Penrose diagrama

Fisika teorikoaren arloan piktorikoki espazio-denbora bat adierazterakoan bi arazo daude:

• Espazio-denbora 4 dimentsioko barietatea da.  Simetriak egotekotan, hauek erabil ditzakegu 2 dimentsioko azpibarietatea adierazteko. Adibidez, esferikoki simetrikoa den espazio-denbora batentzat, 2-esfera bateko puntu guztiak baliokideak dira eta diagrama bateko puntu bakar baten bidez adieraz daitezke.
• Espazio-denboraren koordenatuak infinituraino iristen dira. Hori konpontzeko, espazio fisikoaren ordez espazio-denbora ez-fisiko bat (gure diagrama) erabil daiteke, lehenengoaren araberakoa.

Minkowskiren espazio-denbora infinitu baten Penrose-n diagrama. Bi dimentsio espazial ezabatzen ditu eta eskualde finitu batean (kasu honetan diamante itxurakoa) gainerako dimentsioak biltzen ditu transformazio konforme baten efektuaren bidez.

Bi problema horiek diagrama konformeak, Penrose-Carter diagramak edo Penrose-n diagramak gisa ezagutzen diren diagramekin konpontzen dira. Bi dimentsioko diagramak dira, espazioaren eta denboraren arteko erlazio kausalei buruzko informazioa gordetzen dutenak eta diagrama finituetan eskualde amaigabeak irudikatzeko aukera ematen dutenak. Horretarako, puntuen arteko distantziei buruzko informazioa sakrifikatzen dute. Penrose-Carterren diagramen metrika bat dator irudikatzen duten espazio-denboraren metrika errealaren bi dimentsioko murrizketarekin. Faktore konformea aukeratzean, espazio-denbora guztia dimentsio finituen diagrama batean proiektatzen da. Irudi berriaren muga ez da jatorrizko espazio-denboraren parte izango, baina haren propietate asintotikoak eta singularitateak aztertzeko aukera emango du.

Roger Penrose fisikari eta matematikariaren omenez horrela deitua, 1962an lehen aldiz erabiltzeagatik eta Brandon Carter lankidearengatik, 1966ean Penrose-Carterren diagramak sistematizatu zituena, Minkowskiren espazio-denborarekin hainbat ezaugarri partekatzen dituzte: 45º-ko lerro zeiharrak argiaren ibilbideei dagozkie, dimentsio bertikalak denborazko koordenatua adierazten du eta, bestetik,  horizontalak dimentsio espazialak.

Zulo beltzak

Penrose-n diagramak sarritan erabiltzen dira zulo beltzak dituzten espazio-denbora ezberdinen egitura kausala adierazteko. Singularitateak espazio motako mugatzat hartzen dira, espazio-denbora diagrama konbentzionaletan aurkitzen den denbora motako muga ez bezala. Hau gertatzen da zulo beltz baten gertaeren mugaren barnean denbora- eta espazio-koordenatuak trukatzeagatik (gertaeren mugaren barnean espazioa norabide bakarrekoa da eta hortik kanpo, berriz, denbora da norabide bakarrekoa). Singularitatea denbora motako muga baten bidez errepresentatzen da argi uzteko objektu batek gertaeren muga zeharkatuz gero, ezinbestean joko duela singularitatea, nahiz eta ihes egiten saiatu.

Penrose-n diagramak askotan erabiltzen dira Schwarzschild-en zulo beltzaren soluziorik ezagunenean, bi unibertso ezberdin lotzen dituen Einstein-Rosen zubi hipotetikoa irudikatzeko. Penrose diagramen aitzindariak Kruskal-Szekeres izenekoak izan ziren (Penrose-n diagramak Kruskal eta Szekeres-en diagramari zulotik urrun dauden espazio-denbora lauko eskualdeen karraskatze konformala gehitzen dio). Hauek gertaeren muga 45^o -ko angeluetan orientaturiko iraganeko eta etorkizuneko mugekin lerrokatzeko metodoa aurkeztu zuten (Schwarzschild-en erradiotik berriro espazio-denbora lauera bueltatzeko argia baino azkarrago bidaiatu beharko litzatekeelako); eta singularitatea iraganeko eta etorkizuneko horizontalki orientaturiko lerroetan zatituta geratzen delarik (behin zuloan sartuz gero, singularitateak "moztu" egiten dituelako etorkizuneko bide guztiak).

Zulo beltz ezberdinen soluzioen Penrose-n diagramak.

Einstein-Rosen zubia hain azkar ixten da ("etorkizuneko" singularitateak sortuz), non kanpoko bi eskualde asintotikoki lauetan batetik bestera pasatzeak argiaren abiadura baino handiagoko abiadurak exijituko bailituzke. Ondorioz, ezinezkoa da. Gainera, urdineranzko asko lerratutako (blueshift) argi-izpiek ("blue sheet" deiturikoak) ezinezkoa egingo lukete inor hortik pasatzea.

Gehien ezagutzen den soluzioak ez du izar baten kolapsotik sortutako zulo beltz tipiko bat deskribatzen. Kolapsatutako izarraren gainazalak iraganerantz orientaturiko "zulo zuri"-ko geometria eta beste unibertsoa barneratzen dituen soluzioaren sektorea ordezkatzen ditu.

Zulo beltz estatiko baten oinarrizko espazio motako igarobidea zeharkatzea ezinezkoa den bitartean, errotazioa edota karga elektrikoa dituzten zulo beltzen soluzioak azaltzen dituzten Penrose-n diagramek soluzio hauen barneko gertaeren mugak (etorkizunean daudenak) eta bertikalki orientaturiko singularitateak ilustratu egiten dituzte, zeinek irekitzen dituzten hain ezagunak diren denbora motako "zizare zuloak", etorkizuneko unibertsoetara bidaiatzea ahalbidetuz. Zulo birakariaren kasuan, unibertso "negatibo" bat ere badago, zeinean eraztun formako singularitate (oraindik diagraman lerro gisa irudikatuta) baten bidez sartzea posiblea den. Eraztun hori zeharkatzea posiblea da zulo beltzean haren biraketa-ardatzetik hurbil sartuz gero. Hala ere, soluzioen ezaugarri hauek ez dira egonkorrak eta uste dute ez direla horrelako zulo beltzen barnealdeko deskripzio errealista bat. Zulo hauen barneko izaera nolakoa den oraindik galdera ireki bat da.

Adibideak

Minkowskiren espazioa

Minkowskiren espazio baten diagrama konforme bat irudikatzeko, haren metrika laua koordenatu esferikoetan adieraz dezakegu, eta r eta t koordenatuek estalitako azpibarietatera mugatu. Koordenatu hauek tarte infinitua hartzen dute. Tarte mugatu bat bete dezaten lortzeko lehen saiakera koordenatu berriak erabiltzea izango litzateke: T=arctg(t) eta r=arctg(r). Baina horrek ez luke lortuko gure diagramako argi-konoak 45º-tan mantentzea. Hori lortzeko, koordenatu-aldaketa hirukoitza egiten da:

• Lehenik eta behin, koordenatu nuluetara aldatzea : $u=t-r$ , $v=t+r$.
• Horien gainean honako aldaketa egiten dugu: $U=\arctan u$ eta $V=\arctan v$.
• Azkenik, koordenatuetara hauetara itzultzen gara: $T=V+U$ eta $R=V-U$.

$ds^{2}={1 \over \omega (T,R)^{2}}(-dT^{2}+dR^{2}+\sin ^{2}(R)d\Omega ^{2})$ non $\omega =\cos T+\cos R$ den.

Metrika honen ordez, g₀ deituko duguna, Penrose diagraman ω²g₀ metrika konformea irudikatuko dugu. Koordenatuek $-\pi <R+T<\pi$ eta $-\pi <R-T<\pi$ tarteak hartzen dituztenez, diagramak diamante baten forma edukiko du (edo triangelu forma R positiboa izatearen baldintza gehituz gero).

Schwarzschild-en espazioa

Azpiko irudian zulo beltz estatiko (errotaziorik gabekoa) bati dagokion Schwarzschilden espazio baten irudikapena agertzen da. «$u$» izeneko koordenatu bertikala denborazkoa da, eta «v» koordenatu horizontala, berriz, espaziala. Penrosen diagrama konformea da, hau da, genero nuluko geodesikak (argi-lerroak) erdi-lehen eta bigarren erdibitzaile «altuei» dagozkiela.

Kruskal-en koordenatu sistematik eratorritako sistema honetatik honakoa lortzen da:

$ds^{2}={32M^{3} \over r}{e^{-r \over 2M}(-du^{2}+dv^{2}) \over {4\cos ^{2}({u+v \over 2})}\cos ^{2}({u-v \over 2})}+r^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}(\theta )d\phi ^{2})$

Schwarzschild-en espazio-denbora baten Penrose-n diagrama. Ardatz horizontalak v koordenatu espaziala adierazten du, eta bertikalak u denborazko koordenatua (Minkowski-ren espazioko koordenatu nuluekin ez dira nahastu behar).

Diagrama, orduan, θ eta Φ bi koordenatu esferikoen abstrakzioz eginda dago. Geodesiko nuluek ($ds^{2}=0$) mugatutako argi-konoak $du^{2}=dv^{2}$ erlazioari dagozkie; orduan, $u=v$ edo $u=-v$, hau da, lehen eta bigarren erdibitzaileak dira.

Ezkerretik abiatuta, bi zuzenek, lehen eta bigarren erdibitzaileek, dibergitzen dute: beheko zuzenak, $I-$ izenekoa, «iraganeko infinitua» adierazten du, eta hortik datoz mugikor guztiak infinituki urrunetik; goiko zuzena, $I+$, «etorkizuneko infinituari» dagokio, eta zulo beltz batetik gero urruntzen diren mugikor guztiak nora doazen adierazten du. Bi zuzen horizontal eta paraleloek singularitatea adierazten dute (iraganetik etorkizunerako pasartean), $r=0$-n kokatuta. Diagrama hau simetrikoa da bertikalarekin duen erlazioaren arabera. Lerro etenean, zulo beltz baten horizontea irudikatuta dago (unitate konbentzionaletan), $r=2M$-tan.

Erreferentziak

1. Penrose, Roger, El camino a la realidad: Una guía completa de las leyes del universo, Editorial Debate, 2006, {{ISBN|84-8306-681-5}}. (cap. 27)
2. ↑ Penrose, R. The Light Cone at Infinity. In Proceedings of the 1962 Conference on Relativistic Theories of Gravitation Warsaw. Polish Academy of Sciences, Warsaw. (Published 1965.)
3. ↑ B. Carter, Complete analytic extension of the symmetry axis of Kerr’s solution of Einstein’s equations, Phys. Rev. 141, 1242–1247 (1966).
4. ↑ Sean M. Carroll. Spacetime and Geometry: An Introduction to General Relativity. Addison Wesley, 2003. ISBN 080538732
5. Penrose, Roger (15 January 1963). "Asymptotic properties of fields and space-times". Physical Review Letters. 10 (2). doi:10.1103/PhysRevLett.10.66.
6. d'Inverno, Ray (1992). Introducing Einstein's Relativity[1] . Oxford: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-859686-8. Ikusi 17. kapitulua (eta hurrengo atalak).
7. Carter, Brandon (1966). "Complete Analytic Extension of the Symmetry Axis of Kerr's Solution of Einstein's Equations". Phys. Rev. 141 (4): 1242–1247. Bibcode:1966PhRv..141.1242C. doi:10.1103/PhysRev.141.1242.
8. Frauendiener, Jörg (2004). "Conformal Infinity".
9. Hawking, Stephen & Ellis, G. F. R. (1973). The Large Scale Structure of Space-Time. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-09906-9. See Chapter 5 for a very clear discussion of Penrose diagrams (the term used by Hawking & Ellis) with many examples.
10. Kaufmann, William J. III (1977). The Cosmic Frontiers of General Relativity. Little Brown & Co. ISBN 978-0-316-48341-4.

Ikus, gainera

• Kausalitatea

Kanpo estekak

• Diagrama konformeak

• Datuak: Q864015
• Multimedia: Penrose diagrams / Q864015