Aplikazio lineal

Oro har, bektore-espazio batetik beste baterako funtzioa, L: V → W, non, V eta W izanik bi bektore-espazioak, bi baldintza hauek betetzen diren: 1. L(v1 + v2) = L(v1) + L(v2) izatea, V bektore-espazioko v1 eta v2 bektore guztietarako; eta 2.

Matematiketan aplikazio lineala bi bektore-espazioren arteko aplikazio bat da, zeinak bektoreen arteko batuketa eta bektore eta eskalar baten arteko biderketa operazioak mantentzen baititu.

Aljebra abstraktuan eta aljebra linealean aplikazio lineal bat homomorfismoa da bektore-espazioen artean, edo kategorietako teoriako terminoetan, morfismo bat bektore-espazioen kategorian emandako gorputz baten gainetik.

DefinizioaAldatu

Aplikazio lineal,  funtzio lineal edo transformazio lineal esaten zaio dominio eta kodominio moduan bektore-espazioak dituen eta hurrengo baldintza betetzen duen edozein   aplikaziori:

Bitez   gorputzaren gainean eraikitako  eta   bektore-espazioak.   aplikazio lineala izanen da baldin eta edozein bi bektorendako   eta edozein eskalarrendako   ondokoa betetzen bada:
  1.  
  2.  .

Bi berdintza hauek betetzeari "gainjartze printzipioa" deritzo eta hurrengo berdintzaren bidez adieraz daiteke:

  •  .

AdibideakAldatu

  1. Identitate aplikazioa aplikazio lineala da edozein bektore-espazioren gainean:
     
  2. Homoteziak  -dimentsioko   gorputzean ere aplikazio linealak dira, non   handitze ( ) edo txikitze ( ) konstantea baita:
     
    Demostrazioa: bitez  . Orduan  .

Irudia eta nukleoaAldatu

IrudiaAldatu

Izan bitez   gorputzaren gaineko   espazio bektorialak.   aplikazio lineala definituz, orduan,   multzoari aplikazioaren irudia deritzo definizioz, eta   ere adierazten da. Multzo hau  -ren azpimultzoa da, are gehiago,    -ren azpiespazio bektoriala izango da.

Aplikazio lineal bat supraiektiboa izango da baldin eta soilik baldin,   bada.

NukleoaAldatu

  hartuz, bere nukleoa (  adierazia) honako hau izango da:

 

Hau da, aplikazio lineal baten nukleoa eremuren azpimultzo bat da, zeinaren elementuen irudia koeremuko 0-a den. Gainera,    -ren azpiespazio bektoriala da ere.

Bestalde, aplikazio lineal bat injektiboa izango da baldin eta soilik baldin   bada.

Aplikazio linealen oinarrizko teoremaAldatu

Izan bedi   aplikazio lineala. Orduan,   berdintza betetzen da.

Aplikazio linealen eraikuntzaAldatu

  eta   linealak badira,   ere lineala izango da ( ).

  lineala bada eta a K gorputzeko elementu bat bada, orduan,   ere lineala izango da.

Bi propietate horiei esker, eta dena elementu nulura bidaltzen duen funtzioa aplikazio lineala denez,   transformazio linealen multzoak V-ren funtzioen azpiespazio bat eratzen du W-n. Azpieremu horri L(V,W) esaten zaio.

  eta   linealak badira, orduan haien konposizio gf: VZ ere lineala izango da.

V espazio bektoriala emanda, L(V,V) espazio bektorialak, eskuarki End(V) gisa hautematen denak, aljebra asoziatibo bat eratzen du oinarrizko gorputzaren gainean, non biderketa konposizioa baita eta unitatea identitatearen eraldaketa baita.

  transformazio lineal bijektiboa bada, alderantzizkoa ere lineala izango da.

Transformazio linealen sailkapenaAldatu

  • Funtzional lineala:   transformazio linealei (non   den V-ren oinarrizko gorputza) funtzional linealak deritze.
  • Monomorfismoa:   injektiboa da, nukleoko elementu bakarra bektore nulua bada.  
  • Epimorfismoa: Baldin eta   supraiektiboa bada.
  • Isomorfismoa: Baldin eta   bijektiboa bada (injektiboa eta supraiektiboa).
  • Endomorfismoa: Transformazio lineal bat esaten zaio, non eremua eta koeremua bat baitatoz.
  • Automorfismoa: Endomorfismo bijektiboari deitzen zaio.

Aplikazio linealari dagokion matrizeaAldatu

Izan bitez V eta W bi bektore-espazio dim V=n eta dim W=m izanik eta   eta   V eta W-ren oinarriak. Hartu   L(V,W). f aplikazio linealari elkartutako matrizea   eta   oinarriekiko, i. zutabean   bektorearen   oinarriarekiko koordenatuak dituen matrizea da.

 

hau da,   guztietarako,   da.

Kanpo estekakAldatu