Trigonometria

Trigonometria (grezieraz τριγωνο, <trigōno> triangelu + μετρον <metron> neurtu), triangeluez arduratzen den matematika ataletako bat da.

θ angeluaren funtzio trigonometriko guztiak geometrikoki 0an zentratutako zirkuluarekin eraiki daitezke

Sarrera

Trigonometria, (antzinako grezierazko trigonometria hitzetik dator, trigonon triangelua eta metron neurria) triangeluaren elementu batzuek ezagututa, alde, angelu, altura, etab., ezezagunak diren beste batzuek kalkulatzeko bideak ematen dituen matematika-adarra da.

Adibidez, bi alde eta angelu baten balioak ezagutu daitezkeenean, beste aldearen eta bi angeluen balioak jakitera iritsi daiteke. Zehatzago esanda, trigonometriak triangeluak ebazteko oinarriak ematen ditu, triangelu lauak izan ala triangelu esferikoak izan. Trigonometriaren ezagutza hau, jakintzaren zuzia zibilizazioz zibilizazio pasatzen joan ziren jakintsu askori esker metatu ahal izan da ; horietako batzuek ondoren aipatzen dira.

Pitagoras, bere teorema ezagunarekin. "Triangelu zuzenean, hipotenusaren karratua, katetuen karratuen baturaren berdina da. "Aristarko Samoskoak, Kristo baino hiru mende lehenago, Ilargiaren eta Eguzkiaren tamaina kalkulatzea erabaki zuen eta baita Lurretik zein distantzietara zeuden jakitea ere. Horretarako, honetan oinarritu zen, Ilargia zehatz-mehatz erdi-argituta dagoen unean, Lurra, Ilargia eta Eguzkia, irudiak azaltzen duen bezalako triangelu angeluzuzenaren erpinetan daude.

Gaur egun ontzat ematen ditugun emaitzak lortu ez bazituen, huts hori ezin zaio metodoari bota, metodoa berez zuzena baitzen, angeluak neurtzeko erabili zituen tresnei baizik, ez baitzuten horretarako behar zen doitasunik.

Trigonometria laua

Trigonometria lauaren helburua, planoko triangeluak ebaztea da.

Triangelu horiek, zuzenak edota bestelakoak izan daitezke.Triangelu zuzenetan, lau arazo-mota aurki daitezke: •

• Hipotenusa eta kateto bat ezagunak izatea.
• Kateto bat eta angelu bat ezagunak izatea.
• Hipotenusa eta angelu bat ezagunak izatea.
• Bi katetuak ezagunak izatea.

Zuzenak ez diren triangeluen kasuan ere, lau arazo-mota agertzen dira : • Alde bat eta bi angelu ezagunak izatea.

• Bi alde eta beren arteko angelua ezagunak izatea.
• Bi alde eta horietako baten pareko angelua ezagunak izatea.
• Triangeluaren hiru aldeak ezagunak izatea.

Aipatutako arazo horiek ebazteko, ezinbestekoak dira ondoren azalduko diren oinarrizko ezagutza eta erlazio batzuek.

Oinarrizko ezagutzak

Angelua, sorburu berbera duten bi zuzenerdiren artean kokatutako zuzenerdi-multzo gisa har daiteke. Angelua mugatzen duten bi zuzenerdiei alde deritze eta jatorriari berriz erpin.Ondoren datorrenarentzat, komeni da mota honetako angeluak bereiztea :

• Angelu zuzena, bere aldeak bi zuzenerdi elkartzut direnean.
• Angelu zorrotza, angelu zuzena baino txikiagoa denean.
• Angelu kamutsa, angelu zuzena baino handiagoa denean.
• Angelu laua, bere aldeak erpinez aurkakoak diren bi zuzenerdi direnean. Bi angelu zuzenen balioa du.
• Angelu osagarriak, hurrenez hurreneko bi angelu dira eta bien artean angelu zuzena osatzen dute.
• Angelu betegarriak, hurrenez hurreneko bi angelu dira eta bien artean bi angelu zuzen osatzen dituzte.

Angeluak neurtzeko unitateak

Angeluak neurtzeko unitate bi daude: batetik radianak ( rad ) eta bestetik, graduak minutuak eta segundoak( º /' /)

Angelu orientatuak

Angelua orientatzea zera da, bera mugatzen duten bi zuzenerdiak ordenatzea da. Batari jatorrizko zuzenerdia deritzo eta besteari muturreko zuzenerdia.

Arrazoi trigonometrikoak

ABC triangelu angeluzuzena da. A erpinean dagoen $\alpha \,$ angeluari dagozkion sinu, kosinu eta tangente arrazoi trigonometrikoak azaltzeko balio du.

• Sinua (laburtuta sin) aurkako katetoaren eta hipotenusaren arteko arrazoia da.

$\operatorname {sin} \,\alpha ={\frac {\overline {CB}}{\overline {AB}}}={\frac {a}{c}}$

• Kosinua (laburtuta cos) ondoko katetoaren eta hipotenusaren arteko arrazoia da.

$\cos \alpha ={\frac {\overline {AC}}{\overline {AB}}}={\frac {b}{c}}$

• Tangentea (laburtuta tan edo tg) aurkako katetoaren eta ondoko katetoaren arteko arrazoia da.

$\operatorname {tg} \,\alpha ={\frac {\overline {CB}}{\overline {AC}}}={\frac {a}{b}}$

Balioak

Zirkunferentzia radianetan.	Zirkunferentzia Gradu hirurogeitarretan.

Radian	Gradu hirurogeitar	sin	cos	tan	cosec	sec	cotg
$0\;$	$0^{o}\,$	${\frac {\sqrt {0}}{2}}=0$	${\frac {\sqrt {4}}{2}}=1$	$0\,$	$\not {\exists }\,\!$	$1\,$	$\not {\exists }\,\!$
${\frac {1}{6}}\pi$	$30^{o}\,$	${\frac {\sqrt {1}}{2}}={\frac {1}{2}}$	${\frac {\sqrt {3}}{2}}$	${\frac {\sqrt {3}}{3}}$	$2\,$	${\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}$	${\sqrt {3}}$
${\frac {1}{4}}\pi$	$45^{o}\,$	${\frac {\sqrt {2}}{2}}$	${\frac {\sqrt {2}}{2}}$	$1\,$	${\sqrt {2}}$	${\sqrt {2}}$	$1\,$
${\frac {1}{3}}\pi$	$60^{o}\,$	${\frac {\sqrt {3}}{2}}$	${\frac {\sqrt {1}}{2}}={\frac {1}{2}}$	${\sqrt {3}}$	${\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}$	$2\,$	${\frac {\sqrt {3}}{3}}$
${\frac {1}{2}}\pi$	$90^{o}\,$	${\frac {\sqrt {4}}{2}}=1$	${\frac {\sqrt {0}}{2}}=0$	$\not {\exists }\,\!$	$1\,$	$\not {\exists }\,\!$	$0\,$

Koadranteak

koadranteetan ere badaude angeluak, eta sinua, kosinua eta tangentea aldatzen dira segun zein koadrantetan den.

Eragiketa trigonometrikoak

Pitagorasen teorema

Triangelu zuzenak honako funtzioa betetzen du:

$a^{2}+b^{2}=c^{2}\,$

aurreko ekuaziotik hau ateratzen da:

$\operatorname {sin} \alpha ={\frac {a}{c}}$

$\cos \alpha ={\frac {b}{c}}$

$c=1\,$

orduan α angelurako, Pitagorasen teorema betetzen da:

$\operatorname {sin} ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha =1\,$

Bi angeluen batuketa eta kenketa

$\operatorname {sin} (\alpha +\beta )=\operatorname {sin} \alpha \cos \beta +\cos \alpha \operatorname {sin} \beta \,$

$\sin(\alpha -\beta )=\operatorname {sin} \alpha \cos \beta -\cos \alpha \operatorname {sin} \beta \,$

$\cos(\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\operatorname {sin} \alpha \operatorname {sin} \beta \,$

$\cos(\alpha -\beta )=\cos \alpha \cos \beta +\operatorname {sin} \alpha \operatorname {sin} \beta \,$

$\tan(\alpha +\beta )={\frac {\tan \alpha +\tan \beta }{1-\tan \alpha \tan \beta }}$

$\tan(\alpha -\beta )={\frac {\tan \alpha -\tan \beta }{1+\tan \alpha \tan \beta }}$

Bi angeluen sinu eta kosinuen batuketa eta kenketa

$\operatorname {sin} \alpha +\operatorname {sin} \beta =2\ \operatorname {sin} \left({\frac {\alpha +\beta }{2}}\right)\cos \left({\frac {\alpha -\beta }{2}}\right)$

$\operatorname {sin} \alpha -\operatorname {sin} \beta =2\ \operatorname {sin} \left({\frac {\alpha -\beta }{2}}\right)\cos \left({\frac {\alpha +\beta }{2}}\right)$

$\cos \alpha +\cos \beta =2\cos \left({\frac {\alpha +\beta }{2}}\right)\cos \left({\frac {\alpha -\beta }{2}}\right)$

$\cos \alpha -\cos \beta =-2\ \operatorname {sin} \left({\frac {\alpha +\beta }{2}}\right)\operatorname {sin} \left({\frac {\alpha -\beta }{2}}\right)$

Bi angeluen sinu eta kosinuen biderketa

$\cos(\alpha )\cos(\beta )={\frac {\cos(\alpha +\beta )+\cos(\alpha -\beta )}{2}}$

$\sin(\alpha )\sin(\beta )={\frac {\cos(\alpha -\beta )-\cos(\alpha +\beta )}{2}}$

$\sin(\alpha )\cos(\beta )={\frac {\sin(\alpha +\beta )+\sin(\alpha -\beta )}{2}}$

$\cos(\alpha )\sin(\beta )={\frac {\sin(\alpha +\beta )-\sin(\alpha -\beta )}{2}}$

Angelu bikoitza

$\operatorname {sin} 2\alpha =2\operatorname {sin} \alpha \cdot \cos \alpha \,\!$

$\cos 2\alpha =\cos ^{2}\alpha -\operatorname {sin} ^{2}\alpha \,\!$

$\cos 2\alpha =1-2\operatorname {sin} ^{2}\alpha \,\!$

$\cos 2\alpha =-1+2\cos ^{2}\alpha \,\!$

$\tan 2\alpha ={\frac {2\tan \alpha }{1-\tan ^{2}\alpha }}$

Angeluerdia

$\operatorname {sin} \left({\frac {\alpha }{2}}\right)={\sqrt {\frac {1-\cos \alpha }{2}}}\,\!$

$\cos \left({\frac {\alpha }{2}}\right)={\sqrt {\frac {1+\cos \alpha }{2}}}\,\!$

$\tan \left({\frac {\alpha }{2}}\right)={\sqrt {\frac {1-\cos \alpha }{1+\cos \alpha }}}$

Kanpo estekak

• Datuak: Q8084
• Multimedia: Trigonometry