Talde simetriko

Elementu-kopuru finitua duen multzo baten permutazio guztiek eta eragiketa gisa permutazioen konposizioak osatutako taldea; Sn idazten da eta n! elementu ditu.

Matematikan X multzoaren talde simetrikoa, deitua, Xtik bere bururako funtzio bijektiboz (permutazioak) osaturiko taldea da. [1]

4 graduko talde simetriko baten Cayley-ren grafoa ()

X multzo finitu bat denean, -ren azpitaldeei permutazio talde deritze. Cayley-ren teoremak egiaztatzen du G talde guztiak permutazio talde (hau da: simetrikoaren azpitalde bat) batetiko isomorfoak direla.

X={1,…,n} multzo finituaren talde simetrikoa, Sn moduan adierazia, garrantzi berezikoa da. taldea n! ordenakoa da [1] eta ez da abeldarrra n≥3-rentzat.

Permutazioen osaketa

aldatu

Permutazio bat adierazteko hainbat forma daude. Permutazio bat σ matrize modura idatz dezakegu, lehenengo ilaran dominioko elementuak 1, 2, 3… kokatuz, eta bigarrenean beraien irudiak σ(1), σ(2), σ(3)…

Bi permutazio edukita, beraien osaketa, funtzioen konposaketako ohiko arauei jarraituz burutzen da [1]:

Baldin      eta    

beraien konposaketa:  

Konposaketaren kalkulua bistaz jarraitu daiteke, funtzioen konposaketa eskuinetik ezkerrera egiten dela gogoratuz:

 

Taldearen aurkezpena

aldatu

Sortzaileak

aldatu

Gogoratu transposizioa bi elementu trukatzen dituen eta besteak finkatuko dituen permutazio bat dela. Permutazio guztiak transposizioetako osagai gisa deskonposatzen dira. Modu honetara, transposizioen multzoak   sistema sortzailea osatzen du. Baina sistema hori are gehiago murrizten da,   motako transposizioetara mugatuz. Izan ere, i<j izanik, edozein transposizio deskonposatu dezakegu honela:

 

Oinarrizko erlazioak

aldatu

Sortzaile hauek, talde simetrikoaren aurkezpen bat egitea baimentzen digute, erlazio hauekin batera:

  •  
  •  
  •  

Beste sortzaile batzuk

aldatu

Sortzaileen sistemak bezala erabili daitezke:

  • (1 i) formako transposizioak, non i>1.
  • Bi sortzailez soilik osatutako multzoa: σ=(1 2) transposizioa eta c=(1 2 ... n) zikloa.

Konjugazio klaseak

aldatu

Gogora gaitezen, permutazio oro ziklo disjuntuen osagai gisa deskriba daitekeela, eta deskonposizio hau bakarra da, faktoreen ordenean izan ezik.   konjugazio klaseak zikloetako deskonposizio horren egiturari dagozkio: bi permutazio konjugatuak dira   –n, baldin eta soilik baldin, luzera eta kopuru bereko ziklo disjuntuen konposizio gisa lortzen badira. Adibidez,  -en, (1 2 3)(4 5) eta (1 4 3)(2 5) konjugatuak dira, baina (1 2 3)(4 5) eta (1 2)(4 5) ez.

  taldeak, hiru osagaiko 6 permutazioz osatuak, hiru konjugazio klase ditu, bere osagaien zenbakiekin zerrendatuak:

  • Identitatea (abc →abc) (1)
  • Bi osagai trukatzen dituzten permutazioak (abc→acb, abc→bac, abc→cba) (3)
  • Hiru osagaien permutazio ziklikoak (abc→bca, abc→cab) (2)

  taldea, 4 osagairen 24 permutazioz osatua dago, eta 5 konjugazio klase ditu:

  • Identitatea (1)
  • Bi osagai trukatzen dituzten permutazioak (6)
  • Hiru osagaien permutazio ziklikoak (8)
  • Lau osagairen permutazio ziklikoak (6)
  • Bi elementu elkar trukatzen dituzten eta gainerako biak ere trukatzen dituzten permutazioak (3)

Orokorrean,   konjugazio klase bakoitzari n-ren partizio oso bat dagokio eta Young-en diagramaren bidez irudikatu izan ahalko da. Horrela, adibidez, 4ren bost partizioak, aurretik zerrendatutako bost konjugazio klaseei dagozkie:

  1. 1+1+1+1
  2. 2+1+1
  3. 3+1
  4. 4
  5. 2+2

Taldearen ordezkaritza

aldatu

Permutazio bakoitzari bere permutazio matrizea elkartzen badiogu, orokorrean murriztezina den ordezkaritza bat lortzen dugu. [2]

Erreferentziak

aldatu

Kanpo estekak

aldatu
  1. a b c (Ingelesez) Jacobson, Nathan. (2009). Basic algebra, 1 (2nd ed.). Dover ISBN 978 0 486 47189 1..
  2. (Ingelesez) Sternberg, Shlomo. (1994). Grupo Theory and Physics.. Cambridge University Press ISBN 0 521 24870 1..