Matematikan, bereziki multzo-teorian, azpimultzoa multzo bateko zenbait elementuz osatutako edozein multzoa da.

Eulerren diagrama honen bidez
erakusten da A B-ren azpimultzo propio bat dela eta alderantziz B A-ren gainmultzo propio bat

Definizioa

aldatu

Izan bitez A eta B bi multzo non A-ren elementu bakoitza B-ren elementua ere den. Orduan:

  • A B-ren azpimultzoa da, eta AB adierazten da
  • B A-ren gainmultzoa da, eta BA adierazten da

Azpimultzoen arteko diferentzia, multzo baten barnean eta bestean ez dauden elementuek osatzen dute.

Azpimultzo propioa

aldatu

Jatorrizko multzoaren osaera bera ez duen azpimultzoa.

Izan bedi A B-ren azpimultzo bat ezen AB baita. Orduan esaten da A B-ren azpimultzo propio bat dela, eta AB adierazten da.
(Era berean, esaten da B A-ren gainmultzo propio bat dela, BA)

AB eta BA notazioak ere erabiltzen dira, baina haiek azpimultzoa adieraz dezakete, AB eta BA; edo azpimultzo propio, AB eta BA.

Ezaugarriak

aldatu
  • A multzoa B multzoaren azpimultzoa da baldin eta soilik baldin haien ebakidura A bada.
 
  • A multzoa B multzoaren azpimultzoa da baldin eta soilik baldin haien bildura B bada.
 

Propietateak

aldatu
  • Azpimultzo hutsa ∅ bezala adierazten da, multzo guztien azpimultzoa da. Izan ere, « ∅-k ez du elementurik An dagoena» eta «∅-ko elementu guztiak Akoak dira» esanahi berdina dute. Hau edozein An gertatzen da, ∅k ez baitu elementurik.
  • A multzoko elementuak B multzoan badaude, eta Bko elementu guztiak C multzoan badaude, Ako elementuak C multzoaren barnean daude. Hau da, A Bren azpimultzoa bada, eta B Cren azpimultzoa bada, orduan A Cren azpimultzoa da.
  • Bi multzo elkarren azpimultzo badira, hau da, Ako elementu guztiak Bn badaude eta Bko elementu guztiak An badaude, bi multzoek elementu berdinak dituzte. Beste modu batera esanda, A Bren azpimultzoa bada, eta B Aren azpimultzoa bada, orduan A=B

Adibideak

aldatu
  • {1,2,3} multzoa {-563,1,2,3,68} multzoaren azpimultzo propio bat da.
 
 
  • {46,189,1264} multzoa beraren azpimultzo bat da, eta zenbaki arrunten multzoko azpimultzo propio bat da.
 
 

Kanpo estekak

aldatu