Trigonometria (grezieraz τριγωνο, <trigōno> triangelu + μετρον <metron> neurtu), triangeluez arduratzen den matematika ataletako bat da.

θ angeluaren funtzio trigonometriko guztiak geometrikoki 0an zentratutako zirkuluarekin eraiki daitezke

Sarrera aldatu

Trigonometria[1] triangeluaren elementu batzuek ezagututa, alde, angelu, altura, etab., ezezagunak diren beste batzuek kalkulatzeko bideak ematen dituen matematika-adarra da.

Adibidez, bi alde eta angelu baten balioak ezagutu daitezkeenean, beste aldearen eta bi angeluen balioak jakitera iritsi daiteke. Zehatzago esanda, trigonometriak triangeluak ebazteko oinarriak ematen ditu, triangelu lauak izan ala triangelu esferikoak izan. Trigonometriaren ezagutza hau, jakintzaren zuzia zibilizazioz zibilizazio pasatzen joan ziren jakintsu askori esker metatu ahal izan da ; horietako batzuek ondoren aipatzen dira.

Pitagoras, bere teorema ezagunarekin. "Triangelu zuzenean, hipotenusaren karratua, katetuen karratuen baturaren berdina da. "Aristarko Samoskoak, Kristo baino hiru mende lehenago, Ilargiaren eta Eguzkiaren tamaina kalkulatzea erabaki zuen eta baita Lurretik zein distantzietara zeuden jakitea ere. Horretarako, honetan oinarritu zen, Ilargia zehatz-mehatz erdi-argituta dagoen unean, Lurra, Ilargia eta Eguzkia, irudiak azaltzen duen bezalako triangelu angeluzuzenaren erpinetan daude.

Gaur egun ontzat ematen ditugun emaitzak lortu ez bazituen, huts hori ezin zaio metodoari bota, metodoa berez zuzena baitzen, angeluak neurtzeko erabili zituen tresnei baizik, ez baitzuten horretarako behar zen doitasunik.

Historia aldatu

Sakontzeko, irakurri: «Trigonometriaren historia»
 
Plimpton 322 taula babiloniarra

Trigonometriaren historia 3.000 urtetik gora zabal liteke. Babiloniarrek triangelu angeluzuzenen angeluen neurketak eta aldeen luzeren hurbilketak zehaztu zituzten; buztin lehorraren gainean grabatu zituzten zenbait taulak aditzera ematen dute. Adibidez, kuneiformean idatzitako taula babiloniar batean, Plimpton 322 izenekoan (K.a. 1900 inguruan), hamabost hiruko pitagoriko eta zenbaki-zutabe bat ageri dira, funtzio trigonometrikoen [2] taula gisa interpreta daitekeena. Dena den, zenbait eztabaida daude honen inguruan.

Astronomo babiloniarrek izarren irteera eta ilunabarra, planeten mugimenduari eta eguzki eta ilargi eklipseei buruzko erregistroak eraman zituzten, eta horrek guztiak zeruko esferaren gainean neurtutako distantzia angeluarrarekiko ezagupena eskatzen du.

 
Ahmesen papiroa.

Egiptoarrek, Kristoren aurreko bigarren milurtekoan, trigonometriaren jatorrizko forma bat erabiltzen zuten piramideak eraikitzeko. Ahmesen papiroa, Ahmes egiptoar eskribak idatzia (K.a. 1680-1620), honako arazo hau dauka trigonometriarekin lotuta:

Piramide bat 250 ukondokoa altu bada eta oinarriaren aldea 360 ukondo luze bada, zein da haren sekeda?

Arazoaren irtenbidea piramidearen oinarriaren erdiaren eta altueraren arteko erlazioa da. Beste era batera esanda, seked-erako aurkitzen den neurria piramidearen oinarria eta bere aurpegia osatzen duten angeluaren kotangentea da.

Trigonometria laua aldatu

Trigonometria lauaren helburua, planoko triangeluak ebaztea da.

Triangelu horiek, zuzenak edota bestelakoak izan daitezke.Triangelu zuzenetan, lau arazo-mota aurki daitezke: •

Zuzenak ez diren triangeluen kasuan ere, lau arazo-mota agertzen dira : • Alde bat eta bi angelu ezagunak izatea.

  • Bi alde eta beren arteko angelua ezagunak izatea.
  • Bi alde eta horietako baten pareko angelua ezagunak izatea.
  • Triangeluaren hiru aldeak ezagunak izatea.

Aipatutako arazo horiek ebazteko, ezinbestekoak dira ondoren azalduko diren oinarrizko ezagutza eta erlazio batzuek.

Oinarrizko ezagutzak aldatu

Angelu motak ulertzeko bideoa..
 
Bideo hau Jakindun elkarteak egin du. Gehiago dituzu eskuragarri euren gunean. Bideoak dituzten artikulu guztiak ikus ditzakezu hemen.

Angelua[3], sorburu berbera duten bi zuzenerdiren artean kokatutako zuzenerdi-multzo gisa har daiteke. Angelua mugatzen duten bi zuzenerdiei alde deritze eta jatorriari berriz erpin.Ondoren datorrenarentzat, komeni da mota honetako angeluak bereiztea :

  • Angelu zuzena, bere aldeak bi zuzenerdi elkartzut direnean.
  • Angelu zorrotza, angelu zuzena baino txikiagoa denean.
  • Angelu kamutsa, angelu zuzena baino handiagoa denean.
  • Angelu laua, bere aldeak erpinez aurkakoak diren bi zuzenerdi direnean. Bi angelu zuzenen balioa du.
  • Angelu osagarriak, hurrenez hurreneko bi angelu dira eta bien artean angelu zuzena osatzen dute.
  • Angelu betegarriak, hurrenez hurreneko bi angelu dira eta bien artean bi angelu zuzen osatzen dituzte.

Angeluak neurtzeko unitateak aldatu

Angeluak neurtzeko unitate bi daude: batetik radianak ( rad ) eta bestetik, graduak minutuak eta segundoak( º /' /)

Angelu orientatuak aldatu

Angelua orientatzea zera da, bera mugatzen duten bi zuzenerdiak ordenatzea da. Batari jatorrizko zuzenerdia deritzo eta besteari muturreko zuzenerdia.

Arrazoi trigonometrikoak aldatu

 

ABC triangelu angeluzuzena da. A erpinean dagoen   angeluari dagozkion sinu, kosinu eta tangente arrazoi trigonometrikoak azaltzeko balio du.

  • Sinua (laburtuta sin) aurkako katetoaren eta hipotenusaren arteko arrazoia da.
 
  • Kosinua (laburtuta cos) ondoko katetoaren eta hipotenusaren arteko arrazoia da.
 
  • Tangentea (laburtuta tan edo tg) aurkako katetoaren eta ondoko katetoaren arteko arrazoia da.
 

Alderantzizko arrazoi trigonometrikoak aldatu

Oinarrizko arrazoi trigonometrikoen alderantzizkoak ere defini daitezke:

  • Kosekantea (laburtuta csc) sinuaren alderantzizko arrazoia da, hipotenusaren eta aurkako katetoaren artekoa.

 

  • Sekantea (laburtuta sec) kosinuaren alderantzizko arrazoia da, hipotenusaren eta ondoko katetoaren artekoa.

 

  • Kotangentea (laburtuta cot) tangentearen alderantzizko arrazoia da, ondoko katetoaren eta aurkako katetoaren artekoa.

 

Balioak aldatu

   
Zirkunferentzia radianetan. Zirkunferentzia Gradu hirurogeitarretan.


Radian Gradu hirurogeitar sin cos tan cosec sec cotg
               
               
               
               
               

Zirkunferentzia goniometrikoa aldatu

 
Zirkunferentzia goniometriko baten adibidea, barnean triangelu bat duelarik. Hipotenusa zirkunferentziaren erradio bat da.

Zirkunferentzia goniometrikoa zentroa   puntuan duen eta 1 erradioa duen zirkunferentzia da. Horrela, zirkunferentziaren luzera   izango da. Arrazoi trigonometrikoak aztertzeko erabiltzen da, triangelu zuzenak irudikatuz bere barnean.

Erradioa 1 denez, hipotenusaren balioa   da ere. Beraz, honako hauek dira arrazoi trigonometrikoen balioak:

  •  
  •  
  •  
 
Puntu bakoitzaren koordenatuek sinuaren eta kosinuaren balioa adieraten dute hurrenez hurren.

Gainera, adierazpen grafiko honi esker, erraz ondoriozta daiteke koadrente bakoitzean arrazoi trigonometrikoen balioa positiboa edo negatiboa izango den. Izan ere, kosinuaren balioa zirkunferntziak puntu bakoitzean duen abszisa izango da, eta sinua, aldiz, ordenatu ardatzarena.

Koadrantea sin cos tan
I + + +
II + - -
III - - +
IV - + -

Eragiketa trigonometrikoak aldatu

Pitagoraen teorema ulertzeko bideoa.
 
Bideo hau Jakindun elkarteak egin du. Gehiago dituzu eskuragarri euren gunean. Bideoak dituzten artikulu guztiak ikus ditzakezu hemen.

Pitagorasen teorema aldatu

Triangelu zuzenak honako funtzioa betetzen du:

 

aurreko ekuaziotik hau ateratzen da:

 
 
 

orduan α angelurako, Pitagorasen teorema betetzen da:

 

Bi angeluen batuketa eta kenketa aldatu

 
Bi angelu zorrotzen baturaren sinu eta kosinuaren eta angelu horien sinu eta kosinuen arteko erlazioa erakusteko irudia.
 
Bi angelu zorrotzen kenduraren sinu eta kosinuaren eta angelu horien sinu eta kosinuen arteko erlazioa erakusteko irudia .
 


 


 


 


 


 

Bi angeluen sinu eta kosinuen batuketa eta kenketa aldatu

 


 


 


 

Bi angeluen sinu eta kosinuen biderketa aldatu

 
 
 
 

Angelu bikoitza aldatu

 


 


 


 


 

Angeluerdia aldatu

 


 


 

Ariketak
aldatu

Erreferentziak aldatu

  1. Lur entziklopedietatik hartua.
  2. Joseph, George Gheverghese. (2000). The crest of the peacock : the non-european roots of mathematics. (New ed. argitaraldia) Princeton University Press ISBN 0-691-00659-8. PMC 45031736. (Noiz kontsultatua: 2022-11-24).
  3. Lur entziklopedietatik hartua.

Kanpo estekak aldatu