Irudi (matematika)

Irudi-multzo» orritik birbideratua)

Matematikan, funtzio baten irudia funtzioaren eremua elementu batek kodominioan hartzen duen balioa da. Halaber, irudi-multzoa, helburu-multzoa edo ibiltartea dominioko elementu batzuek (edo guztiek) hartzen duten balioen multzoa da.

X abiaburu-multzotik Y multzorako f funtzioaren irudia Y-ren azpimultzoa da.

Formalki honela adierazten da:

Irudi-multzoa kodominioaren azpimultzo bat da, beste alde batetik.

DefinizioaAldatu

"Irudi" hitza hiru modutan erabiltzen da. Definizio horietan,   funtzio bat da   multzotik   multzora doana.

Elementu baten irudiaAldatu

Baldin eta    -ren elementua bada, orduan  -ren irudia  -n,   deitua,   ordezkatzean  -k hartzen duen balioa da.    -rako  -ren irteera gisa ezagutzen da.

  emanda,   funtzioak " -ren balioa hartzen duela" esaten da baldin eta existiten bada   bat funtzioaren eremuan non   den. Era berean,   multzo bat emanda,  -k " -ren balioa hartzen duela" esaten da baldin eta existiten bada   bat funtzioaren eremuan non  . Aldiz, " -k  -ren balio guztiak hartzen dituela" esaten da edozein    -ren eremuan   bada.

Azpimultzo baten irudiaAldatu

  azpimultzoaren irudia  -n,   deitua,  -ren azpimultzoa da multzoak osatzeko notazioa erabiliz definitu daitekeena: [1][2]

 

Nahasteko arriskurik ez dagoenean,   honela idazten da:  . Konbentzio hori komuna da; aurreikusitako esanahia testuingurutik ondorioztatu behar da. Horren ondorioz,   funtzio bat da zeinen eremua  -ren potentzia-multzoa den eta koeremua  -ren potentzia-multzoa.

Funtzio baten irudiaAldatu

Funtzio baten irudia bere domeinu osoaren irudia da, funtzioaren heina ere deitua.[3] Erabilera hori saihestu egin behar da, "hein" hitza ere  -ren koeremua adierazteko erabiltzen baita.

Erlazio bitarretara orokortzeaAldatu

  erlazio bitar arbitrarioa bada  -n, orduan   multzoari  -ren irudia (edo heina) deitzen zaio. Era berean,   multzoari  -ren eremua deritzo.

AurreirudiaAldatu

   -tik  -ra doan funtzioa izanda,   multzoaren aurreirudia,   deitua,   definitutako  -ren azpimultzoa da.

Beste notazio batzuetan   eta   erabiltzen dira.[4] Multzo baten aurreirudia   edo   da.

Adibidez,   funtziorako,  -ren aurreirudia   izango litzateke. Ez da nahasi behar   notazioa erabiltzean aurreirudia alderantzizko funtzioarekin, nahiz eta bat etorri injekzioetarako ohikoa denarekin non  -ren aurreirudia  -n,  -ren irudia den  -n.

Irudiarentzako eta aurreirudiarentzako notazioaAldatu

Aurreko atalean erabilitako notazio tradizionalak nahasgarriak izan daitezke. Aukera bat [5] irudiari eta aurreirudiari izen esplizituak ematea da, potentzia-multzoen arteko funtzio gisa:

Geziaren notazioaAldatu

  •  ,  
  •  ,  

Izarren notazioaAldatu

  •  ,  -ren ordez
  •  ,  -ren ordez

Beste terminologiakAldatu

  •  -ren ordez   ere erabiltzen da. [6][7]
  • Zenbait testuk  -ren irudia  -ren heina deitzen dute, baina erabilera hori saihestu egin behar da, “hein” hitza ere erabili ohi baita  -ren koeremua adierazteko.

AdibideakAldatu

1.  honek definituta:  

  multzoaren irudia  -n   da.   funtzioaren irudia   da.  -ren aurreirudia   da.  -ren aurreirudia ere   da eta  -ren aurreirudia multzo hutsa da  .


2.   honek definituta:  .

 -ren irudia  -n   da, eta  -ren irudia   da (zenbaki erreal positibo guztien multzoa eta zero).  -ren aurreirudia  -n   da.   multzoaren aurreirudia  -n multzo hutsa da, zenbaki negatiboek ez dutelako erro karraturik errealen multzoan.

PropietateakAldatu

OrokorreanAldatu

  edozein funtziorako eta   eta   azpimultzo guztietarako, propietate hauek betetzen dira:

Irudia Aurreirudia
   
   
 

(berdin   supraiektiboa bada)[8][9]

 (berdin   injektiboa bada)[8][9]
   
   
  baldin eta soilik baldin     baldin eta soilik baldin  
  baldin eta soilik baldin existitzen bada   non   den   baldin eta soilik baldin  
  baldin eta soilik baldin     baldin eta soilik baldin  
   [8]
   
   

Horrez gain:

  •   baldin eta soilik baldin  

Funtzio konposatuakAldatu

  eta   funtzioetarako   eta   azpimultzoekin, ondorengo propietateak betetzen dira:

  •  
  •  
Zenbaki errealetan oinarritutako kontraadibideak  ,   honek definituta:  , berdintasuna lege batzuetan betetzen ez dela erakusten dutenak:
 
Berdinak ez diren multzoak erakusten dituen irudia:  .   eta   multzoa urdinez agertzen dira   ardatzaren azpian, haien ebakidura   berdez agertzen da.
 
 
 
 

ErreferentziakAldatu

  1. (Ingelesez) «5.4: Onto Functions and Images/Preimages of Sets» Mathematics LibreTexts 2019-11-05 (Noiz kontsultatua: 2021-12-04).
  2. Verfasser, Halmos, Paul R. 1916-2006. (1968). Naive Mengenlehre.. Vandenhoeck u. Ruprecht PMC 1072448936. (Noiz kontsultatua: 2021-12-04).
  3. (Ingelesez) Weisstein, Eric W.. «Image» mathworld.wolfram.com (Noiz kontsultatua: 2021-12-04).
  4. Dolecki, Szymon; Mynard, Frédéric. (2016-07). Convergence Foundations of Topology. doi:10.1142/9012. (Noiz kontsultatua: 2021-12-04).
  5. Blyth, T. S.. (2005). Lattices and ordered algebraic structures. Springer ISBN 978-1-84628-127-3. PMC 262677746. (Noiz kontsultatua: 2021-12-04).
  6. Rubin, Jean E.. (1967). Set theory for the mathematician. San Francisco, Holden-Day (Noiz kontsultatua: 2021-12-04).
  7. «Wayback Machine» web.archive.org 2018-02-07 (Noiz kontsultatua: 2021-12-04).
  8. a b c Halmos, Paul R.. (1960). Naive set theory. London : Van Nostrand ISBN 978-0-442-03064-3. (Noiz kontsultatua: 2021-12-04).
  9. a b Kelley, John L.. (1955). General topology. Van Nostrand ISBN 0-387-90125-6. PMC 338047. (Noiz kontsultatua: 2021-12-04).

Ikus, gaineraAldatu

Kanpo estekakAldatu