Matematikan , Mercator seriea edo Newton–Mercator seriea logaritmo naturalen Taylorren seriea da:[ 1]
ln
(
1
+
x
)
=
x
−
x
2
2
+
x
3
3
−
x
4
4
+
⋯
.
{\displaystyle \ln(1+x)\;=\;x\,-\,{\frac {x^{2}}{2}}\,+\,{\frac {x^{3}}{3}}\,-\,{\frac {x^{4}}{4}}\,+\,\cdots .}
Idazkera batukaria erabiliz idatzia,
ln
(
1
+
x
)
=
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
+
1
n
x
n
.
{\displaystyle \ln(1+x)\;=\;\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}x^{n}.}
Serieak logaritmo naturalarekin bat egiten du (aldagaia 1 mugitua) −1 < x ≤ 1 denean.
Nicholas Mercator, Isaac Newton eta Gregory Saint-Vincentek aurkitu zuten seriea, bakoitzak bere aldetik. Mercator-ek lehen aldiz argitaratu zuen 1668ko Logarithmo-technica tratatuan.
Seriea Taylorren teorema aplikatuz lor daiteke, ln x funtzioaren n. deribatua indukzioaren bidez kalkulatua x = 1 puntuan,
d
d
x
ln
x
=
1
x
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln x={\frac {1}{x}}}
Bestela
1
−
t
+
t
2
−
⋯
+
(
−
t
)
n
−
1
=
1
−
(
−
t
)
n
1
+
t
{\displaystyle 1-t+t^{2}-\cdots +(-t)^{n-1}={\frac {1-(-t)^{n}}{1+t}}}
serie geometriko finituarekin has daiteke (t ≠ −1) eta hau lortzen da:
1
1
+
t
=
1
−
t
+
t
2
−
⋯
+
(
−
t
)
n
−
1
+
(
−
t
)
n
1
+
t
.
{\displaystyle {\frac {1}{1+t}}=1-t+t^{2}-\cdots +(-t)^{n-1}+{\frac {(-t)^{n}}{1+t}}.}
Beraz:
∫
0
x
d
t
1
+
t
=
∫
0
x
(
1
−
t
+
t
2
−
⋯
+
(
−
t
)
n
−
1
+
(
−
t
)
n
1
+
t
)
d
t
{\displaystyle \int _{0}^{x}{\frac {dt}{1+t}}=\int _{0}^{x}\left(1-t+t^{2}-\cdots +(-t)^{n-1}+{\frac {(-t)^{n}}{1+t}}\right)\,dt}
eta gaiz gai integratuz,
ln
(
1
+
x
)
=
x
−
x
2
2
+
x
3
3
−
⋯
+
(
−
1
)
n
−
1
x
n
n
+
(
−
1
)
n
∫
0
x
t
n
1
+
t
d
t
.
{\displaystyle \ln(1+x)=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-\cdots +(-1)^{n-1}{\frac {x^{n}}{n}}+(-1)^{n}\int _{0}^{x}{\frac {t^{n}}{1+t}}\,dt.}
Baldin eta −1 < x ≤1 bada, hondarrak 0-ra jotzen du,
n
→
∞
{\displaystyle n\to \infty }
Adierazpen hori k aldiz gehiago integra daiteke iterazioz, hau lortzeko:
−
x
A
k
(
x
)
+
B
k
(
x
)
ln
(
1
+
x
)
=
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
−
1
x
n
+
k
n
(
n
+
1
)
⋯
(
n
+
k
)
,
{\displaystyle -xA_{k}(x)+B_{k}(x)\ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}{\frac {x^{n+k}}{n(n+1)\cdots (n+k)}},}
non
A
k
(
x
)
=
1
k
!
∑
m
=
0
k
(
k
m
)
x
m
∑
l
=
1
k
−
m
(
−
x
)
l
−
1
l
{\displaystyle A_{k}(x)={\frac {1}{k!}}\sum _{m=0}^{k}{k \choose m}x^{m}\sum _{l=1}^{k-m}{\frac {(-x)^{l-1}}{l}}}
eta
B
k
(
x
)
=
1
k
!
(
1
+
x
)
k
{\displaystyle B_{k}(x)={\frac {1}{k!}}(1+x)^{k}}
x-ren polinomioak diren.
Datuak: Q677568