Argi-kono

Espazio-denborako gainazala, puntu batetik argiaren abiaduran abiatzen diren fotoi guztien bizitzen gertaerak (etorkizuna) biltzen dituena, edo puntu batera argiaren abiaduran heltzen diren fotoi guztien bizitzen gertaerak (iragana) biltzen dituena.
Argi kono» orritik birbideratua)

Erlatibitate berezi eta orokorrean, argi-konoak honako hau adierazten du: gertaera jakin batetik igorritako argi-pultsu batek espazio-denboran egingo lukeen ibilbidea, argia norabide guztietan zabaltzen delarik (argiaren abiaduran, jakina). Testuinguru honetan, gertaera bat espazio-denborako puntu bat da, hau da, non eta noiz galderei erantzuna eman diezaiekegu.

Argi-konoa

Ezaugarri orokorrakAldatu

Argia bi dimentsioko (2D) plano batera mugatuta imajinatuko bagenu, G gertaeratik igorritako argi-sorta zirkulu batean hedatuko litzateke (argiaren abiaduran, jakina). Hau da, denborak aurrera egin ahala handitu egiten den zirkulu batek adieraziko luke argiaren ibilbidea. Hortaz, ardatz bertikalean denbora jarriz, handitzen ari den zirkulua irudikatuko bagenu, kono bat izango genuke, zeinari etorkizuneko argi-kono deritzon. Iraganeko argi-konoa, ordea, denborarekin murriztu egiten den zirkulu batek osatuko luke, G puntuan konbergitu arte. Beraz, iraganeko argi-konoa G puntuan amaitzen da, eta bertan hasten da etorkizunekoa.

Berez, hiru dimentsio espazial daude, eta ez bi; hots, 2Dko zirkuluaren ordez, argiaren ibilbideak zabaltzen edo uzkurtzen ari den esfera bat osatuko luke hiru dimentsioko (3D) espazioan. Ondorioz, dimentsio espazial guztiak kontuan hartuko bagenitu, argi-konoa kono baten lau dimentsioko bertsioa (hiperkonoa) izango litzateke, zeinaren zeharkako sekzioek 3Dko esferak osatuko lituzketen (3Dko konoaren zeharkako sekzioak 2Dko zirkuluak diren bezala). Kontua da, soilik bi dimentsio espazial kontsideratzeak kontzeptua irudikatzea erraztu egiten duela.

Historia[1]Aldatu

Galileoren espazio-denboraren testuinguruan eman ziren erlatibitate berezia garatzeko lehen urratsak. Galileoren espazio-denboraren ezaugarri nagusienetariko bat denbora absolutuaren ideia da, zeinaren arabera edozein behatzaileren ikuspegitik, aldiberekotasun plano horizontaletan dauden bi gertaeren arteko denbora-tartea beti berdina den.

Gauzak horrela, argiaren abiadura erreferentzia-sistemarekiko era independentean konstante mantendu ahal izateko, erlatibitatearen printzipioak Galileoren espazio-denbora gainditzeko beharra azaleratu zuen, zehazki, denbora absolutuaren kontzeptua gainditzekoa. Bere ordez, Minkowskiren espazio-denbora garatu zuen Albert Einsteinen irakasle izandako Hermann Minkowskik.

Garapen horretan, funtsezkoak izan ziren alde batetik Minkowskik 1908 urtean idatziriko "The Fundamental Equations for Electromagnetic Processes in Moving Bodies"[2], eta bestetik, urte berean eman zuen "Space and Time" izeneko hitzaldia[3].

 
Aldiberekotasunaren erlatibitatea: hiru erreferentzia-sistema ezberdinen ikuspegitik, A B eta C gertaerak ordena ezberdinean ematen dira.

Behin argiaren abiaduraren balioa konstante mantentzea bermatzen dela ziurtatuta, argi-konoaren kontzeptua uler daiteke. Harekin batera, aldiberekotasunaren erlatibitatea jarri zen mahai gainean: erreferentzia-sistema jakin baten ikuspegitik bi gertaera aldiberekoak baldin badira, horrek ez du zertan esan nahi beste erreferentzia-sistema batetik ere aldiberekoak izango direnik gertaerak. Hortaz, posizioa erreferentzia-sistemarekiko erlatiboa izateaz gain, denboraren erlatibitatea ere definitu zen, alboko animazioan ikusten dena. Bertan, ikus daiteke nola   abiaduraz higitzen den erreferentzia-sistemaren ikuspegitik, A, B eta C gertaerak aldiberekoak diren. Aldiz,   abiadura duen erreferentzia-sisteman, C B A ordenean ematen dira gertaerak, hau da, ez dira aldiberekoak. Azkenik,   abiaduradun erreferentzia-sistemari dagokionez, A B C ordenean jazotzen dira hiru gertaerak. Hots, aldiberekotasuna ez da absolutua. Animazioan grisez margotuta dagoen zonaldeak B gertaeraren argi-konoa adierazten du, ikusten den bezala, hiru erreferentzia-sistemetarako berdin mantentzen dena.

Eraikuntza eta zonaldeen sailkapenaAldatu

Adierazi bezala, erlatibitate bereziaren baitan, argi-konoa argi-sorta baten bilakaera deskribatzen duen gainazala da Minkowskiren espazio-denboran. 3D-ko espazioan irudikatu ahal izateko, dimentsio espazialak ardatz horizontaletan jartzen dira, eta denbora, berriz, ardatz bertikalean.

Orduan, honela eraikitzen da argi-konoa:   aldiunean igorritako argi-pultsu bat hartuko dugu G gertaeratzat. Esan bezala, G-ra argi-pultsu bat bidal dezaketen gertaera guztiek bere iraganeko argi-konoa osatzen dute; G-ren etorkizuneko argi-konoa osatzen duten gertaerek ondorengo baldintza bete behar duten bitartean: G-tik igorritako argi-pultsu bat bertara iritsi ahal izatea. Irudian ikusten den bezala, goiko konoerdia etorkizuneko argi-konoa da; eta behekoa, aldiz, iraganeko argi-konoa.

Beraz, G gertaera bat hartuz, argi-konoak espazio-denbora bost multzoetan sailkatzen du:

  • G-ren etorkizuneko argi-konoaren azalean kokaturiko gertaerak (G-tik igorritako fotoi baten eragina jasan dezaketenak).
  • G-ren iraganeko argi-konoaren azalean kokaturiko gertaerak (bertatik igorritako fotoi batek G-rengan eragin dezake).
  • G-ren etorkizuneko argi-konoaren barneko gertaerak (G-tik igorritako partikula material baten eragina jasan dezaketenak).
  • G-ren iraganeko argi-konoaren barneko gertaerak (haietatik partikula material bat igorri eta G-ren gaineko eragin bat izan dezaketenak).
  • Beste edonon dauden gertaerak, argi-konotik kanpo (ezin dute G-ren gaineko eraginik izan, ez eta bere eraginik jasan ere).
     
    Iraganeko eta etorkizuneko argi-konoak

Edozein erreferentzia-sistemaren baitan mantentzen da sailkapen hori; beste hitz batzuetan esanda, behatzaile baten arabera argi-kono baten baitan dagoen gertaera bat beste edozein behatzailerentzat ere bertan egongo da; horra hor kontzeptuaren garrantzia.[4]

Gertaeraren etorkizuneko argi-konoak G-ren etorkizun absolutua definitzen du: edozein erreferentzia-sistema inertzialen ikuspegitik, etorkizuneko argi-konoaren azalean eta barruan dauden gertaera guztiak G baino beranduagokoak dira, eta G-ren ondorio izan daitezke (bertatik igorritako seinale bat jaso dezaketelako). Gainera, konoerdi hau G gertaeratik igorritako fotoi guztien unibertso-lerroen multzoa da. Aldi berean, berau osatzen duten puntu guztien iraganeko argi-konoetan dago G.

Bestalde, gure gertaeraren iraganeko argi-konoak G-ren iragan absolutua definitzen du: edozein erreferentzia-sistema inertzialetan, beronen azalean eta barruan dauden gertaera guztiak G baino lehenagokoak dira, eta G-n eurek bidalitako seinale bat jaso daiteke. Beraz, G haien ondorio izan daiteke. Aurreko kasuaren antzera, konoerdi hau G gertaeran detektatzen diren fotoi guztien unibertso-lerroen multzoa da; eta konoerdiaren puntu osatzaile guztien etorkizuneko argi-konoetan dago G.

Argi-konotik kanpoko gertaerei dagokienez, erreferentzia-sistemaren arabera G baino lehenago, ondoren edo bere aldi berean jazo daitezke, hots, ez dago harreman kausalik haien artean: jo dezagun erreferentzia-sistema jakin baten ikuspegitik, G-ren argi-konotik kanpo dagoen A gertaera bere aurretikoa dela. Beste erreferentzia-sistema batetik, A G-ren ondorengoa izan daiteke. Beraz, bi gertaera horien arteko denbora-ordena ez da absolutua, horregatik ezin dira kausalki lotuta egon.[5]

Erreferentzia sistema jakin baten ikuspegitik kokapen ezberdinetan eta aldiune berean dauden bi gertaera, elkarren argi-konoetatik kanpo daude halabeharrez, argiak ezin baitu gertaera batetik bestera bidaiatu bat-batean, denbora jakin bat behar du. Beste behatzaile batzuen erreferentzia-sistematan, gertaera horiek aldiune eta kokapen ezberdin batzuetan egon daitezke, baina era batera edo bestera, elkarren argi-konoetatik kanpo egongo dira. Berriro ere, azpimarratzekoa da bi gertaera ez baldin badaude elkarren argi-konoetan, erlatibitatean bata bestearentzat ikusezin izango dela.

Denborak aurrera egin ahala, gertaera jakin baten etorkizuneko argi-konoak gero eta puntu gehiago bilduko ditu (zentzu batean, horregatik da hain zuzen ere, kono bat). Intuitiboa da ideia hori: zenbat eta denbora gehiago igaro, orduan eta gertaera gehiagotara irits daiteke G-tik igorritako pultsua, distantzia handiagoa zeharka ahal izan baitu ordurako argiak. Ildo berean, gertaera bat hartuz eta denboran atzera eginez, bere iraganeko argi-konoak bildutako puntu-kopuruak ere gora egingo du; zenbat eta urrunago joan iraganean, orduan eta gertaera kopuru handiagoko multzoak bidali ahal izan du G-ra iritsi den seinale bat.

Unitate-sistema bat hartuko bagenu zeinetan argiaren abiadura hutsean zehazki 1 izatea aukeratzen den (adibidez, espazioa argi-segundotan eta denbora segundotan neurtuz), eta denboraren ardatza ardatz espazialekiko ortogonalki irudikatuko bagenu, 45º-ko malda izango luke argi-konoak, espazio- eta denbora-ardatzak erdibituko bailituzke (argiak hutsean argi-segundo bat zeharkatzen du segundo batean). Gainera, edozein erreferentzia-sistema inertzialetan argiak abiadura berdina duenez, erreferentzia-sistema inertzialetako behatzaile guztiek behatuko dute 45º-ko angelua. Minkowskiren diagramen bitartez irudikatu ohi da Lorentzen transformazioen ezaugarri hori.

Kausalitatea[6]Aldatu

Hain zuzen ere, kausalitatearen baitan ondorio garrantzitsuak dakartza argi-konoaren kontzeptuak, seinale eta beste influentzia kausalek ezin baitute argiak baino azkarrago bidaiatu. Hortaz, G gertaera bat izanik, iraganeko argi-konoaren barnean (edo mugan) dauden gertaera guztiek honako hau osatuko lukete: G gertaerara seinale bat bidali ahal izan duten gertaeren multzoa, bertan nolabaiteko influentzia eragin ahal izateko denbora nahikoarekin. Iraganeko konotik kanpoko puntuek, beraz, ezin dute inolako ondorio kausalik izan G-rengan, horretarako, argiaren abiadura baino azkarrago bidaiatu behar izango lukeelako igorritako seinaleak, eta esan bezala, hori ezinezkoa da. Era berean, etorkizuneko argi-konoaren azalean edo bere barnean dauden gertaerak dira G-tik igorritako seinale bat jaso dezaketen bakarrak (haiengan seinaleak eragina izateko aukerarekin). Hortik kanpoko gertaeretara, seinaleak ezin izan dira inoiz iritsi (eta ez dira inoiz iritsiko). Ondorioz, erlatibitatean, G-ren iraganeko zein etorkizuneko argi-konoetatik kanpoko gertaerek ezin dute inolako eragin kausalik izan G-ren gainean, eta alderantziz, G gertaerak ezin du eraginik izan haien gainean. Hau da, ez dago harreman kausalik haien artean.

 
Argi-konoak banaturiko zonalde ezberdinetan kokaturiko hiru puntu: A, B eta C

Adibidez, ondoko irudian ageri den argi-konoa A gertaerarena da. Ikusten den moduan, B gertaera A-ren etorkizuneko argi-konoaren barnean dago, C gertaera argi-konotik kanpo dagoen bitartean. Hortaz, hiru puntuen arteko harreman kausalak zerrenda ditzakegu: A gertaerak eragina izan dezake B-ren gainean, partikula material batek ere eragina izan dezake beregan. Partikula material batek ere eragina izan dezake, eraikuntza eta zonaldeen sailkapena atalean aipatu den bezala, ez dagoelako argi-konoaren gainazalean, bere barnean baizik. Hortaz, A eta B gertaerek harreman kausala izan dezakete. Aldiz, A-k ezin du inolako eraginik izan C gertaeraren gainean, eta alderantziz, C-k ez du inolako ondoriorik sortuko A gertaeran, ez daude kausalki lotuta.

Definizio matematikoa erlatibitate berezian[5]Aldatu

Hurrengo ataletan zehar notazio kobariantea agertuko da.

Espazio-denborako tarteaAldatu

Bi gertaera izanik (  eta  ), diferentzia bat definituko dugu, zeinak bien arteko denbora-tartea eta posizio erlatiboa bilduko dituen:

 

Lorentzen transformazioak linealak dira, hortaz, kendurak era berean transformatzen dira:

  eta  

Bi gertaeren arteko espazio-denborako tartea defini daiteke:

 

Tarte hau positiboa, negatiboa zein nulua izan daiteke, eta bere propietate nagusia ondorengoa da: eskalarra dela. Aldaezin erlatibista denez, edozein erreferentzia-sistema inertzialetan balio bera du, hau da:

 

Bere zeinuaren arabera, hiru multzotan sailka ditzakegu espazio-denborako tarteak: espazio motako tarteak, denbora motako tarteak eta argi motako tarteak.

Argi motako tarteaAldatu

Argi motako tarteetan soilik sakonduko dugu, horiek baitira argi-konoa definitzeko behar ditugunak. Hauetan, espazio-denborako tartea anulatu egiten da, espazio-tartea ( ) eta denbora-tartea ( ) berdinak baitira bertan ( ). Hortaz,

 

Aipatzekoa da mota horretako tarteetan erlazio kausala egon daitekeela bi gertaeren artean, kausalitatearen printzipioa hondatu gabe.

Argi-konoaAldatu

Honela defini daiteke   gertaeraren argi-konoa:  -rekin batera espazio-denborako tarte nulu bat (argi motako tarte bat) osatzen duten puntuen leku geometrikoa. Esan bezala, espazio-denborako tarteak aldaezin erlatibistak direnez, edozein erreferentzia-sistema linealetan beteko da definizio hori, guztietan beteko baita   ekuazioa. Baldintza hori beste era batean formula daiteke:

 

Bi dimentsioko irudiak egiteko, dimentsio espazial bakarra hartzen da kontuan,   eginez eta argi-konoa   planoan proiektatuz. Hau da lortzen den proiekzioa:

 

Beraz, bi dimentsioko irudietan,  -ren argi-konoa   maldako bi lerro elkarzuten bidez adierazten da.

Aipatu dugun modura, argi-konoak irudikatzeko hiru dimentsioko irudiak egin ohi dira, hau da, bi dimentsio espazial hartu ohi dira kontuan.   eginez, honako ekuazioak definitzen du argi-konoa   espazioan:

 

Hiru dimentsio espazialak kontuan izanik lortu dugun adierazpen orokorrenak hiperkono bat definitzen du espazio-denboran, eta irudikatzeko garaian hiru dimentsio espazialak ez hartzearen arrazoia sinplea da, ezin dugula hiperkono bat bi dimentsio

tan marraztu.

Erlatibitate orokorrean[7][5]Aldatu

Erlatibitate bereziaren berrikuspenaAldatu

Hasteko, tentsoreen notazioarekin berrikusiko dugu argi-konoaren definizioa.

Minkowskiren espazio-denboran, metrika laua dugunez, koordenatu sistema jakin bat existitzen da, kasu honetan, Minkowskiren koordenatu-sistema, zeinetan metrika diagonala den,   balioekin. Honela idazten dira koordenatuak:

 

Lehen ikusi dugun bezala:

 

Hau forma tentsorialean berridatz daiteke:

 , non  

Koordenatu-sistema orokorrago batean:

 

Argi-konoaAldatu

Minkowskiren espazioan, bektore baten karratua honela defini ohi da:

 

Bere zeinuaren arabera, espazio motakoa, denbora motakoa edo argi motakoa (nulua) izango da. Jarritako adierazpenean, agerikoa da bektore nulu bat bere buruarekiko ortogonala dela; eta Minkowskiren espazioko P puntu batean, bektore nuluen multzoak kono nulua edo argi-konoa osatzen du.

  denbora motako bektorea Minkowskiren koordenatuetan   erara definitzen badugu, honela sailkatu ohi da:

  • Etorkizuneranzkoa,   bada
  • Iraganeranzkoa,   bada

Etorkizuneranzko denbora motako bektore guztiak etorkizuneko argi-konoaren baitan daude, iraganeranzko guztiak iraganeko argi-konoaren barnean dauden bitartean.

Denbora motako geodesikoaAldatu

Denbora motako unibertso-lerro bat ondorengoa da: kurba bat zeinaren bektore tangentea beti denbora motakoa den. Zehazki, kurba hori geodesiko bat bada, denbora motako geodesiko deritzo. Denbora motako unibertso-lerroek partikula materialek jarrai ditzaketen ibilbideak mugatzen dituzte.

Horrela, G gertaeraren argi-konoaren definizioa birformula daiteke: Gwh puntutik igarotzen diren geodesiko nulu guztien multzoa izango litzateke.

Argiaren desbideratzeaAldatu

 
Grabitazio leiar baten animazioa

Erlatibitate orokorrak zera esaten diosku, argiaren ibilbidea desbideratua izan daitekeela eremu grabitatorio baten ondorioz. Are, masak espazioa kurba dezakeela erakusten du erlatibitate orokorrak. Jon Archibald Wheeler-ek esan zuen bezala:

Materiak espazioari nola kurbatu esaten dio, eta espazioak materiari esaten dio nola mugitu.[8]

Argiak geodesiko nuluak jarraitzen ditu. Egun, badakigu kualitatiboki bat datozela behaketa esperimentalak Einteinen proposamenarekin. Horren erakusle dira grabitazio leiarrak.

Argi-konoak singularitateen inguruanAldatu

Esan bezala, behatzaileok denbora motako unibertso-lerro batean higitzen gara, zeinaren noranzkoa edozein puntutan etorkizuneko argi-konoaren baitan dagoen halabeharrez.

Hasteko, funtsezko ideia bat azpimarratuko dugu: kurbatutako espazio-denboran, argi-konoak zenbait eratara eraldatuak izan daitezke, eta baita haien orientazioa aldatu ere.

Schwarzschilden koordenatuetanAldatu

 
Schwarzschilden soluzioa, Schwarzschilden koordenatuetan (dimentsio espazial bakarra kontuan hartuz)

Alboko irudian Schwarzschilden soluzioa dago irudikatuta dimentsio espazial bakarrarekin, Schwarzschilden koordenatuetan. Honako hau dugu Schwarzschilden soluzioa:

 

Zenbait ondorio interesgarri ikus daitezke bertan. Espero genezakeen bezala,   oso handietarako, geodesiko nuluek  -ko angeluak osatzen dituzte gure ardatzekin, soluzioa asintotikoki laua baita. Ezkerreko sekzioan, singularitatetik gertu, argi-kono lokalak inklinatu egiten dira, esan daiteke   eta   koordenatuek haien artean izaera trukatu egiten dutela. Ezkerreko zonaldean, behatzaile batek ezin du denboran  -ren balio konstante bat izan, singularitate intrintsekorantz mugitzera dago kondenatuta, zonalde horretako etorkizuneko argi-konoetan ikus daitekeen bezala. Diagrama honen arabera, badirudi eskuineko zonaldean dagoen eta singularitaterantz higitzen ari den behatzaile batek denbora infinitua beharko lukeela irudian seinalatuta dagoen Schwarzschilden erradiora iristeko. Baina, diagrama honek engainua eragiten du:   handietan dagoen behatzaile batentzat,   koordenatua erabilgarria da, eta esanahi fisikoa dauka; bere ikuspegitik, singularitatera hurbiltzen ari den gorputz batek denbora infinitua beharko du Schwarzschilden erradiora iristeko. Baina, erradialki hurbiltzen ari den gorputzaren ikuspegitik, bai Schwarzschilden erradiora zein  -ra irits daiteke denbora finituan.

Beraz, Schwarzschilden   koordenatua desegokia dela ondoriozta daiteke (higidura honen deskribapenean).

Beste koordenatu batzuen beharra: Eddington eta Finkelsteinen koordenatuakAldatu

Ideia sinplea da: denbora-koordenatu berri bat aukeratuko dugu, zeinetan singularitaterantz zuzendutako geodesiko nulu erradialak lerro zuzenak bilakatzen diren.

Ondorengo aldaketa eginez,

 

Honako soluzioa lortzen dugu (  Scharzschilden soluzioan sartuz):

 

Soluzio hau erregularra da   denean, eta koordenatuak egokiak diren zonaldea   tartera handitu da (  ordez). Koordenatu hauetan, espazio-denborako diagramak itxura ezberdina hartzen du, irudian ikusten den moduan.   oso handietan, argi-konoek, aurreko kasuan bezala,  -ko angelua osatzen dute. Kasu honetan, argi-konoen ezkerreko aldeari erreparatuz (gorriz, irudian) ikusten da   ardatzarekiko  -ko angelua osatzen dutela guztiek. Aldiz, eskubiko aldeei dagokienez (urdinez),  -etan hasten dira   handietan, baina barrurantz inklinatzen dira   txikiagotu ahala (  denean, bertikala da, eta hortik aurrera, ezkerrera inklinatutakoa). Azpimarratzekoa da   denean, kanpora doazen fotoiak dauden lekuan mantentzen direla.

Gertaera-horizonteaAldatu

  gainazalak alde bakarreranzko mintz baten papera jokatzen du: etorkizuneranzko denbora motako kurbak eta kurba nuluak soilik kanpotik barrura igarotzen utziz. Etorkizuneranzko kurba nulu batek ere ezin du ihes egin bertatik. Beraz, honelako gainazalek gertaera-horizonte izena hartzen dute. Ondorengoa adierazten dute: kanpoko behatzaile inertzial batek beha dezakeenaren muga. Absolutua da gertaera-horizonte hori.

Zulo beltzakAldatu

Oso labur azalduta, hurrengo egoeran sortzen dira zulo beltzak; izarren kolapsoa hain handia denean zeinen eta efektu grabitatorioek barneko presioarenak gainditzen dituzten.

Izarrak guztiz esferiko dirauen bitartean, kanpoko eremua Schwarzschilden soluzioak ematen digu. Demagun kolapsatzen ari den izarraren gainazalean behatzaile bat dagoela, denbora-tarte erregularretan seinaleak igortzen (bere ikuspegitik). Orduan, urruneko behatzaile batek gero eta denbora tarte handiagoarekin jasoko ditu seinaleak.   denean bidalitako seinaleak ez du inoiz bertatik ihes egitea lortuko, eta horren ondoren igorritako guztiak singularitaterantz erakarriak izango dira. Urruneko behatzaileak itxaroten duen denbora edozein delarik ere, ez du lortuko izarra nolakoa den ikustea justu izarrak Schwarzschilden erradioa izatera iritsi aurretiko momentuaz geroztik. Praktikan, hala ere, urruneko behatzaileak denbora gutxi barru ezin izango du izarraren gainazala ikusi ere egin, gorriranzko lerrakuntza handiaren ondorioz.

Zulo beltzen, edo kolapso grabitatorioaren, inguruko argi-konoen bilakaera ikus daiteke alboko irudian, emandako azalpena bisualki ikusteko helburuz.

ErreferentziakAldatu

  1. «The Light Cone: Einstein-Minkowski Spacetime» web.archive.org 2006-12-05 (Noiz kontsultatua: 2022-05-21).
  2. Minkowski, Hermann. The Fundamental Equations for Electromagnetic Processes in Moving Bodies. (Noiz kontsultatua: 2022-05-22).
  3. Minkowski, Hermann. Space and Time. (Noiz kontsultatua: 2022-05-22).
  4. «Paradox of Special Relativity» jila.colorado.edu (Noiz kontsultatua: 2022-05-21).
  5. a b c Aguirregabiria, Juan María. (2017). Grabitazioa eta Kosmologia. Universidad del País Vasco, ISBN 978-84-9860-710-9..
  6. Cox, Brian. (2009). Why does E=mc2 : (and why should we care?). Da Capo Press ISBN 978-0-306-81758-8. PMC 246894061. (Noiz kontsultatua: 2022-05-21).
  7. D'Inverno, Ray. (1992). Introducing Einstein's relativity. ISBN 0-19-859686-3. PMC 24067309. (Noiz kontsultatua: 2022-05-23).
  8. Wheeler, John Archibald. (2000). Geons, black holes, and quantum foam : a life in physics. (1st pbk. ed. argitaraldia) Norton ISBN 0-393-31991-1. PMC 43618489. (Noiz kontsultatua: 2022-05-23).

Kanpo estekakAldatu