Matematiketan, sinua (laburtuta sin) angeluaren funtzio trigonometrikoa da. Angelu zorrotz baten sinua triangelu zuzenaren testuinguruan definitzen da: angelu espezifiko horretarako: angeluaren aurrean dagoen katetoaren luzera zati triangeluaren katetorik luzeena (hipotenusa) eginez lortzen da. angelu batentzat, sinuaren funtzioa gisa adierazten da.[1][2]

Sinua unitate zirkunferentzian

Orotarapena eginez, sinuaren definizioa (eta beste funtzio trigonometrikoak) edozein balio errealentzat zabaldu daiteke unitate zirkunferentziaren segmentuen luzeran neurtuta. Sinuaren definizio modernoagoek diote ekuazio diferentzialen serie infinituen soluzio bezala adieraz daitekeela, haren hedapena edozein balio positibo zein negatibo edo zenbaki konplexua izanik.

Sinuaren funtzioa fenomeno periodikoen modeloak adierazteko erabiltzen da, hala nola, soinu- eta argi-uhinak, osziladore harmonikoen posizioa eta abiadura, eguzki-argiaren intentsitatea eta egunaren luzera, eta urtean zehar gertatzen diren batez besteko tenperaturaren aldaketaren kalkulua.

Triangelu zuzenaren definizioa

aldatu
 
Triangelu zuzen baten aldeak

α angelu zorrotzaren sinu funtzioa definitzen hasteko, α neurriko triangelu zuzen bat izan behar dugu. Alboko irudian ikus daitekeenez, guri interesatzen zaigun angelua A erpinean dagoena da. Triangeluaren hiru alboei honela deritze:[3]

  • Aurkako deritzo interesatzen zaigun angeluaren aurrean dagoen katetoari, eta kasu honentan a bezala adierazi dugu.
  • Hiputenusa deritzo angelu zuzenaren aurrean dagoen aldeari, kasu honetan h. Hipotenusa triangelu zuzenaren alderik luzeena da beti.
  • Albokoa da geratzen den aldea, kasu honetan b. Alde hau da aipatutako bi angeluak batzen dituena, hau da, interesatzen zaigun angelua eta angelu zuzena elkartzen dituen katetoa.

Behin triangelua definiturik, α-ren sinua aurkako aldearen luzera zati hipotenusaren luzera izango da:

 .

Unitate zirkunferentziaren definizioa

aldatu
 
Unitate zirkunferentzian puntu beltzaren koordenatuak t angeluaren arabera

Trigonometrian, unitate zirkunferentzia bat erradiodun zirukulua da, (0, 0) puntuan (koordenatu kartesiarretan) jatorria duena.

Jatorritik hasten den lerro zuzen bat egin   ardatz positiboarekin   angelua sortzen duena, lerro zuzen hori unitate zirkunferentziarekin ebaki arte.   eta   koordenatuak ebakitze-puntu horretan,   eta   dira hurrenez hurren. Puntuaren jatorriarekiko distantzia beti izan da bat.

Identitateak

aldatu
 
Animazio honetan ikus daiteke nola aldatzen doan sinu funtzioa (gorriz), angelua aldatzen den bitartean

Berdintza hauek   angeluak har ditzakeen balio guztietarako betetzen dira,

 

Erreziprokoa

aldatu

Sinuaren erreziprokoa kosekantea da, esaterako,   ren erreziprokoa   izango da. Kosekanteak hipotenusaren luzeraren ratioa aurkako aldearen luzerarekiko ematen digu.

 

Alderantzizkoa

aldatu

Sinuaren alderantzizko funtzioa arkosinua da,  ,   edo   bezala adierazten da. Sinua funtzio injektiboa ez denez, haren alderantzizkoa ez da zehatza, alderantzizko partziala da. Adibidez,  , baina baita  ,   eta abar. Horrek esan nahi du arkusinua balio anitzeko futzioa dela:  , baina baita  ,  , eta abar. Balio bakarra hartzen duenean, funtzioa bere adar nagusira murriztuta dagoela esan daiteke. Murrizketa horrekin,   bakoitzerako   balio bakarra hartzen du eta balio nagusi deritzogu.

 

k zenbaki oso baterako,

 

Ekuazio batean,

 

Arkusinuak hau betetzen du:

 ,

baita hau ere

 

Kalkulua

aldatu

Sinu funtziorako hau dugu:

 

Deribatua hau da:

 

eta, integrala berriz, hau:

 

non C integralaren konstantea den.

Beste funtzio trigonometriko batzuk

aldatu

Posible da edozein funtzio trigonometriko beste edozein funtzio trigonometriko batzuen arabera adieraztea (plus edo minus zeinua gehituz edota sgn funtzioa erabiliz).

Sinua beste funtzio trigonometriko batzuen arabera:

f θ plus/minus erabiliz(±) Sign funtzioa erabiliz (sgn)
f θ = ± koadranteko f θ =
I II III IV
cos     + +  
    + +  
cot     + +  
    + +  
tan     + +  
    + +  
sec     + +  
    + +  

Ikus bedi (±) dituzten ekuazio guztien emaitza positiboa dela angeluak lehen koadrantean daudenean.

Sinuaren eta kosinuaren arteko oinarrizko erlazioa identitate trigonometriko honen bidez adieraz daiteke:

 .

Koadranteekin lotutako propietateak

aldatu
 
Koadranteak unitate zirkunferentzian eta sinu funtzioan
Koadrantea Graduak Radianak Balioa Ikurra Monotonia Ganbiltasuna
1. koadrantea         gorakorra ahurra
2. koadrantea         beherakorra ahurra
3. koadrantea         beherakorra ganbila
4. koadrantea         gorakorra ganbila

Serie bidezko definizioa

aldatu
 
Aminazio honek erakusten digu Taylorren seriera zenbat eta balio gehaigo sartu, orduan eta gehiago hurbiltzen dela gure funtzioa sinuaren kurbara.

Geometria eta limiteen propietateak soilik erabiliz, ikus daiteke sinuaren deribatua kosinua dela eta kosinuaren deribatua sinuaren balio negatiboa.

Sinuaren  -garren deribatuaren balioak 0 puntuan  -ren arabera emanik,

 

Horrek Taylorren seriearen hurrengo garapena ematen digu   denean:

 

Arku-luzera

aldatu

  eta   ren arteko sinu-kurbaren arku-luzera   da. Integral hori bigarren motako integral eliptikoa da.

Sinuen legeak

aldatu

Sinuen legeak edozein triangelurako balio du zeinak  ,   eta   alboak dituzten eta albo horien aurrean dauden angeluak  ,   and   izanik:

 

Goiko legea azpian ditugun lehen 3 berdintzen berdina da:

 

non   triangelua zirkuskribatzen duen zirkuluaren erradioa den.

Sinuen legea triangelua bi triangelu zuzenetan banatuz eta sinuaren goiko definizioa aplikatuz frogatu daiteke. Sinuen legea erabilgarria da albo baten luzera ez dakigunean eta kalkulatu nahi dugunean, bi angeluren balioa eta albo baten luzera jakinik.

Balio bereziak

aldatu
 
Sinuaren angelu desberdinak balio zehatzetan adierazita

Angelu batzuen balioetarako sinuen kalkulua oso erraza da, taulan ikus daitekeen bezala.

x (angelua) sin x
Graduak Radianak Zehatza Hamartarra
0 0 0
180° π
15° 1/12π   0,258819045102521...
165° 11/12π
30° 1/6π 1/2 0,5
150° 5/6π
45° 1/4π   0,707106781186548...
135° 3/4π
60° 1/3π   0,866025403784439...
120° 2/3π
75° 5/12π   0,965925826289068...
105° 7/12π
90° 1/2π 1 1

Zerrendan ageri ez diren bestelako balio zehatzak:

   A019812
   A019815
   A019818
   A019821
   A019827
   A019830
 
   A019833
   A019836
   A019842
   A019845
   A019848
   A019851

Zenbaki konplexuekiko lotura

aldatu
 
Zenbaki konplexuen planoa

Sinua koordenatu polarrentan   emandako zenbaki konplexuen parte irudikaria adierazteko erabiltzen da:

 ,

non zati irudikaria hau den:

 ,

non   eta   zenbaki konplexuaren luzera eta angelua diren hurrenez hurren.   unitate imaginarioa da eta   zenbaki konplexua.

Historia

aldatu

Nahiz eta trigonometriaren azterketa Antzinaroan hasi zen, gaur egun ezagutzen ditugun funtzio trigonometrikoak Erdi Aroan garatu ziren. Soka funtzioa adibidez, Niceako Hiparkok (K.a. 180–125) aurkitu zuen.

"sin", "cos" eta "tan" laburpenak Albert Girard matematikari frantziarrak erabili zituen lehenengo aldiz XVI. mendean. Funtzio trigonometrikoak triangelu batekin definitu izan zituen lehenengoa Georg Joachim Rheticus izan zen, Kopernikoren ikaslea zena, ordura arte zirkuluen bidez definitzen baitzituzten.

1682. urtean publikatutako artikulu batean Leibnizek demostratu zuen   ez zela  -en funtzio aljebraiko bat.[4] Bestetik, Roger Cotesek bere Harmonia Mensurarum (1722) lanean sinuaren deribatua kalkulatu zuen. Geroago, Euler bere Introductio in analysin infinitorum (1748) lanean, funtzio trigonometrikoak serie infinitu bezala definitu ahal zirela frogatu zuen eta Euler-en formula deritzon formula aurkeztu zuen.

Etimologia

aldatu

Aria Bhatta (K.o. 476–550) astronomo eta matematikari hinduak sinu kontzeptuari buruzko gogoeta egin zuen, kontzeptuaz idazteko ardhá-jya izena erabiliz; ardhá "erdia" eta jya "soka" izanik. Idazle arabiarrek Bhatta-ren lan zientifikoak itzuli zituztenean, termino sanskritoa jiba izenaz adierazi zuten. Denboraren poderioz, termino hori laburtu egin zen: jb. Gerora etorri ziren idazleek, hitzaren jatorria ezagutzen ez zutenez, uste izan zuten jb jiab hitzaren laburdura zela (badia arabiarrez).

XII. mendearen amaieran, Gerardo Cremonakoa (1114–1187) itzultzaile italiarra, idazki hauek arabiarretik latinera itzultzerakoan, gaizki erabilitako jiab terminoa latinezko sinus ("zuloa", "badia") terminora itzuli zuen. Gerora, euskararen terminologia zientifikoa zehaztu zenean, latinezko terminoak oinarritzat hartu izanaren ondorioz, "sinu" denominazioa erabiltzea erabaki zen

Beste azalpen batek dio zirkulu baten soka latinez inscripta corda edo inscripta esaten denez, soka erdia semis inscriptae da. Beraz, haren laburtzapena s. ins. izango zen, gerora sins bezala sinplifikatuko zena. Hitz ezagun bati lotzearren, sinus izena jarri zitzaion.

Ikus gainera

aldatu

Erreferentziak

aldatu
  1. Comprehensive List of Algebra Symbols. .
  2. Weisstein, Eric W.. Sine. .
  3. «Sine, Cosine, Tangent» www.mathsisfun.com (Noiz kontsultatua: 2021-09-10).
  4. Nicolas., Bourbaki,. ((1998 printing)). Elements of the history of mathematics. Springer ISBN 9783540647676. PMC 39695498..

Kanpo estekak

aldatu