Ireki menu nagusia

Kalkuluaren oinarrizko teorema

Kalkuluaren oinarrizko teorema (edo Kalkulu inegralaren oinarrizko teorema) funtzio baten deribazioa eta integrazioa alderantzizko eragiketak direla baieztatzean datza. Baieztapen horrek edozein funtzio jarraitu integragarrirako egiaztatzen du haren integralaren deribatua hura bera dela. Teorema hori funtsezkoa da matematikaren adarretako bat den analisi matematiko edo kalkulu deiturikoan.

Teorema horren ondorio zuzena Barrowren erregela da, Kalkuluaren bigarren oinarrizko teorema ere deiturikoa. Bigarren teorema horren bidez funtzio baten integrala kalkula dezakegu integratu beharreko funtzioaren jatorrizkoa erabiliz.

Arkimedesek eta antzinako beste matematikariek bolumenen, azaleren eta luzera makurren gutxi gorabeherako kalkulua egiteko metodoak bazituzten ere, hasiera batean Isaac Barrow matematikari ingelesak garatutako ideia bati esker eta gero Isaac Newtonen eta Gottfried Leibnizen ekarpenei esker teorema hori enuntziatu eta frogatu ahal izan zuten.

Kalkulu integralaren oinarrizko teoremakAldatu

Lehenengo oinarrizko teoremaAldatu

Izan bitez   tartean integragarria den   funtzio bat eta   beste funtzio bat honela definitua:   non   den.

Teoremak hau esaten du:

  funtzioa   puntuan jarraitua bada , orduan   funtzioa   puntuan deribagarria da eta   betetzen da.


FrogapenaAldatu

Lema garrantzitsua:

Demagun   funtzioa   tartean integragarria dela eta  , orduan:

 

Frogapenaren hasiera

Hipotesia:

Biz  .
Biz   tartean integragarria eta c puntuan jarraitua den   funtzioa.
Biz   tartean honela definitutako   funtzioa:  , non   den.

Tesia:

F'(c)=f(c)

Definizioz hau daukagu:  .

Demagun h>0 dela, orduan  .

  eta   honela definituta:

 ,
 

'Lema' aplikatuta, hau daukagu:

 .

Beraz,

 

Orain demagun   dela, izan bitez:

 ,
 .

'Lema' aplikatuta, hau daukagu:

 .

Honako hau betetzen denez:

 ,

Orduan:

 .

  denez gero, orduan hau daukagu:

 .

Eta   funtzioa c puntuan jarraitua denez, orduan:

 ,

Azkenean, guzti horrek teorema frogatzera garamatza:

 .

AdibideakAldatu

 
 
 

Bigarren oinarrizko teoremaAldatu

Barrowren erregela ere deiturikoa, Isaac Barrowren omenez.

Izan bitez   tartean jarraitua den   funtzio bat eta   haren edozein jatorrizko funtzio bat, hau da  . Orduan:

 


Teorema hau askotan erabiltzen da integral mugatuak ebaluatzeko.

FrogapenaAldatu

Hipotesia:

Biz   tartean jarraitua den   funtzioa
Biz   tartean diferentziagarria den   funtzioa, non   den

Tesia:

 

Frogapena:

Izan bedi

 .

Kalkuluaren lehenengo oinarrizko teorema dela medio, hau daukagu:

 .

Beraz:

  non   den.

Hau aintzat hartuta:

 

Eta hortik segitzen denez   da; beraz:

 .

Bereziki, baldin   bada, hau dugu:

 

AdibideakAldatu

 
 

Ikus, gaineraAldatu