Lankide:Manex Garaio/Proba orria

Berdin zeinuaren lehen erabilera, gaur egungo notazioan 14x + 15 = 71 ekuazioaren baliokidea litzatekeena, Galesko Robert Recorderen The Whetstone of Witte liburutik ateratakoa.

Matematikan, ekuazioa ezezagun bat edo gehiago dituen berdintza aljebraikoa da, adibidez $x+4=7,$ ekuazio bat da, non $x,$ ezezaguna den. Zenbakizko berdintzetan (2+3=5, esaterako) ez bezala, ekuazioa ez da orohar egiazkoa ezezagunaren edozein baliotarako (aurreko ekuazioan adibidez, $x=5ext{,orduan}5+4e7$). Horrela, ekuazioa ebaztea berdintza betetzen duten ezezagunen balioak aurkitzea da, ezezaguna aurkitzea alegia, ekuazioa identitate edo zenbakizko berdintza bihurtzeko (aurreko ekuazioan, $x+4=7ext{,orduan}x=7-4=3$). Horrela, $x,$ bakandu edo askatu egin dela esaten da.

Oro har, ezezagunak x, y, z, etab. hizkiez adierazten dira, eta konstanteak alfabetoko lehenengo hizkiez (a, b, c, eta abar).

Alfabeto-egiunez finkatzeko ideia, ezezagunak konstanteetatik desberdintzeko, François Viète matematikari frantziarrarena izan zen. François Viètek erabili zituen kontsonanteak aldagaietarako eta bokalak konstanteetarako.

Sarrera

Irudikapen baliokidea

Ekuazio baten ilustrazioa, zeinetan x, y eta z diren ezezagunak.

Ekuazio bat pisu balantza bat bezala irudika genezake, berdin zeinuaren alde bakoitza balantzaren beso bat delarik. Bi besoetan elementu ezberdinak jar daitezke eta, pisua berdina den bitartean, balantza orekatua egongo da. Desberdintza bat gertatzen den momentuan, inekuazio bat edukiko genuke.

Ilustrazioan, x, y eta z kopuru ezberdinetan dauzkagu (zenbaki errealak dira, kasu honetan), horietako bakoitzak pisu ezberdina duelarik.

Konstanteak eta ezezagunak

Batzuetan ekuazioek ezezagunetaz gain elementu gehiago izaten dituzte, balio ezagun bat izan ohi dutenak, parametro, konstante edota koefiziente bezala ezagutzen direnak.

Normalean ezezagunak alfabetoaren amaierako hizkiekin adierazten dira: x, y, z, w.... Konstanteak, aldiz, alfabetoaren hasierako hizkiak erabilita adierazten dira: a, b, d... Esate baterako, bigarren mailako ekuazioa normalean ondorengo notazioarekin adierazten da: ax² + bx + c = 0.

Ekuazioaren soluzioa aurkitzearen prozesuari ekuazio ebaztea deritzaio.

Ekuazio-sistema bat hainbat ezezagun komun dituzten ekuazioek osatutako multzoa da. Ekuazio-sistema horren soluzioa ezezagun bakoitzarentzako balio multzo bat da, multzoko ekuazio guztientzako baliagarria dena. Adibidez:

${\begin{aligned}3x+5y&=2\\5x+8y&=3\end{aligned}}$

Ekuazio-sistema honek soluzio bakarra dauka, zeinetan x = -1 eta y = 1 diren.

Ekuazioen erabilera

Ekuazioak Zientzian oso erabiliak dira legeak modu zehatzean adierazteko, ekuazioek aldagaien arteko harremana adierazten dute eta. Adibidez, Fisikan, Newtonen bigarren legeak F indarraren, a azelerazioaren eta m masaren arteko harremana adierazten du: $F=ma$. Ekuazio horren emaitza baliozkoak diren balioek Newton-en bigarren legea betetzen dute. Esate baterako, m = 1 kg bada eta azelerazioa a = 1 m/s, ekuazioaren soluzio bakarra F = 1 kg·m/s = 1 newton izango da, legearen ekuazioak onartzen duen balio bakarra delako.

Ekuazioen aplikazio eremua oso zabala da eta, hortaz, esparru askotan erabiltzen da. Ian Stewart matematikariaren arabera, "ekuazioen boterea (...) matematikaren (giza garunaren asmakuntza kolektiboa dena) eta errealitate fisikoaren arteko harreman zaila egin ahal izatean datza".

Propietateak

Bi ekuazio edo bi ekuazio-sistema baliokideak dira, soluzio multzo berdina badute. Ekuazio edota ekuazio-sistema bati eragiketa oinarrizko berdina aplikatzen bazaie, berdintza mantentzen duena, horren baliokide bat lortuko dugu:

• Ekuazioaren bi aldeei kopuru berdina gehitu edo kentzen badiegu, berdintza mantentzen da:
  $$a=b\Rightarrow a+c=b+c$$
• Ekuazioaren bi aldeak kopuru berdinarekin biderkatuz gero (balio positibo zein negatiboa), berdintza mantentzen da:

$$a=b\Rightarrow ac=bc$$

• Ekuazioaren bi aldeak kopuru berdinarekin zatituz gero (0 ez den balio positibo zein negatiboa), berdintza mantentzen da:

$$\forall c\neq 0\quad a=b\Rightarrow {\frac {a}{c}}={\frac {b}{c}}$$

Eragiketa batzuk ekuazioaren bi aldeei aplikatuta ekuazioaren soluzioez gain soluzio berriak ager daitezke. Esaterako, $x=1$ ekuazioak soluzio bakarra dauka, $x=1$. Hala ere, ekuazioaren bi aldeei ber 2 berreketa aplikatuko bagenie ekuazioa $x^{2}=1$ bilakatuko litzateke, aurreko soluzioaz gain $x=-1$ soluzioa ere edukiko lukeena. Hortaz, horrelako transformazioak tentuz egin behar dira, ekuazioaren soluzioak ez eraldatzeko.

Ekuazio motak

• Aldagai edo ezezagun bakarreko ekuazioa: ezezagun horren balio egokiarentzat bakarrik egiaztatzen den ekuazioa; adibidez, 3x+1=10; x=3.
• Aljebrako ekuazioa: ezezaguna aljebrako eragiketa arruntetara (batuketa, kenketa, biderketa, erroketa) mendekotua duen ekuazioa. Aztertu ziren lehenengo ekuazioak aljebrakoak izan ziren; horretarako, hainbat polinomio berdindu ziren beren artean, balio ezezagunak argitzeko.
• Ekuazio diferentziala, ezezagunak deribatu moduan agertzen direnean;
• Integralen ekuazioa.
• Aplikazio jakina duten ekuazioak ere badaude, aplikazio horren izenarekin izendatzen direnak; adibidez, mugimendu-ekuazioak, denbora-ekuazioak.