzen duten espazio bektorialen arteko aplikazioak dira. Izan bitez   eta   bi  -espazio bektorial, orduan   aplikazio lineal bat izango da ondorengoa betetzen badu:     eta  . Horrek ondorengoa inplikatzen du:  .

Aplikazio lineal baten nukleoa   moduan adierazten da, eta ondorengo multzoa da:  .

Aplikazio berdinaren irudia   edo   moduan adierazten da, eta ondorengo multzoa da:  .

Aplikazio bat injektiboa izango da, baldin eta soilik baldin,   bada, eta supraiektiboa da baldin eta  .

Kontzeptu horiekin isomorfismoak definitu ditzakegu:   aplikazio lineala isomorfismoa dela esaten da baldin eta   bijektiboa bada, hau da, injektiboa eta supraiektiboa.   deneko kasuan, isomorfismoari automorfismo deritzo.

Azpiespazioak eta oinarriak

aldatu

   -espazio bektorial baten azpiespazio lineala  -ren azpimultzo bat da,   deituko duguna, ondorengoa betetzen badu:   eta  ,   eta  .   ere  -espazio bektoriala da.

 -ren bi azpiespazioen batura honela definitzen da:  . Batura hori zuzena dela esaten da   bada, eta kasu horretan   denotatuko litzateke.

Espazio bektorialak adierazteko, eta horiei buruzko informazioa barneratzeko, oinarriak ezinbestekoak dira. Oinarri bateko elementuekin espazio lineal baten elementu guztiak adieraz ditzakegu horien konbinazio linealen bidez, hau da,   bektoreek   espazio bektorialaren oinarria osatzen badute, edozein   bektore   moduan idatz daiteke,   eskalarrak izanik. Baina     azpiespazioaren oinarria izango da baldin eta ondorengo baldintzak betetzen baditu:

  1.     -ren sistema sortzailea bada, hau da,  -ko edozein bektore   bektoreen konbinazio lineal moduan adieraz badaiteke. Kasu horretan   multzoari   deritzo, eta   idazten da.
  2.   sistema askea bada, hau da,   izateak   direla inplikatzen du.

  espazio bektorial baten sistema sortzailea (  denotatzen dena) finitua bada, orduan   finituki sortua dela esaten da, eta  -k sortzen duen oinarriaren kardinalari  -ren dimentsioa deritzo.

Matrizeak

aldatu

Matrizeek dimentsio finituetako espazio bektorialak eta aplikazio linealak modu esplizituan manipulatzea ahalbidetzen dute. Gainera, aljebra linealean funtsezkoak dira. Matrizeak isomorfismo batean parte hartzen duten bi espazioen arteko oinarri batetik bestera pasatzeko erabiltzen dira gehien.

Izan bitez   dimentsioko  -espazio bektoriala eta    -ren oinarri bat. Oinarriaren definizioagatik

 

 

aplikazioa   espaziotik   espaziorako bijekzio bat da.  Isomorfismo horrekin bektore bat bere aurreirudiaren bidez adieraz dezakegu, hau da,   koordenatuen bidez.

Orain, izan bitez   dimentsioko  -espazio bektoriala eta    -ren oinarri bat, orduan ondorengo aplikazioa,  ,  -ren oinarriko elementuen gainean ondo definiturik dago, hau da,   non     balioetarako. Beraz,     matrizearekin adieraz dezakegu.

Matrizeen biderkadurak bi aplikazioren arteko konposizio matrizea ematen du.

Sistema linealak

aldatu

Ekuazio linealetako sistema bat   ekuazio eta   ezezagunekin egindako sistema da. Matrizeak bezala, aljebra linealean funtsezkoak dira. Historikoki, aljebra lineala eta matrizeen teoria sistema ezberdinei soluzioak emateko garatuak izan dira. Gaur egungo aljebra linealean, problema ezberdinak espazio bektorialen eta matrizeen bitartez interpreta daitezke, ekuazio linealetako sistema bezala.[13][14][15][16][17]

Orokorrean ekuazio linealetako sistemak honela idazten dira:

  non  .

Ekuazio linealetako sistemak matrizialki adieraz daitezke, eta   bezala denotatuko lirateke, non:

  sistemaren matrizea den.

  gai askeen matrizea den.

  ezezagunen matrizea den.

  sistemaren matrize hedatua den.

Izan bedi   ekuazio linealetako sistema bat.   matrizea sistemaren soluzioa dela esaten da baldin eta   betetzen bada.

  soluziorik ez badu sistema bateraezina deitzen da; eta beste kasuan bateragarria. Azkenengo kasuan:

  1. Sistemak soluzio bakarra badu, bateragarri determinatua deitzen da.
  2. Sistemak soluzio bat baino gehiago badu, bateragarri indeterminatua dela esaten dugu.

Adibidea

aldatu

Izan bitez ondorengo sistema lineala:

 

Lehenengo eta behin, har dezagun sistemaren matrizea:

 

eta gai askeen matrizea:

 

Deitu diezaiogun   ezezagunen matrizea non   den.

Orain, ezabaketa gaussiarra erabiliko dugu. Metodo hau errenkaden arteko eragiketetan oinarrituta dago, beraz, eragiketa hauek ez dute sistemaren soluzioa aldatzen.

 

Beraz, sistema honen soluzio bakarra   da, hots, sistema hau sistema bateragarri determinatua da.

Orokortasuna eta lotutako gaiak

aldatu

Aljebra lineala oso teoria arrakastatsua denez, matematikaren beste arlo batzuetan ere ugaritu dira haren metodoak: moduluen teorian, eskalarretan gorputza eraztun batez ordezten duena; aljebra multilinealean, batek aldagai askorekin borrokatzen du mapatze linealeko problema batean, non aldagai kopuru bakoitza tentsore kontzeptura zuzentzen den, eta baita programazioaren esparruan ere[18], bada, gaur egun, web-orrien indexazioa aljebra linealeko metodoetan oinarritzen baita; dimentsio infinituko matrizeak kontrolatzeko eragileen espektroaren teorian, erabat aljebraikoa ez den teoria batean analisi matematikoa aplikatuz. Kasu horietan guztietan, zailtasun teknikoak askoz handiagoak dira.

Geometriarekin duen harremana

aldatu

Harreman handia dago aljebra linealaren eta geometriaren artean, René Descartesek 1637an koordenatu cartesiarrak sartu zituenean hasi zena. Geometria berri horretan (une horretakoa), orain geometria cartesiar deritzonean, puntuak koordenatu cartesiarren bidez adierazten dira, hiru zenbaki errealen sekuentziak direnak (ohiko Hiru dimentsioko espazioaren kasuan). Geometriaren oinarrizko objektuak, hau da, lerroak eta planoak, ekuazio linealen bidez adierazten dira. Beraz, lerroen eta planoen ebakidurak kalkulatzea, ekuazio linealen sistemak ebaztearen baliokidea da. Hori izan zen aljebra lineala garatzeko motibazio nagusietako bat.

Transformazio geometriko gehienek, hala nola translazioek, errotazioek, islapenek, mugimendu zurrunek, isometriek eta proiekzioek, lerroak lerro bihurtzen dituzte. Hortik ondorioztatzen da mapa linealen arabera definitu, zehaztu eta azter daitezkeela. Hori da homografien eta Möbius-en eraldaketen kasua ere, espazio proiektibo baten eraldaketatzat hartzen direnean.

XIX. mendearen amaiera arte, espazio geometrikoak definitzen ziren puntuak, lerroak eta planoak erlazionatzen zituzten axiomen bidez (geometria sintetikoa). Data horren inguruan agertu zen espazio geometrikoak espazio bektorialak dituzten eraikuntzen bidez ere defini daitezkeela. Frogatu da bi ikuspegiak funtsean baliokideak direla[19]. Geometria klasikoan, parte hartzen duten bektore-espazioak errealen gainean dauden espazio bektorialak dira, baina eraikuntzak edozein eremutako bektore-espazioetara heda daitezke, horrela geometria eremu arbitrarioetan kontuan hartzea ahalbidetuz, eremu finituak barne hartuz.

Gaur egun, testuliburu gehienek aljebra linealetik sartzen dituzte espazio geometrikoak, eta geometria, maiz, oinarrizko mailan aurkezten da, aljebra linealaren azpieremu gisa.

Erabilera eta aplikazioak

aldatu

Aljebra lineala matematikaren ia arlo guztietan erabiltzen da; beraz, garrantzitsua da matematika erabiltzen duten ia eremu zientifiko guztietan. Aplikazio horiek hainbat kategoria zabaletan bana daitezke.

Ingurumen-espazioaren geometria

aldatu

Ingurumen-espazioaren eredua geometrian oinarritzen da. Espazio horretaz arduratzen diren zientziek asko erabiltzen dute geometria. Mekanika eta robotikaren kasuan, gorputz zurrunen dinamika deskribatzeko; geodesian, Lurraren forma deskribatzeko; perspektiba, ikusmen artifiziala eta ordenagailu bidezko grafikoetan, eszena baten eta planoan duen irudikapenaren arteko erlazioa deskribatzeko, eta beste jakintza-arlo asko.

Aplikazio horietan guztietan, geometria sintetikoa deskribapen orokorretarako eta ikuspegi kualitatibo baterako erabili ohi da, baina, egoera esplizituak aztertzeko, koordenatuen bidez kalkulatu behar da. Horrek aljebra linealaren erabilera intentsiboa eskatzen du.

Analisi funtzionala

aldatu

Analisi funtzionalak funtzio-espazioak aztertzen ditu. Horiek egitura gehigarria duten espazio bektorialak dira, hala nola Hilbert-en espazioak. Aljebra lineala, beraz, azterketa funtzionalaren eta haren aplikazioen funtsezko zatia da, bereziki mekanika kuantikoa barne hartzen dutenak (uhin-funtzioa).

Sistema konplexuen azterketa

aldatu

Fenomeno fisiko gehienak ekuazio diferentzial partzialen bidez modelatzen dira. Horiek ebazteko, espazioa deskonposatzen da non ebazpenak elkarri eragiten dioten zelula txikietan bilatzen diren. Sistema linealetan, elkarrekintza horrek funtzio lineala inplikatzen du. Sistema ez-linealetan, elkarrekintza hori funtzio linealen bidez hurbildu ohi da[20].​ Bi kasuetan, matrize oso handiek hartzen dute parte. Ohiko adibide bat da eguraldiaren iragarpena, non Lurraren atmosfera osoa gelaxkatan banatzen den, adibidez, 100 km zabal eta 100 m altu dutenak.

Kalkulu zientifikoa

aldatu

Ia kalkulu zientifiko guztiek aljebra lineala inplikatzen dute. Ondorioz, aljebra linealeko algoritmoak oso optimizatuak izan dira. BLAS (Aljebra linealeko oinarrizko azpiprogramak) eta LAPACK (Aljebra linealeko paketea) dira ezarpen ezagunenak. Eraginkortasuna hobetzeko, horietako batzuek automatikoki konfiguratzen dituzte algoritmoak exekuzio-denboran, ordenagailuaren berezitasunetara egokitzeko. (Catxearen tamaina, erabilgarri dauden nukleoak...).

Prozesadore batzuk (normalean Grafikoak prozesatzeko unitatea edo GPU, aljebra linealeko eragiketak optimizatzeko, matrize-egitura batekin diseinatuta daude.

Erreferentziak

aldatu
  1. Banerjee, Sudipto; Roy, Anindya. (2014). Linear Algebra and Matrix Analysis for Statistics. (1st. argitaraldia) Chapman and Hall/CRC ISBN 978-1420095388..
  2. Strang, Gilbert. (2005-07-19). Linear Algebra and Its Applications. (4.. argitaraldia) Brooks Cole ISBN 978-0-03-010567-8..
  3. Weisstein, Eric. «Linear Algebra» From MathWorld--A Wolfram Web Resource. (Wolfram) (kontsulta data: 2012-04-16).
  4. Banerjee, Sudipto,. Linear algebra and matrix analysis for statistics. ISBN 978-1-4200-9538-8. PMC 875055780. (kontsulta data: 2020-11-15).
  5. Strang, Gilbert.. Linear algebra and its applications. (4. ed.. argitaraldia) ISBN 0-03-010567-6. PMC 61231077. (kontsulta data: 2020-11-15).
  6. Weisstein, Eric. (2007-08-07). «Making MathWorld» The Mathematica Journal 10 (3)  doi:10.3888/tmj.10.3-3. ISSN 1097-1610. (kontsulta data: 2020-11-15).
  7. (Gaztelaniaz) Vázquez, Gutiérrez. «Hamilton: La liberación del álgebra» revistasuma.es (kontsulta data: 22 de enero de 2019).
  8. Hermann Graßmann: Un poli-matemático extraodinario.. .
  9. Hart, Roger. (2010). Las raíces chinas del álgebra lineal. JHU Press ISBN 9780801899584..
  10. a b c d Vitulli, Marie. uoregon.edu/~vitulli/441.sp04/LinAlgHistory.html Una breve historia del álgebra lineal y de la teoría matricial. uoregon.edu/~vitulli/441.sp04/LinAlgHistory.html jatorrizkotik artxibatua (artxibatze data: 2012-09-10) (kontsulta data: 2014-07-08).
  11. Benjamin Peirce (1872) Álgebra asociativa lineal, litografía, nueva edición con correcciones, notas y un trabajo añadido de 1875 de Peirce, más notas de su hijo Charles Sanders Peirce, publicado en el American Journal of Mathematics v. 4, 1881, Universidad Johns Hopkins, pp. 221-226, Google Eprint y como extracto, D. Van Nostrand, 1882, Google Eprint.
  12. Roman, Steven.. (2005). Advanced linear algebra. (2. ed.. argitaraldia) Springer ISBN 978-0-387-27474-4. PMC 262679871. (kontsulta data: 2020-11-15).
  13. Anton, Howard.. (1987). Elementary linear algebra. (5. ed.. argitaraldia) Wiley ISBN 0-471-84819-0. PMC 13580207. (kontsulta data: 2020-11-15).
  14. Beauregard, Raymond A.. ([1973]). A first course in linear algebra; with optional introduction to groups, rings, and fields. Houghton Mifflin ISBN 0-395-14017-X. PMC 600254. (kontsulta data: 2020-11-15).
  15. Burden, Richard L.,. Numerical analysis. (1. ed.. argitaraldia) ISBN 0-534-93219-3. PMC 26546859. (kontsulta data: 2020-11-15).
  16. Golub, Gene H. (Gene Howard), 1932-2007.. (1996). Matrix computations. (3. ed.. argitaraldia) Johns Hopkins University Press ISBN 0-8018-5413-X. PMC 34515797. (kontsulta data: 2020-11-15).
  17. Harper, Charlie, 1931-. (1976). Introduction to mathematical physics. Prentice-Hall ISBN 0-13-487538-9. PMC 1622343. (kontsulta data: 2020-11-15).
  18. «SIAM (Society for Industrial and Applied Mathematics)» epubs.siam.org  doi:10.1137/050623280. (kontsulta data: 2019-01-22).
  19. Emil Artin (1957) Álgebra Geométrica Interscience Publishers
  20. Horren ondorioz, fisikoki interesgarriak diren irtenbide batzuk alde batera utz daitezke.

Bibliografía

aldatu

Historia

aldatu
  • Fearnley-Sander, Desmond, "Hermann Grassmann and the Creation of Linear Algebra", American Mathematical Monthly 86 (1979), pp. 809–817.
  • Grassmann, Hermann. (1844). Die lineale Ausdehnungslehre ein neuer Zweig der Mathematik: dargestellt und durch Anwendungen auf die übrigen Zweige der Mathematik, wie auch auf die Statik, Mechanik, die Lehre vom Magnetismus und die Krystallonomie erläutert. Leipzig: O. Wigand.

Sarrerako testuliburuak

aldatu

Testuliburu aurreratuak

aldatu

Kanpo estekak

aldatu
Wikimedia Commonsen badira fitxategi gehiago, gai hau dutenak: Aljebra lineal