Biraketa matrize

Aljebra linealean, biraketa-matrizea edo errotazio matrizea euklidear espazioko biraketa bat adierazten duen matrizea da. Esaterako,

$M_{\theta }={\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\[3pt]\sin \theta &\cos \theta \\\end{pmatrix}}$

Matrizeak θ graduko planoaren biraketa adierazten du, erlojuaren orratzen mugimenduaren aurkako noranzkoan.

Gehienetan, bi eta hiru dimentsiotan erabiltzen da, baina, biraketa matrizeak edozein dimentsioko espaziotan definitu daitezke. Aljebran, biraketa matrizea matrize ortogonal bat da, bere determinanteak bat balio duena:

$R^{T}=R^{-1}\quad {\text{eta}}\quad \det R=1.$

Biraketa matrizeak karratuak dira eta elementuak errealak ditu. Halere, beste gorputzetan ere definitu daiteke. n × n dimentsioko matrize guztien multzoak talde bat osatzen du, biraketen taldea (edo talde ortogonal berezia) izena duena.

Matrize hauek ordenadore bidezko irudigintzan objektuei transformazioak eragiteko asko erabiltzen dira, hala ere ez dira biraketak eragiteko tresna bakarrak, izan ere matrize hauen pareko tresnak dira koaternioiak. Batzuen eta besteen artean baliokidetza erlazioa dago.

2 dimentsiotan

Biraketa ulertzeko era errazena koordenatu polarrak erabiltzea da. Koordenatu polarretan puntu bat adierazteko bi datu erabiltzen dira, alde batetik, puntu horretatik jatorrira dagoen distantzia, L, eta, bestetik, jatorritik puntura doan ardatzak X ardatzarekiko duen angelua, hau da, α. Beraz, koordenatu polarretan P=(L,α) bezala adieraz daiteke P puntua.

Biraketa koordenatu polarretan

Angelua aldatuz L erradioa duen eta jatorriaren inguruan dagoen zirkunferentziako edozein puntu adieraz dezakegu, azken finean zirkunferentzia horretako puntu guztiak biraketa puntuak dira eta P = (L,α) puntuari β graduko biraketa eragingo bagenio Q = (L,α+β) puntua lortuko genuke.

P = (L,α) puntuaren adierazpen kartesiarra lortzeko trigonometria balia dezakegu eta, koordenatu kartesiarrak zutabe-bektore moduan adieraziz, honakoa daukagu:

$P={\begin{pmatrix}L,&\alpha \\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}L\cos \alpha \\[3pt]L\sin \alpha \\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}P_{x}\\[3pt]P_{y}\\\end{pmatrix}}$

Era berean, Q = (L,α+β) puntuaren adierazpen kartesiarra ere honelakoa izango da:

$Q={\begin{pmatrix}L,&\alpha +\beta \\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}L\cos(\alpha +\beta )\\[3pt]L\sin(\alpha +\beta )\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}Q_{x}\\[3pt]Q_{y}\\\end{pmatrix}}$

Berriz ere trigonometriaren laguntzaz, eta kontuan hartuz:

$\operatorname {sin} (\alpha +\beta )=\operatorname {sin} \alpha \cos \beta +\cos \alpha \operatorname {sin} \beta \,$

$\cos(\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\operatorname {sin} \alpha \operatorname {sin} \beta \,$

Esan dezakegu

$Q={\begin{pmatrix}L\cos(\alpha +\beta )\\[3pt]L\sin(\alpha +\beta )\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}L(\cos \alpha \cos \beta -\operatorname {sin} \alpha \operatorname {sin} \beta )\\[3pt]L(\operatorname {sin} \alpha \cos \beta +\cos \alpha \operatorname {sin} \beta )\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}Q_{x}\\[3pt]Q_{y}\\\end{pmatrix}}$

Baina ezin dugu ahaztu P_x eta P_y balioak zer diren, ondorioz,

${\begin{pmatrix}Q_{x}\\[3pt]Q_{y}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}L(\cos \alpha \cos \beta -\operatorname {sin} \alpha \operatorname {sin} \beta )\\[3pt]L(\operatorname {sin} \alpha \cos \beta +\cos \alpha \operatorname {sin} \beta )\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}L\cos \alpha \cos \beta -L\operatorname {sin} \alpha \operatorname {sin} \beta \\[3pt]L\operatorname {sin} \alpha \cos \beta +L\cos \alpha \operatorname {sin} \beta \\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}P_{x}\cos \beta -P_{y}\operatorname {sin} \beta \\[3pt]P_{x}\operatorname {sin} \beta +P_{y}\cos \beta \\\end{pmatrix}}$

Q puntu biratua, beraz, β angeluari dagokion biraketa-matrizearen eta jatorrizko P puntuaren arteko biderketa modura adieraz dezakegu:

$Q={\begin{pmatrix}Q_{x}\\[3pt]Q_{y}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}P_{x}\cos \beta -P_{y}\operatorname {sin} \beta \\[3pt]P_{x}\operatorname {sin} \beta +P_{y}\cos \beta \\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos \beta &-\sin \beta \\[3pt]\sin \beta &\cos \beta \\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}P_{x}\\[3pt]P_{y}\\\end{pmatrix}}$

edo laburrago adieraziz:

$Q=M_{\beta }P$

3 dimentsiotan

2 dimentsiotako biraketa-matrizea 3 dimentsioetara hedatzeko biraketa-ardatza zehaztu behar da. Horrez gain, erreferentzia-sistema zein den argi eduki behar da; dokumentu honetan erreferentzi sistemako hirugarren ardatza $Z=X\wedge Y$ izango da, hau da, X-ren eta Y-ren arteko biderketa bektorialaren emaitza izango da. Horrela, Z ardatzaren inguruko biraketa eragitean biraketak ez du hirugarren koordenatua aldatuko; aldaketa x eta y koordenatuek jasoko dute eta 2 dimentsiotako biraketan bezala aldatuko dira, baina z koordenatua ez da aldatuko:

$Q_{x}=P_{x}\cos \beta -P_{y}\sin \beta$

$Q_{y}=P_{x}\sin \beta +P_{y}\cos \beta$

$Q_{z}=P_{z}$

Beraz, Z ardatzaren inguruko biraketa eragiten duen matrizea da:

${\begin{pmatrix}\cos \beta &-\sin \beta &0\\[3pt]\sin \beta &\cos \beta &0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}$

Erreferentzi-sistemaren-3-ikuspegi

Biraketa-ardatza X denean edo Y denean ardatz bakoitzaren zeregina aldatu egiten da, Gure erreferentzia-sistemaren ikuspegi ezberdinei arreta eskaintzen badiogu, ikusiko dugu biraketa-ardatza X denean eskuinerantz doan ardatza Y ardatza dela eta gorantz doana Z ardatza dela. X ardatzari dagokion koordenatua mantendu egingo da, baina bigarren eta hirugarren koordenatuak aldatu egingo dira; bi dimentsiotako aldaketan eskuinera X ardatza doa, orain Y doa, beraz, bi dimentsioetako ekuazioetan x dagoen tokietan y jarri behar da. Era berean, orain goranzko ardatza Z ardatza denez, y dagoen tokian z jarri behar dugu:

$Q_{x}=P_{x}$

$Q_{y}=P_{y}\cos \beta -P_{z}\sin \beta$

$Q_{x}=P_{y}\sin \beta +P_{z}\cos \beta$

Beraz, X ardatzaren inguruan biratzen duen matrizea izango da:

${\begin{pmatrix}1&0&0\\[3pt]0&\cos \beta &-\sin \beta \\0&\sin \beta &\cos \beta \\\end{pmatrix}}$

Biraketa-ardatza Y ardatza denean, eskuinera doan ardatza Z ardatza da, eta goranzkoa X ardatza izango da. Ondorioz, bi dimentsiotan x koordenatua azaltzen zen toki bakoitzean z jarri behar dugu da, eta y azaltzen den tokian x jarri behar dugu:

$Q_{y}=P_{y}$

$Q_{z}=P_{z}\cos \beta -P_{x}\sin \beta$

$Q_{x}=P_{z}\sin \beta +P_{x}\cos \beta$

Hiru ekuazioak ordenatuz:

$Q_{x}=P_{z}\sin \beta +P_{x}\cos \beta =P_{x}\cos \beta +P_{z}\sin \beta$

$Q_{y}=P_{y}$

$Q_{z}=P_{z}\cos \beta -P_{x}\sin \beta =-P_{x}\sin \beta +P_{z}\cos \beta$

Ondorioz Y ardatzarekiko biraketa-matrizea honakoa da:

${\begin{pmatrix}\cos \beta &0&\sin \beta \\[3pt]0&1&0\\-\sin \beta &0&\cos \beta \\\end{pmatrix}}$

Edozein ardatzen inguruko biraketa

Biraketa-ardatza gure erreferentzia-sistemako ardatza ez denean beste egoera batean aurkitzen gara.

Biraketa orokorra

Hasteko, ardatzaren direkzioa behar dugu, eta hau u bektore unitario baten bidez adieraztea da egokiena.

$u={\begin{pmatrix}x\\[3pt]y\\z\\\end{pmatrix}}$

P puntua biraketa-ardatzaren inguruan biratzeak ardatzarekiko elkarzuta den zirkunferentzian mugitzea suposatzen du. P puntutik gertuen dagoen ardatzeko C puntura dagoen distantzia izango da zirkunferentziaren erradioa. Q puntu biratua zirkunferentzia horretan bertan dagoen puntua izango da. Q puntuaren koordenatuak lortu nahi ditugunez, hainbat kontzeptu argi edukitzea komeni da:

• C puntutik P puntura doan bektorea biraketa ardatzarekiko elkarzuta da.
• Jatorriak, P puntuak eta C puntuak osatzen duten triangeluan jatorritik P puntura doan aldea hipotenusa da eta jatorritik C puntura doan katetoak hipotenusarekin osatzen duen angeluari $\omega$ deituko diogu.
• Biraketari dagokion zirkunferentzian Q puntua 90 gradu biratuz gero H puntua lortuko genuke, eta C puntutik H puntura doan bektorea aurreko triangelua osatzen duten puntuek definitutako planoaren elkarzuta da, beraz, plano horretako bi bektoreren arteko biderketa bektorialak CH bektorearen direkzioa duen bektorea emango du emaitzatzat (edo alderantzizko direkzioduna). Konkretuki, u bektoreari jatorritik P puntura doan bektorea biderkatuz CH bektorea lortuko dugu, izan ere, biderketa bektorial horren emaitza den bektorearen luzera izango da $||u||\times ||P||\times \sin \omega$, eta $||P||\times \sin \omega$ balioa C puntutik Q puntura dagoen distantzia da, alegia, biraketa zirkunferentziaren erradioaren luzera. Hori kontuan hartuz:

$CH=u\wedge P$

• jatorritik Q puntura iristeko bidea honakoa izan daiteke: Lehendabizi C puntura joan behar dugu, ondoren, CP erradioan P punturantz mugituko gara, baina erradioa bere osotasunean igaro beharrean cos(β) balioak adierazten duen proportzioan mugitu behar da, A punturaino. Azkenik A puntutik CH direkzioan zirkunferentziaren erradioaren sin(α) balioak adierazitako proportzioan mugitu behar dugu:

$Q=C+CA+AQ$

C puntua ez dugu ezagutzen, baina biraketa-ardatzeko puntu bat dela badakigu. Beraz, u bektoreari jatorritik C puntura dagoen distantzia biderkatuz, hau da, $||C||$ biderkatuz lor dezakegu (C puntua eta bere koordenatuak bektore gisara hartu ditugu, hau da, jatorritik C punturako bektorea). Distantzia hori jatorriak, P puntuak eta C puntuak osatzen duten triangeluko katetoaren luzera da. Triangelu horretan jatorriaren aldeko $\omega$ angeluaren kosinua kalkula dezakegu, alegia, alboko katetoaren luzera zati hipotenusa:

$\cos \omega ={\frac {||C||}{||P||}}$

Bestalde, u bektorearen eta jatorritik P puntura doan bektorearen arteko biderketa eskalarraren emaitza badakigu zein den:

$u\cdot P=\cos \omega ||u||\,||P||$

Bigarren ekuazio honetan aurrekoa ordezkatuz, eta u bektorearen norma 1 dela kontutan hartuz lortuko dugu:

$u\cdot P={\frac {||C||}{||P||}}||P||=||C||$

Ondorioz, C puntua zein den badakigu:

$C=(u\cdot P)u$

osagaiak:

$C={\begin{pmatrix}C_{x}\\C_{y}\\C_{z}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}(xP_{x}+yP_{y}+zP_{z})x\\(xP_{x}+yP_{y}+zP_{z})y\\(xP_{x}+yP_{y}+zP_{z})z\\\end{pmatrix}}$

CA bektorea CP bektorea $\cos \alpha$ balioaz biderkatuz lor dezakegu, beraz:

$CA=(P-C)\cos \alpha =(P-(u\cdot P)u)\cos \alpha$

Hau ere osagaiz osagai ikus dezakegu:

$CA={\begin{pmatrix}(P_{x}-(xP_{x}+yP_{y}+zP_{z})x)\cos \alpha \\(P_{y}-(xP_{x}+yP_{y}+zP_{z})y)\cos \alpha \\(P_{z}-(xP_{x}+yP_{y}+zP_{z})z)\cos \alpha \\\end{pmatrix}}$

Eta, bukatzeko, AQ bektorea falta zaigu. Bektore hau CH bektoreari $\sin \alpha$ biderkatuz lortuko dugu, izan ere AQ bektorea CH bektorearen paraleloa da. Beraz:

$AQ=(u\wedge P)\sin \alpha$

eta osagaei erreparatuz:

$AQ={\begin{pmatrix}(yP_{z}-zP_{y})\sin \alpha )\\(-xP_{z}+zP_{x}))\sin \alpha )\\(xP_{y}-yP_{x})\sin \alpha )\\\end{pmatrix}}$

Hau guztia kontuan hartuz Q puntuaren koordenatuak ezagutu ditzakegu:

$Q=(u\cdot P)u+(P-(u\cdot P)u)\cos \alpha +(u\wedge P)\sin \alpha$

Horko datu guztiak ezagunak dira:

$u={\begin{pmatrix}x\\y\\z\\\end{pmatrix}},P={\begin{pmatrix}P_{x}\\P_{y}\\P_{z}\\\end{pmatrix}}$

eta osagaiz osagai aztertzen badugu:

$Q={\begin{pmatrix}(xP_{x}+yP_{y}+zP_{z})x\\(xP_{x}+yP_{y}+zP_{z})y\\(xP_{x}+yP_{y}+zP_{z})z\\\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}(P_{x}-(xP_{x}+yP_{y}+zP_{z})x)\cos \alpha \\(P_{y}-(xP_{x}+yP_{y}+zP_{z})y)\cos \alpha \\(P_{z}-(xP_{x}+yP_{y}+zP_{z})z)\cos \alpha \\\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}(yP_{z}-zP_{y})\sin \alpha )\\(-xP_{z}+zP_{x}))\sin \alpha )\\(xP_{y}-yP_{x})\sin \alpha )\\\end{pmatrix}}$

Osagai bakoitzean $P_{x}$ balioari, $P_{y}$ balioari eta $P_{z}$ balioari biderkatzen dagoena multzokatuz lortuko dugu:

$Q={\begin{pmatrix}(\cos {\alpha }+(1-\cos {\alpha })x^{2})P_{x}&+&((1-\cos {\alpha })xy-z\sin {\alpha })P_{y}&+&((1-\cos {\alpha })xz+y\sin {\alpha })P_{z}\\((1-\cos {\alpha })xy+z\sin {\alpha })P_{x}&+&(\cos {\alpha }+(1-\cos {\alpha })y^{2})P_{y}&+&((1-\cos {\alpha })yz-x\sin {\alpha })P_{z}\\((1-\cos {\alpha })xz-y\sin {\alpha })P_{x}&+&((1-\cos {\alpha })yz+x\sin {\alpha })P_{y}&+&(\cos {\alpha }+(1-\cos {\alpha })z^{2})P_{z}\\\end{pmatrix}}$

Eta beraz, biraketa-matrize orokorrera iritsiko gara:

${\begin{pmatrix}\cos {\alpha }+(1-\cos {\alpha })x^{2}&(1-\cos {\alpha })xy-z\sin {\alpha }&(1-\cos {\alpha })xz+y\sin {\alpha }\\(1-\cos {\alpha })xy+z\sin {\alpha }&\cos {\alpha }+(1-\cos {\alpha })y^{2}&(1-\cos {\alpha })yz-x\sin {\alpha }\\(1-\cos {\alpha })xz-y\sin {\alpha }&(1-\cos {\alpha })yz+x\sin {\alpha }&\cos {\alpha }+(1-\cos {\alpha })z^{2}\\\end{pmatrix}}$

Kanpo estekak

• (Ingelesez) Biraketa matrizea mathworld-en

• Datuak: Q1256564