Geometria ez-euklidear

Geometria ez-euklidearra Euklidesek bere Elementuak tratatuan ezarritako postulatuak eta proportzioak betetzen ez dituen geometriako edozein sistema formali deitzen zaio. Ez da geometria ez-euklidear bakarra existitzen; asko existitzen dira.

Espazio homogeneotara mugatzen bagara hiru geometria bereizten dira: geometria hiperbolikoa, geometria euklidearra eta geometria eliptikoa.

Espazio homogeneoetara mugatzen bagara, hau da, espazioko puntu bakoitzean kurbadura berdina duten espazioez ari bagara, hiru geometria  bereizten dira: geometria euklidearra, geometria eliptikoa eta geometria hiperbolikoa. Geometria horien arteko desberdintasunak deskribatzeko modu bat ondokoak kontsideratuz lortzen da: plano bidimentsional batean bi lerro zuzen hartu; eta erreferentzia bezala, horiekiko “perpendikularra” den beste lerro zuzen bat irudikatu.

• Geometria euklidearrak Euklidesen bost postulatuak betetzen ditu eta bere kurbadura zero da. Geometria honetan bi lerroak distantzia berera mantentzen dira beti, eta paralelo izena hartzen dute.Triangelu baten barneko hiru angeluen baturak 180° ematen du beti.

• Geometria eliptikoak Euklidesen lehenengo lau postulatuak betetzen ditu eta kurbadura negatiboa du. Geometria honetan bi lerroak ez dira distantzia berera mantentzen. Erreferentziatzat hartutako lerroarengandik urrundu ahala lerroen arteko distantzia handitu egiten da. Ondorioz, triangelu baten barneko hiru angeluen batura beti 180° baino txikiagoa da.

• Geometria hiperbolikoak Euklidesen lehenengo lau postulatuak betetzen ditu eta kurbadura positiboa du. Geometria honetan ere lerroak ez dira distantzia berera mantentzen. Erreferentziatzat hartutako lerroarengandik urrundu ahala lerroen arteko distantzia txikiagotu egiten da. Ondorioz, triangelu baten barneko hiru angeluen batura beti 180° baino handiagoa da.

Hauek guztiak Riemannen geometrien kasu partikularrak dira. Hala ere, geometriaren kurbadura intrintsekoa puntu batetik bestera aldatzeko aukera onartzen bada, Riemannen geometriaren kasu orokor bat lortzen da, erlatibitate orokorraren teorian gertatzen den bezala.

Historia

Geometria ez-euklidearraren lehen ideia geometria hiperbolikoa izan zen. Hasiera batean Immanuel Kant filosofoak teorizatu zuen honetaz, eta XIX. mendetik aurrera beste hainbat autore formalizatzen hasi ziren, hala nola Carl Friedrich Gauss, Nikolái Lobachevski, János Bolyai, Eugenio Beltrami eta Ferdinand Schweickard.

Horrela, geometria ez-euklidearraren garapena Euklidesen bosgarren postulatua (edo paraleloen postulatua)  betetzen ez zuten eredu esplizituak eraikitzeko sortu zen.

Geometria euklidearra lehendik garatu zuten arren,  Euklidesen Elementuak lanean aurkeztu zen lehen aldiz. Hainbat mende pasa eta gero, Euklidesen postulatuak baino harago joanda, Immanuel Kant-ek, 1746. urtean argitaratu zuen lehen lanean («Indar bizien benetako estimazioen inguruko pentsamenduak»), hiru dimentsio baino gehiagoko espazioak aztertu zituen. Kant-ek ikertu zituen geometria posible horiek dira gaur egun hiru dimentsio baino gehiagoko geometria ez-euklidear izenez ezagutzen ditugunak.

Bestalde, antzinatik kontsideratu zen Euklidesen liburuko bosgarren postulatua ez zela aurreko laurak bezain argia. Izan ere, zuzen paraleloak infiniturantz luzatzerakoan inoiz ebakiko ez direla onartzeak gogoeta abstraktu baten beharra eskatzen du. Arrazoi honengatik, mende askotan zehar, beste lau postulatuetatik abiatuta bosgarren postulatua frogatzen saiatu ziren absurdora eramanez. Alabaina, absurdora iritsi beharrean, euklidearrak ez ziren zentzuzko geometriak aurkitu zituzten. Horrela sortu zen lehen geometria ez-euklidearra: hiperbolikoa.  

Kurbadura konstanteko geometriak

Geometria hiperbolikoa

XIX. mendearen hasieran, eta modu independentean, Gaussek (1777-1855), Lobachevskyk (1792-1856), János Bolyaik eta Ferdinand Schweickardek geometria hiperbolikoa eraikitzea lortu zuten, Euklidesen bosgarren postulatua ukatu eta kontraesana lortzen saiatuz. Kontraesana lortu ordez, geometria bitxi bat lortu zuten, non triangelu baten hiru angeluek 180º baino gutxiago batzen zuten (geometria euklidearrean, edozein triangeluren angeluek 180º batzen dute beti).

Geometria horren naturaltasuna mendearen amaieran berretsi zen. Beltramik frogatu zuen geometria hiperbolikoa bat datorrela gainazal jakin baten geometria intrintsekoarekin, eta Klein-ek geometria hiperbolikoaren interpretazio proiektiboa eman zuen. Bi emaitzek frogatzen dute geometria euklidearra bezain tinkoa dela (hau da, geometria hiperbolikoak kontraesanen batera eramaten badu, orduan geometria euklidearrak ere bai).

Batzuek diote Gauss izan zela lehena Unibertsoaren geometria ez-euklidearra izan zitekeela kontsideratzen. Izan ere, geometria hiperbolikoan edozein triangeluren angeluen batura bi angelu zuzen baino txikiagoa dela jakinik, Gauss teodolito batekin hiru mendiren gailurrera igo zela esaten da. Hala ere, bere tresneriaren zehaztasuna ez zen nahikoa izan esperimentu horren bidez zalantzak argitzeko.

Geometria eliptikoa

Geometria eliptikoa kurbadura konstanteko bigarren geometria mota da. Honen adibide bat kurbadura positiboa eta konstantea duen Riemannen barietate bat da. Geometria eliptikoaren modelo klasikoa n dimentsiotan n-esfera da.

Geometria eliptikoan, lerro geodesikoek geometria euklidearreko lerro zuzenen antzeko zeregina dute, desberdintasun garrantzitsu batzuekin. Bi punturen arteko gutxieneko distantzia lerro geodesiko baten bidez emanda egon arren,  kurbadura minimoko lerroak ere badira.

Euklidesen bosgarren postulatua ez da baliozkoa geometria eliptikorako. Izan ere, geometria horren "zuzen" bat (hau da, lerro geodesiko bat) eta bertan ez dagoen puntu bat emanda, ezin da lehenengoa ebakitzen ez duen geodesikorik marraztu.

Geometria euklidearra

Ikuspuntu orokorretik abiatuta, beraz, geometria euklidearra, geometria eliptikoaren eta geometria hiperbolikoaren arteko muga-kasu bat da. Izan ere, geometria euklidearra kurbadura nuluko geometria da. Horrela, frogatu daiteke kurbadura nulua duen edozein espazio geometriko (edo Riemannen edozein barietate) eta espazio euklidearra lokalki isometrikoak direla. Hortaz, bi aukera posible daude kurbadura nulua duen espazio geometriko batentzat: espazio euklidearra edo bere zati baten berdina izatea.

Alderdi matematikoak

Kurbadura konstanteko Riemannen kurbadura-tentsorea ondorengo adierazpenaren bidez emanda dago:

$R_{ijkl}=C(g_{il}g_{jk}-g_{ik}g_{jl})$

non $g_{ij}$ kurba koordenatuen bidez adierazitako metrika tentsorea den. $R_{ij}$ Ricci-ren tentsorea eta $S$ kurbadura eskalarra  metrika tentsorearekiko eta kurbaturearekiko proportzionalak dira, hurrenez hurren:

$R_{ij}=(n-1)Cg_{ij}$ , $S=n(n-1)C$ non $n$ espazioaren dimentsioa den.

Beste alderdi interesgarri bat da, bai geometria hiperbolikoan, bai eliptiko homogeneoan espazio osoko isometria-taldea ${\frac {n(n+1)}{2}}$ dimentsioko Lie-ren talde bat dela. Hau $n$ dimentsioko espazio euklidear bateko isometria-taldearen dimentsioarekin bat dator (nahiz eta hiru taldeak desberdinak izan).

Kurbadura konstantea ez duten geometriak

Riemannen geometria orokortua

Gaussek proposatuta, Riemannenek geometriaren hipotesiari buruz lan egin zuen. Bere tesian, infinitesimalki (hau da, eskualde oso txikietan) euklidearrak diren geometria posibleak hartzen ditu kontuan Riemannek, eta horreratik haien azterketa gaur egun Riemannen geometria izenez ezagutzen da. Geometria horiek, oro har, ez dira homogeneoak. Hau da, espazioaren propietate batzuk puntu batetik bestera alda daitezke, batez ere kurbaduraren balioa.

Geometria horiek aztertzeko, Riemannek kurbadura-tenkagailuaren formalismoa erabili zuen, eta frogatu zuen geometria euklidearra, geometria hiperbolikoa eta geometria eliptikoa Riemannen geometrien kasu partikularrak direla, kurbadura-tentsioaren balio konstantez karakterizatuak. Riemannen geometria orokor batean, kurbadura-tenkagailuak balio aldakorrak izango ditu geometria horretako zenbait puntutan.

Horren ondorioz, geometria ez da homogeneoa, eta puntu batzuk besteetatik bereizteko aukera ematen du. Hori garrantzitsua da erlatibitate orokorraren teorian; izan ere, printzipioz, distantziak eta angeluak neurtzeko esperimentuak egin daitezke, espazioko puntu batzuk besteetatik bereizteko.

Azkenik, Riemannen geometriaren alderdi interesgarri bat da, kurbadura konstantea ez bada, espazioko isometria-taldearen dimentsioa erabat txikiagoa dela honako hau baino: ${\frac {n(n+1)}{2}}$, $n$ espazioaren dimentsioa izanik. Erlatibitate orokorraren arabera, materiaren banaketa oso irregularra duen espazioko denbora batek zero dimentsioko isometria tribilialeko talde bat izan lezake.

Espazio-denboraren geometria eta erlatibitate orokorraren teoria

Riemannen ideietan eta emaitzetan oinarrituta, Einsteinek 1920.urtearen inguruan, erlatibitate orokorraren teorian, unibertsoaren egitura geometrikoaren auziari heltzen dio. Bertan erakusten du espazio-denboraren geometriak kurbadura duela: hain zuzen ere, eremu grabitatorio bezala ezagutzen dena. Grabitatearen eraginez, gorputzek ahalik eta lerrorik zuzenenak jarraitzen dituzte dagokien geometrian. Lerro horiei  geodesikoak deritze.

Gainera, Einsteinen ekuazioak adierazten duen moduan, behatzaile bakoitzarentzat, espazioaren batez besteko kurbadura eta behatutako dentsitatea bat datoz, faktore konstante batean izan ezik. Horrela, Gaussen ikuspegia  betetzen da: “grekoek egindako geometria-espazioaren egitura infinitesimala da; egitura geometriko hori orokortzean, kurbadura du”.

Ezohiko propietateak

Geometria euklidearrak eta ez-euklidearrak antzeko propietate asko dituzte; bereziki, paralelismoaren izaerarekin zerikusirik ez dutenak. Halaber, geometria bat besteengandik desberdintzen duten propietateei eman izan zaie garrantzi gehien historian zehar.

Lerroek ohiko perpendikularrarekiko duten portaeraz gain, ondorengo kasuak ere badaude:

• Lamberten laukia hiru angelu zuzen dituen laukizuzen bat da. Lamberten lauki baten laugarren angelua zorrotza da, geometria hiperbolikoa bada; zuzena, geometria euklidearra bada; eta kamutsa, geometria eliptikoa bada. Ondorioz, geometria euklidearrean soilik existitzen dira laukizuzenak (postulatu paraleloaren baliokidea den adierazpen bat).

  

  Lamberten laukia

• Saccheriko laukizuzena luzera bereko bi alde dituena da, biak “oinarria” deituriko aldearekiko perpendikularrak. Beste bi angeluei “gailurraren angeluak” deritze, eta neurri bera dute. Hauek zorrotzak dira, geometria hiperbolikoa bada; zuzenak, geometria euklidearra bada; eta kamutsak, geometria eliptikoa bada.

Edozein triangelutako angeluen neurrien batura 180° baino txikiagoa da, geometria hiperbolikoa bada; 180°  da, geometria euklidearra bada; eta 180° baino handiagoa, geometria eliptikoa bada. Triangelu baten “errorea” (180° – triangeluaren angeluen neurrien batura) geometria hiperbolikoan positiboa da, euklidearrean zero eta eliptikoan negatiboa.

Bibliografia

• N. A'Campoy A. Papadopoulos (2012) Notes on hyperbolic geometry, in: Strasbourg Master class on Geometry, pp. 1-182, IRMA Lectures in Mathematics and Theoretical Physics, Vol. 18, Zürich: European Mathematical Society (EMS), 461 pages, SBN ISBN 978-3-03719-105-7, DOI 10.4171/105.
• Anderson, James W. Hyperbolic Geometry, second edition, Springer, 2005
• Blumenthal, Leonard M. (1980), A Modern View of Geometry, New York: Dover, ISBN 0-486-63962-2.
• H. S. M. Coxeter (1942) Non-Euclidean Geometry, University of Toronto Press, reissued 1998 by Mathematical Association of America, ISBN 0-88385-522-4.
• Jeremy Gray (1989) Ideas of Space: Euclidean, Non-Euclidean, and Relativistic, 2nd edition, Clarendon Press.
• Manning, Henry Parker (1963), Introductory Non-Euclidean Geometry, New York: Dover.
• Milnor, John W. (1982) Hyperbolic geometry: The first 150 years, Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) Volume 6, Number 1, pp. 9-24.
• John Stillwell (1996) Sources of Hyperbolic Geometry, American Mathematical Society ISBN 0-8218-0529-0.

Ikus, gainera

• Geometria euklidear
• Riemannen geometria

Kanpo estekak

• Datuak: Q233858
• Multimedia: Non-Euclidean geometry / Q233858