Kalkuluaren oinarrizko teorema

Kalkuluaren oinarrizko teorema (edo Kalkulu inegralaren oinarrizko teorema) funtzio baten deribazioa eta integrazioa alderantzizko eragiketak direla baieztatzean datza. Baieztapen horrek edozein funtzio jarraitu integragarrirako egiaztatzen du haren integralaren deribatua hura bera dela. Teorema hori funtsezkoa da matematikaren adarretako bat den analisi matematiko edo kalkulu deiturikoan.

Teorema horren ondorio zuzena Barrowren erregela da, Kalkuluaren bigarren oinarrizko teorema ere deiturikoa. Bigarren teorema horren bidez funtzio baten integrala kalkula dezakegu integratu beharreko funtzioaren jatorrizkoa erabiliz.

Arkimedesek eta antzinako beste matematikariek bolumenen, azaleren eta luzera makurren gutxi gorabeherako kalkulua egiteko metodoak bazituzten ere, hasiera batean Isaac Barrow matematikari ingelesak garatutako ideia bati esker eta gero Isaac Newtonen eta Gottfried Leibnizen ekarpenei esker teorema hori enuntziatu eta frogatu ahal izan zuten.

Kalkulu integralaren oinarrizko teoremak

Lehenengo oinarrizko teorema

Izan bitez $\,[a,b]$ tartean integragarria den $\,f$ funtzio bat eta $\,F$ beste funtzio bat honela definitua: $F(x)={\int _{\alpha }^{x}f(t)dt}$ non $\alpha \in [a,b]$ den.
Teoremak hau esaten du:
$\,f$ funtzioa $c\in [a,b]$ puntuan jarraitua bada , orduan $\,F$ funtzioa $\,c$ puntuan deribagarria da eta $\,F'(c)=f(c)$ betetzen da.

Frogapena

Lema garrantzitsua:

Demagun $f$ funtzioa $[a,b]$ tartean integragarria dela eta $m\leq f(x)\leq M\forall x\in [a,b]$ , orduan:

m(b-a)\leq {\int _{a}^{b}f(t)dt}\leq M(b-a)

Frogapenaren hasiera

Hipotesia:

Biz

c\in (a,b)

.

Biz

[a,b]

tartean integragarria eta c puntuan jarraitua den $f$ funtzioa.

Biz

[a,b]

tartean honela definitutako $F$ funtzioa:

F(x)=\int _{\alpha }^{x}f(t)dt

, non

\alpha \in [a,b]

den.

Tesia:

F'(c)=f(c)

Definizioz hau daukagu: $F'(c)={\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {F(c+h)-F(c)}{h}}}$ .

Demagun h>0 dela, orduan $F(c+h)-F(c)={\int _{c}^{c+h}f(t)dt}$ .

$m_{h}$ eta $M_{h}$ honela definituta:

m_{h}=\inf\{f(x)|c\leq x\leq c+h\}

,

M_{h}=\sup\{f(x)|c\leq x\leq c+h\}

'Lema' aplikatuta, hau daukagu:

m_{h}\cdot h\leq {\int _{c}^{c+h}f(t)dt}\leq M_{h}\cdot h

.

Beraz,

m_{h}\leq {\frac {F(c+h)-F(c)}{h}}\leq M_{h}

Orain demagun $h<0$ dela, izan bitez:

{m^{*}}_{h}=\inf\{f(x)|c+h\leq x\leq c\}

,

{M^{*}}_{h}=\sup\{f(x)|c+h\leq x\leq c\}

.

'Lema' aplikatuta, hau daukagu:

{m^{*}}_{h}\cdot (-h)\leq {\int _{c+h}^{c}f(t)dt}\leq {M^{*}}_{h}\cdot (-h)

.

Honako hau betetzen denez:

F(c+h)-F(c)={\int _{c}^{c+h}f(t)dt}=-{\int _{c+h}^{c}f(t)dt}

,

Orduan:

{m^{*}}_{h}\cdot h\geq F(c+h)-F(c)\geq {M^{*}}_{h}\cdot h

.

$h<0$ denez gero, orduan hau daukagu:

{m^{*}}_{h}\leq {\frac {F(c+h)-F(c)}{h}}\leq {M^{*}}_{h}

.

Eta $f$ funtzioa c puntuan jarraitua denez, orduan:

\lim _{h\rightarrow 0}m_{h}=\lim _{h\rightarrow 0}M_{h}=\lim _{h\rightarrow 0}{m^{*}}_{h}=\lim _{h\rightarrow 0}{M^{*}}_{h}=f(c)

,

Azkenean, guzti horrek teorema frogatzera garamatza:

F'(c)={\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {F(c+h)-F(c)}{h}}}=f(c)

.

Adibideak

F(x)=\int _{0}^{x}t^{2}dt\Rightarrow F'(x)=x^{2}

H(x)=\int _{10}^{\exp {3x}}\sin(t)dt\Rightarrow H'(x)=\sin(e^{3x})e^{3x}3

G(x)=\int _{0}^{x^{2}}\arcsin(t)dt\Rightarrow G'(x)=\arcsin(x^{2})2x

Bigarren oinarrizko teorema

Barrowren erregela ere deiturikoa, Isaac Barrowren omenez.

Izan bitez $\,[a,b]$ tartean jarraitua den $\,f$ funtzio bat eta $\,g$ haren edozein jatorrizko funtzio bat, hau da $\,g'(x)=f(x)$ . Orduan:

$\int _{a}^{b}f(x)dx=g(b)-g(a)$