Talesen teorema (elkarketa)

Artikulu hau elkarketaren teoremari buruzkoa da; Talesen beste teoremari buruzkoa beste hau da: «Talesen teorema (zirkulua)».
Thales theorem 3.svg

Talesen teorema edo elkarketaren teoremaingelesez, teorema hau Intercept theorem izenarekin da ezaguna— Geometriako oinarrizko teorema bat da, eta hau dio:

Eman ditzagun hiru zuzen paralelo. Beste bi zuzen ebakitzailek (d eta d') mozten badituzte, d lerroko zuzenkiek ( eta ) eta d' lerrokoek ( eta ) proportzionaltasuna gordetzen dute:


Geometria klasikoan, bi teorema daude Talesen teorema izena daukatenak: bata hau da, Talesen teorema (elkarketa); eta bestea, Talesen teorema (zirkulua). Uste da Tales Miletokoa K. a. VI. mendeko greziar matematikari eta filosofoak formulatu zituela bi teorema horiek, eta berarengandik datorkie izena.

Lehenengoa (elkarketaren teorema) artikulu honen gaia da, eta azaltzen du nola eraiki triangelu baten beste triangelu antzeko bat ("antzeko triangeluek angelu berdinak dituzte").

Bigarrenak (zirkuluarena), aldiz, triangelu zuzenen zirkunzentroen funtsezko berezitasun bat argitzen du ("hipotenusaren erdigunean dago zirkunzentroa"), marrazketa geometrikoan angelu zuzenak eraikitzeko erabiltzen dena.

Triangelu isoszeleek bi angelu berdin dituztela frogatzeko erabili zituen Talesek emaitza horiek, bai eta triangelu baten hiru angeluen batura bi angelu zuzen dela ere.


FormulazioaAldatu

Demagun S bi lerroren elkargunea dela, eta A, B, lehen lineak bi paraleloekin dituen elkarguneak. Hala, B S-tik A-tik baino urrutiago dago, eta, era berean, C, D bigarren lineak bi paraleloekin dituen elkarguneak dira, D S-tik C-tik urrutiago baitago.

  1. Lehenengo lerroan bi segmenturen arteko erlazioa eta bigarren lerroan adostasun-segmentuen erlazioa berdinak dira: ,  ,  
  2. S-n hasten den lerro bereko bi segmentuen erlazioa eta paraleloetako segmentuen erlazioa berdinak dira: 
  3. Lehenengo esaldikoaren kontrakoa ere egia da, hau da, bi lerro arbitrariok elkar ebakitzen badute eta   eusten baditu, bi intertzeptazio paraleloak dira. Hala ere, bigarren baieztapenaren aurkakoa ez da egia.
  4. S-n bi lerro baino gehiago ebakitzen baditu, paraleloan dauden bi segmentuen arteko erlazioa bat dator beste paraleloan dauden hitzarmen-segmentuen erlazioarekin: ,  

Talesen lehen teoremak lerroen sekzioen proportzioak erakusten ditu; bigarrenak, lerroen sekzioen proportzioak, eta paraleloen sekzioak; azkenik, hirugarrenak paraleloen sekzioen proportzioak erakusten ditu.

Lotutako kontzeptuakAldatu

Antzekotasuna eta antzeko triangeluakAldatu

 
Antzeko bi triangelu ordenatuz, Talesen teorema aplikatu ahal izateko

Talesen teoremak lotura estua du antzekotasunarekin. Antzeko triangeluen baliokidea da, hau da, antzeko triangeluen eta antzeko triangeluen propietateak probatzeko erabil daiteke, Talesen teorema probatzeko. Angelu berdinak parekatzean, elkarren antzeko bi triangelu jar daitezke beti, Talesen teorema aplikatzen den konfigurazioa lortzeko; eta, kontrara, Talesen teoremaren konfigurazioak beti antzeko bi triangelu ditu.

Biderketa eskalarra bektore-espazioetanAldatu

Bektore-espazio normalizatu batean, biderketa eskalarrari buruzko axiomek (bereziki   eta  ) bermatzen dute Talesen teorema mantentzen dela. Batek  du.

 

AplikazioakAldatu

Konpas eta erregela eraikuntzen formulazio aljebraikoaAldatu

Oinarrizko geometrian hiru problema ezagun daude, eta grekoek planteatu zituzten konpas eta eskuairarekin eraiki daitezkeenei dagokionez:[1]

  1. Angeluaren trisekzioa
  2. Kuboa bikoiztea
  3. Zirkuluaren koadratura

2000 urte baino gehiago iraun zuten, eta azkenean hirurak ezinezkoak agertu ziren XIX. mendean emandako tresnekin, denbora horretan eskuragarri zeuden metodo aljebraikoak erabiliz. Aljebrako terminoetan birformulatzeko, gorpoutz-eragiketak eta konpasa eta eskuaira konbinatu behar dira. Bereziki, garrantzitsua da bi linea-segmentu jakinetarako linea-segmentu berri bat eraiki ahal izatea, haien luzera beste bien luzeren biderkaduraren berdina izan dadin. Era berean,  luzera-lerroko segmentu baterako,   luzera-lerroko segmentu berri bat eraiki behar da. Bi kasuetan eraikuntza hori posible dela erakusteko erabil daiteke intertzeptazio-teorema.

Produktu bat eraikitzea 

Alderantzizkoa eraikitzea 

Lerro-segmentu bat proportzio jakin batean zatitzeaAldatu

Lerro arbitrarioko   segmentu bat proportzio batean zatitzeko, marraztu angelu arbitrario bat An  hanka batekin. Beste hankan   puntu distantziakideak eraiki, eta, gero, mgarren puntuaren bidez lerroa marrazten da azkeneko puntutik eta B puntutik, eta mgarren puntutik lerro paraleloa egiten da. Lerro paralelo hori nahi den proportzioan   banatzen du. Eskuinean dagoen grafikoak   linea-segmentu baten zatiketa erakusten du   proportzio batean.

Neurketa eta azterketaAldatu

Keops piramidearen altueraAldatu

 
neurketa-piezak
 
C eta D kalkulatzea

Zenbait iturri historikoren arabera, Tales matematikari grekoak Gizako piramide handiaren altuera zehazteko teorema gurutzatua aplikatu zuen. Piramidearen altuera kalkulatzeko intertzeptazio-teoremaren erabilera erakusten du hurrengo deskribapenak. Hala ere, ez du kontatzen Talesen jatorrizko lana, galdu egin baitzen.

Talesek piramidearen oinarriaren luzera eta makilaren altuera neurtu zituen. Gero, eguneko ordu berean, piramidearen itzalaren luzera eta makilaren itzalaren luzera neurtu zituen. Datu hauek eman zituen horrek:

  • makilaren altuera (A): 1,63 m
  • makilaren itzala (B): 2 m
  • piramidearen oinarriaren luzera: 230 m
  • piramidearen itzala: 65 m

Hortik konputatu zuen berak

 

A, B eta C ezagututa, orain gai izan zen konputatzeko teorema gurutzatua aplikatzeko

 

Ibai baten zabalera neurtzeaAldatu

Talesen teorema zuzenean neurtu ezin den distantzia zehazteko erabil daiteke, hala nola ibai baten edo laku baten zabalera, eraikin altu edo antzekoen altuera. Eskuinaldeko grafikoak ibai baten zabaleraren neurketa erakusten du.  ,   eta  segmentuak neurtu eta erabili egiten dira nahi den distantzia kalkulatzeko. 

Lerro paraleloak triangeluetan eta trapezoideetanAldatu

Talesen teorema erabil daiteke frogatzeko eraikuntza jakin batek lerro paraleloak (segmentua)s sortzen dituela.

Triangeluaren bi aldeetako batez besteko puntuak konektatuta badaude, ondoriozko lerro-segmentua triangeluaren hirugarren aldearekiko paraleloa da (triangeluen erdiko puntuaren teorema).

Trapezoide baten bi alde ez-paraleloen erdiko puntuak konektatuta badaude, trapezoidearen beste bi aldeekiko paraleloa izango da linea-segmentua.


Jakindun logoa.png
Ariketak
Aldatu

ErreferentziakAldatu

  1. Kazarinoff, Nicholas D.. (2003). Ruler and the Round. Dover, 3 or. ISBN 0-486-42515-0..

BibliografiaAldatu


Kanpo estekakAldatu