Ireki menu nagusia

Logika proposizionala, proposizioak eta horiek lotzen dituzten lokailuak osagaitzat hartzen dituen sistema formal bat da. Logika proposizionalean "hizkuntza" edo proposizio konplexuak, proposizioak beraien artean lokailuen bitartez lotuz osatzen da. Premisa izeneko proposizio multzo batetik logikaz erator daitekeen ondoriozko proposiziora heltzea du helburu logika proposizionalak. Logika-sistema guztiak bezalaxe, logika proposizionalak ez du aztertzen proposizio bat errealitatean egiazkoa edo faltsua den, beste proposizioetatik deduzitzeko baliatu den prozesu logikoa edo argumentua zuzena den baizik. Logika proposizionala XIX. mendearen amaieran asmatu zuen Charles Sanders Peirce filosofoak eta XX. mendearen hasieran Ludwig Wittgenstein filosofoak osatu zuen, Tractatus logicus-philosophicus liburuan.

Zehatzago, logika proposizionalak proposizio atomiko edo bakunak egiazkoak edo faltsuak diren hartzen du kontuan, ondoren egia-taula izenekoen bitartez proposizio konplexuen egia-balioa aztertzeko: proposizio bakunen egia-balio guztietarako proposizio konplexua egia bada, proposizio konplexua tautologia dela esaten da; proposizio bakunen egia-balio guztietarako proposizio konplexua faltsua bada, kontraesana izango da eta proposizio konplexuaren egia-balioa batzuetan egia eta beste batzuetan faltsua bada, orduan argumentua sendoa da kasu batzuetan. Aldi berean, logika proposizionalak inferentzia edo argumentuak deduzitzeko erregelak ematen ditu, proposizio bakun edo konplexuen multzo batetik ondorioak deduzituz: premisak (proposizio atomikoak edo konposatuak) egiazkoak direnean, ondorioa egiazkoa bada, argumentua zuzena izango da.

Logika modaletik honetan bereizten da, logika proposizionala proposizio atomikoak egia eta gezurra izateko modu ezberdinak zehazten dituen arren, erabiltzen diren inferentzia aurauen arabera, logika modala egia modalitate ezberdinetik lan egiten du, egia absolutua, eta egia erlatiboa. Logika proposizionalak proposizio konplexuei egia eta faltsua balioez gainera, tarteko balioak ere esleitzen dizkio, inferentzia arauek proposizio atomikoen modu ezberdinak garatzen dituztenean. Adibidez, "Jon altua da" eta "altuek azterketa aprobatzen dute" proposizio atomikoek egiazkoak dira, baina subjektiboak, eta horrela proposizio konplexua eratzean logika proposizionalak, tarteko balioak izango ditu, "Jon altua da eta azterketa aprobatuko du" propiszioak probabilitate bat izan dezakeelako egia izateko.

SarreraAldatu

Argumentu hau aztertuko da:

  1. Gaur asteazkena da edo gaur osteguna da. (1. premisa)
  2. Gaur ez da osteguna. (2. premisa)
  3. Beraz, gaur asteazkena da. (ondorioa)

Argumentu hau baliozkoa da. Honek esan nahi du, ezinezkoa dela (1) eta (2) Premisak egia izatea eta (3) ondorioa faltsua.

Kontuan hartu behar da, irakurlea hau irakurtzen ari den eguna igandea, astelehena edo asteartea den beste edozein egun izan daitekeela, eta beraz baliteke ondorioa errealitatearekin bat ez etortzea eta alde horretatik faltsua izatea, baina hala ere, premisak betetzen badira, ondorioa egiazkoa izango da zalantzarik gabe, argumentua zuzena baita. Argumentuaren baliozkotasuna ez dator «bihar asteazkena da» edo «bihar osteguna da» esaldien zentzutik, argumentuaren egituratik baizik. Premisa hauek beste batzuengatik alda ditzakegu, eta argumentua baliozkoa izaten jarraituko du. Adibidez:

  1. Gaur egun eguzkitsua da edo lainotua da.
  2. Gaur ez da egun lainotua.
  3. Beraz, gaur egun eguzkitsua da.

Aurreko bi argumentuen baliozkotasuna, «edo» eta «ez» adierazpenetatik dator. Bi hauetako bat beste batez aldatuko bagenu, argumentua ez baliozkoa bihurtu ahalko litzateke. Adibidez, azter dezagun ondorengo argumentu ez baliozkoa:

  1. Gaur ez da egun eguzkitsua ezta lainotua ere.
  2. Gaur ez da egun lainotua.
  3. Beraz, gaur egun eguzkitsua da.

«Edo» eta «ez» motako adierazpenei lokailu logiko deritzegu. «Egun eguzkitsua da» eta «bihar osteguna da» motako adierazpenei buruz garrantzia duen bakarra, egia-balioa izan dezaten da. Horregatik ordezka ditzakegu letrekin. Letra hauei aldagai proposizionalak deritze, eta normalean, latindar alfabetotik hartzen ditugu, p-tik hasita (proposiziotik), eta ondoren q, r, s, eta abar. Honen arabera, lehenengo bi argumentuak era honetan formaliza ditzakegu:

  1. p edo q
  2. Ez q
  3. Beraz, p

Eta hirugarren argumentua, nahiz eta baliozkoa ez izan, era honetan idatz dezakegu:

  1. Ez p ez q
  2. Ez q
  3. Beraz, p

Lokailu logikoakAldatu

Jarraian dagoen taulan agertzen dira logika proposizionalaren barruan aurki ditzakegun lokailu logiko guztiak. Hauez gain, adibideak daude hizkuntza naturalean eta hizkuntza formalean adierazteko sinboloetan.

Lotura Hizkuntza naturalean
adierazpena
Adibidea Artikulu honetako
sinboloa
Ordezko
sinboloak
Ezeztapena ez Ez du euria ari.    
Konjuntzioa eta Euria ari du eta lainotuta dago.      
Disjuntzioa edo Egun euritsua da edo eguzkitsua da.  
Inplikazioa/Baldintzazkoa baldin... orduan... Baldin eguzkia dago, orduan egunez da.    
Baldintzabikoa baldin eta soilik baldin Lainotuta dago baldin eta soilik baldin lainoak ikusten badira.    
Kontrako disjuntzioa ez... ezta... Ez da egun eguzkitsua ezta lainotua ere.  
Disjuntzio baztertzailea edo... edo... Edo egun eguzkitsua da, edo lainotua da.    

Logika proposizionalean, lokailu proposizionalak egia funtzio bezala tratatzen ditugu. Hau da, egia-baloreak jasotzen, eta egia-baloreak itzultzen dituzten funtzio bezala. Adibidez, «ez» lokailu logikoa, T (True) balioa hartzen duenean F (False) balioa itzultzen duen, eta F balioa hartzean T itzultzen duen funtzioa da. Horrela, «ez» funtzioa aplikatzen badiogu proposizio faltsua adierazten duen letra bati, ondorioa egiazko zerbait izango da. Gezurra bada «euria ari duela», orduan egia izango da «ez duela euria ari».

Lokailu logikoen esanahia, funtzioak jaso ditzakeen balio guztien aurrean itzultzen dituen balioak jasotzen dituen taula baten bidez adieraz daiteke.

Ezeztapena Konjuntzioa Disjuntzioa Inplikazioa Baldintzabikoa Disjuntzio baztertzailea

 

 

 

 

 

 

Logikaren oinarrizko baliokidetasun legeakAldatu

Logika klasikoaren legeen artean hauek dira aipagarrienak:

  • Ukapen bikoitza
  • Idenpotentzia legeak
  • Trukatze legeak
  • Elkartze legeak
  • Banatze legeak
  • De Morganen legeak

Hirugarrena baztertzearen printzipioa bezalako beste lege batzuk logika klasikoan onartzen dira, baina logika intuizionistan, adibidez, ez dago lege horren baliokiderik.

Logika proposizionalaren mugakAldatu

Logika proposizionalak argumentu askoren baliozkotasuna aztertzeko balio digu. Hala ere, badaude argumentu batzuk logikoki baliozkoak direnak, baina ezin direnak logika proposizionalaren bidez frogatu. Adibidez, azter dezagun honako adibide hau:

  1. Gizaki guztiak hilkorrak dira.
  2. Sokrates gizakia da.
  3. Ondorioz, Sokrates hilkorra da.

Argumentu honek ez duenez «ez», «eta», «edo» motako lokailurik, logika proposizionalaren arabera, honela formalizatuko genuke:

  1. p
  2. q
  3. Ondorioz, r

Baina hau ez da baliozko argumentu bat. Mota honetako argumentuak frogatu ahal izateko, proposizio bakunen barne egitura aztertu behar dugu. Honetaz, lehen ordenako logika arduratzen da. Beste sistema formal batzuek ere ahalbidetzen dute hau, hala nola, bigarren ordenako logikak, logika modalak eta denborazko logikak.

Logika proposizionalaren bi sistema formalAldatu

Jarraian, logika proposizionalerako bi sistema formal estandar aurkezten dira. Lehenengoa sistema axiomatiko sinple bat da, eta bigarrena berriz axiomarik gabea, dedukzio naturalekoa.

Sistema axiomatikoaAldatu

AlfabetoaAldatu

Sistema formal baten alfabetoa sistemaren lengoaiari dagozkion sinboloen multzoa da. Logika proposizionalaren sistema axiomatiko honi L izena esleituz, orduan Lren alfabetoa honetan datza:

  • Aldagai proposizionalen kantitate finitu baina arbitrarioki handia. Orokorrean, alfabeto latindarretik hartzen ditu, p letrarekin hasiz, eta ondoren q,r, etab., eta beharrezkoa edo komenigarria denean azpiindizeak erabiliz. Aldagai proposizionalek proposizioak adierazten dituzte, esaterako, "euria ari du" edo "beroaren eraginez metalak dilatatu egiten dira."
  • Lokailu edo eragile proposizionalen multzo bat:  .
  • Bi puntuazio ikur: ezker eta eskuin parentesiak. Hauen funtzio bakarra zalantzazko adierazpenak argitzea da. 2+2÷2 adierazpenak, adibidez, (2 + 2) ÷ 2 edo 2 + (2 ÷ 2) esanahiak eduki ditzake.

GramatikaAldatu

Behin alfabetoa definituta, hurrengo urratsa sistemaren lengoaiari zein sinbolo konbinazio dagozkion zehaztea da, eta hau gramatika formalaren bidez lortzen da. Gramatika formalak arau batzuk ezartzen ditu, eta hauek lengoaiari dagozkion karaktere-kateak definitzen dituzte. Arau hauen bidez eraikitako karaktere-kateei ongi eratutako formulak deritze. L sistemaren arauak ondorengoak dira:

  1. L alfabetoko aldagai proposizionalak ongi eratutako formulak dira.
  2.   L sistemako ongi eratutako formula izanik, orduan   ere hala izango da.
  3.   eta   Lko ongi eratutako sistemak badira,  ,  ,   eta   ere izango dira.
  4. 1etik 3ra bitarteko baieztapenen eta pausu kopuru finitu baten bidez sortutako adierazpenak soilik izango dira Lren ongi eratutako formulak.

Arau hauen arabera, jarraian datozen karaktere-kateak ongi eratutako formulen adibideak dira:

 
 
 
 
 
 
 


Hauek, berriz, gaizki eratuako formulen adibideak dira:

Formula Akatsa Zuzenketa
  Parentesiak soberan  
  Parentesiak soberan  
  Parentesiak soberan  
  Parentesiak faltan  
  Parentesiak faltan  

Bestalde, parentesien funtzio bakarra zalantzagarriak gerta daitezkeen formulak argitzea izanik, oro har beharrezkoak diren parentesiak soilik erabiltzen dira. Beraz, hurrengo adierazpenak ongi eratutako formulen adibide gisa har daitezke:

 
 
 
 

Parentesien erabilerari dagokion beste arau batzuk ere badaude. Konjuntzio eta disjuntzioek lehentasun txikiagoa dute inplikazioa eta baldintzabikoa baino. Beraz, parentesi gabeko formula bat emanik, konjuntzioak eta disjuntzioak inplikazio eta baldintzabikoen aurretik elkartu behar dira. Adibidez:

Formula Irakurketa zuzena Irakurketa okerra
     
     
     

Arau hauek oinarrizko aljebran daudenen berdintsuak dira, non biderketa eta zatiketa, batuketa eta kenketa baino lehen ebatzi behar diren. Esaterako, 2 + 2 x 2 ekuazioa (2 + 2) x 2 edota 2 + (2 x 2) gisa uler daiteke. Aurrenekoaren emaitza 8 da, eta bigarrenarena, berriz, 6. Baina biderketa batuketa baino lehen ebatzi behar denez emaitza zuzena 6 izango da, eta ez 8.

AxiomakAldatu

Sistema formal bateko axiomak ongi eratutako formulen multzoak dira, hurrengo frogapenetan abiapuntutzat hartzen direnak. Axioma multzo estandar bat Jan Łukasiewiczek aurkitutakoa da.

  •  
  •  
  •  

Inferentzia erregelakAldatu

Inferentzia erregela bat formula multzoetatik formuletara doan funtzio bat da. Funtzioak argumentu bezala hartzen duen formula multzo horri premisa deritzo, eta ondorioztatzen den formulari, berriz, konklusio. Orokorrean, helburua inferentzia erregelek premisen egiazkotasuna konklusiora helaraztea da. Hau da, ezinezkoa izatea premisak egiazkoak izanik konklusioa faltsua izatea. Lren kasuan, inferentzia erregela bakarra modus ponens da:

 

Kontuan izan behar da   eta   ez direla formulak, aldagaiak baizik, eta hauek ongi eratutako edozein formulaz ordezka daitezke.

Dedukzio naturalaAldatu

Logika proposizionaleko sistemak axiomen multzo hutsak abiapuntutzat hartuta ere sor daitezke. Horretarako, inferentzia erregela batzuk zehazten dira eta hauek, lotura logikoak naturalki aztertzeko dugun modua atzematen saiatzen dira.

Baieztapena ukatzea
 
Ukapena sartzea
   -tik,   ondorioztatzen da.
Hau da,  .
Ukapena ezabatzea
 -tik,   ondorioztatzen da.
Hau da,  .
Ukapen bikoitza ezabatzea
 -tik,   ondorioztatzen da.
Hau da,  .
Konjuntzioa sartzea
  eta  -tik,   ondorioztatzen da.
Hau da,  .
Konjuntzioa sinplifikatzea/ezabatzea
 -tik,   ondorioztatzen da.
 -tik,   ondorioztatzen da.
Hau da,   eta  .
Disjuntzioa sartzea
 -tik,   ondorioztatzen da.
Hau da,   eta  .
Disjuntzioa ezabatzea
  eta   eta  -tik,   ondorioztatzen da.
Hau da,  .
Baldintzabikoa sartzea
  eta  -tik,   ondorioztatzen da.
Hau da,  .
Baldintzabikoa ezabatzea
 -tik,   ondorioztatzen da.
 -tik,   ondorioztatzen da.
Hau da,   eta  .
Modus ponens (Inplikazioa ezabatzea)
  eta  -tik,   ondorioztatzen da.
Hau da,  .
Inplikazio proba (Inplikazioa sartzea)
[ -k  -ren proba onartzen duela onartuz]-tik,   ondorioztatzen da.
Hau da,  .

Oinarrizko argumentu eta deribatuen formulakAldatu

Izena Atzekaria Deskribapena
Modus ponens   Baldin   orduan  ;  ; ondorioz  
Modus tollens   Baldin   orduan  ; ez  ; ondorioz ez  
Silogismo hipotetikoa   Baldin   orduan  ; baldin   orduan  ; ondorioz, baldin   orduan  
Silogismo disjuntiboa   Edozein   edo  , edo biak; ez  ; orduan,  
Dilema eraikitzailea   Baldin   orduan  ; eta baldin  orduan  ; baina   edo  ; ondorioz   edo 
Dilema suntsitzailea   Baldin   orduan  ; eta baldin   orduan  ; baina ez   edo ez  ; ondorioz ez   edo ez  
Bi noranzkoko dilema   Baldin   orduan  ; eta balidn   orduan  ; baina   edo ez  ; ondorioz   edo ez  
Sinplifikazioa     eta   egiazkoak badira; ondorioz   egiazkoa da
Konjuntzioa     eta   bakoitza bere aldetik egiazkoak badira; orduan elkarrekin egiazkoak dira
Batuketa     egiazkoa da; ondorioz disjuntzioa (  edo  ) egiazkoa da
Osaketa   Baldin   orduan  ; eta baldin   orduan  ; ondorioz baldin   egiazkoa bada   eta   egiazkoak dira
De Morgan-en legea (1)   (  eta  )-ren ezeztatzearen baliokidea da (ez   edo ez  )
De Morgan-en legea (2)   (  edo  )-ren ezeztapenaren baliokidea da (ez   eta ez  )
Trukatze legea (1)   (  edo  ) , (  edo  )-ren baliokidea da
Trukatze legea (2)   (  eta  ) , (  eta  )-ren baliokidea da
Trukatze legea (3)   (  ,  -ren baliokidea da) , ( ,  -ren baliokidea da)-ren baliokidea da
Elkartze legea (1)     edo (  edo  ), (  edo  ) edo  -ren baliokidea da
Elkartze legea (2)     eta (  eta  ) , (  eta  ) eta  -ren baliokidea da
Banaketa legea(1)     eta (  edo  ) , (  eta  ) edo (  eta  )-ren baliokidea da
Banaketa legea (2)     edo (  eta  ) , (  edo  ) eta (  edo  )-ren baliokidea da
Ezeztapen bikoitza     , ez  -ren ezeztapenaren baliokidea da
Iraulketa   Baldin   orduan  -ren baliokidea da, baldin ez   orduan ez  
Inplikazio materiala   Baldin   orduan  -ren baliokidea da ez   edo  
Baliokidetza materiala (1)   (  baldin eta soilik baldin  )-ren baliokidea da (baldin   egiazkoa bada orduan   egiazkoa da) eta (  egiazkoa bada orduan   egiazkoa da)
Baliokidetza materiala (2)   (  baliokidea  )-ren baliokidea da bietako bat betetzen bada: (  eta   egiazkoak dira) edo (  eta   faltsuak dira)
Baliokidetza materiala (3)   (  baliokide  )-ren baliokidea da: bai (  edo ez   egiazkoak dira) eta (ez   edo   egiazkoak dira)
Esportazioa   hemendik (baldin   eta   egiazkoak badira, orduan   egiazkoa da) hau egiazta dezakegu (  egiazkoa bada orduan   egiazkoa dela,   egiazkoa bada)
Inportazioa    -k inplikatzen du  -k inplikatzen du  -ren baliokidea da   eta  -k inplikatzen du  
Tautologia (1)     egiazkoa da eta honen baliokidea da   egiazkoa da edo   egiazkoa da
Tautologia (2)     egiazkoa da eta honen baliokidea da   egiazkoa da eta   egiazkoa da
Hirugarrena baztertzearen printzipioa     edo ez   egiazkoa da
Ez kontraesanaren printzipioa     eta ez   faltsua da

Frogapen adibideaAldatu

Frogatu:  

Froga posible bat hau da (baliozkoa da baina beharrezkoak ez diren urrats batzuk ematen dira) eta honela egin daiteke:

Urrats Formula Arrazoia
1   Premisa.
2   (1) urratsetik disjuntzioa sartu.
3   (1) eta (2) urratsetatik konjuntzioa sartu.
4   (3). urratsetik konjuntzioa ezabatu.
5   (1)etik (4)rako urratsen laburpena.
6   (5). urratsetik baldintzazkoa sartuz. QED

Interpretatu   honela: "Jakinik  k   inferitzen duela". Irakurri     honela "Ezer suposatu gabe, inferituz  k inplikatzen duela  ", edo " Tautologia bat dela  k inplikatzen duela  ", edo "Beti egia dela  k inplikatzen duela  ".

Lengoaia formala BNF notazioanAldatu

Logika proposizionalaren lengoaia formala gramatika formala erabiliz adieraz dezakegu BNF idazkerarekin deskribatuz.

 

Aurreko gramatikako operazioak lehentasun hauek dituzte:

  1. Ezeztapena ( )
  2. Konjuntzioa ( )
  3. Disjuntzioa ( )
  4. Baldintza materiala ( )
  5. Baldintzabikoa ( )

SemantikaAldatu

Logika proposizionaleko sistemaren interpretazio bat aldagai bakoitzaren egia-balioa ezartzean datza, operazio logikoak jarriz bakoitza bere lekuan. Aldagai proposizional bakoitzari bi balore esleitzen zaizkio: T(egiazkoa) edo F(faltsua). Honek esan nahi du n aldagai baldin badaude, 2n interpretazio daudela.

Hemendik abiatuz nozio semantikoak definitzeko aukera dugu. L lengoaiaren edozein A eta B formulak badira,   L formulen multzoa izango litzateke eta M Lren interpretazio bat, orduan:

  • A egiazkoa da Mren interpretaziorako baldin eta soilik baldin Mk T egia-balioa ezartzen badio Ari.
  • A faltsua da Mren interpretaziorako baldin eta soilik baldin Mk F egia-balioa ezartzen badio Ari.
  • A tautologia bat da baldin eta soilik baldin M interpretazio guztirako, Mk T egia-balioa ezartzen badio Ari.
  • A kontraesan bat da baldin eta soilik baldin M interpretazio guztirako, Mk F egia-balioa ezartzen badio Ari.
  • A satisfaktiblea da baldin eta soilik baldin Mren interpretazio batean Ak T egia-balioa baldin badu.
  •   kontsistentea da baldin eta soilik baldin existitzen bada interpretazio bat non  ko formula guztiak egiazkoak diren.
  • A   formulen multzoaren ondorio semantikoa da baldin eta soilik baldin ez bada existitzen interpretazio bat  ko formula guztiak egiazkoak eta A faltsua izanik. A ondorio semantikoa izatean honela idazten da:  .
  • A egia logikoa da baldin eta soilik baldin A konjuntzio huts baten ondorio semantikoa bada eta honela idazten da:  .

Egia-taulakAldatu

Egia-taula, formula baten interpretazio posible guztiak aztertzen dituen taula bat da, formulan agertzen diren aldagai proposizional guztiak erabiliz. Adibidez, hau da formula honen egia-taula  :

 

Ikusten den bezala, formula honek 2n interpretazio posible ditu non n aldagai proposizional kopurua den, kasu honetan hiru aldagai daude, hau da, p, q eta r eta tautologia da, hau da, interpretazio guztietarako egia da formula.

Forma normalakAldatu

Askotan, beharrezkoa da formula bat eraldatzea, batez ere, formula bat bere forma normalera eraldatzea. Hau lortzeko, formula bere baliokide batean eraldatzen da, eta prozesu hau errepikatzen da, oinarrizko lokailuak ( ) bakarrik dituen adierazpena lortu arte. Hau lortzeko erabiltzen dira baliokidetasun logikoak:

 
 

Adibidez, ikus dezagun honako formula:

 

Formula hau era honetan gara dezakegu:

 

Formula bat forma normal disjuntiboan (FND) dagoela esaten da baldin eta soilik baldin honako itxura badu:

 

non A bakoitza formulen konjuntzioa den. Adibidez, honako formula forma normal disjuntiboan dago:

 

Formula bat forma normal konjuntiboan (FNK) dagoela esaten da baldin eta soilik baldin honako itxura badu:

 

non A bakoitza formulen disjuntzioa den. Adibidez, honako formula forma normal konjuntiboan dago:

 

De Morgan-en legeen arabera, posible da forma normal disjuntibotik forma normal konjuntibora pasatzea, eta alderantziz:

 
 

FNK eta FND elkar dualak dira. Frogapena, De Morgan-en legeen bidez, eta konjuntzioaren eta disjuntzioaren banakortasun legeen bidez egiten da. Honako adierazpena bete behar da:

 

Eta alderantziz:

 

Logika proposizionala eta konputazioaAldatu

Konputagailuek informazio bitarrarekin lan egiten dutenez, Booleren aljebra oso egokia da konputagailuen funtzionamendua aztertzeko eta diseinatzeko. Booleren aljebra hasiera batean logikaren ikerketarako sortu zen eta 1938. urtetik aurrera izan zen konputagailu digitaletan dituen aplikazioak areagotzen hasi zirela. Gaur egun, tresna hau oso beharrezkoa da konputagailuen garapenerako, zirkuitu logikoen analisia eta sintesia azkar egitea baimentzen baitigu.

Ikus, gaineraAldatu

BibliografiaAldatu

Grassman, W. K.; Tremblay, J-P. Logic and Discrete Mathematics: A Computer Science Perspective / Matemática Discreta y Lógica.

Grimaldi, R. P. Discrete and Combinatorial Mathematics: An Applied Introduction / Matemáticas discretas y combinatorias.

Kanpo estekakAldatu

Ross, K. A.; Wright, C. R. B. Discrete Mathematics.