Matematikan ,
A
1
,
A
2
,
…
,
A
n
{\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots ,A_{n}}
R
{\displaystyle R}
matematika-erlazioa , biderkadura kartesiarraren azpimultzo bat da
R
⊆
A
1
×
A
2
×
…
×
A
n
{\displaystyle R\subseteq A_{1}\times A_{2}\times \ldots \times A_{n}}
Esaterako, erlazio bitarra bi multzoen arteko matematika-erlazioa da.
Erlazioaren kontzeptuak ban-banan aipatzearen ideia dauka, n-koteak osatzen duten multzoetako hainbat elementuena.
R
(
a
1
,
a
2
,
…
,
a
n
)
edo baita ere
(
a
1
,
a
2
,
…
,
a
n
)
∈
R
{\displaystyle R(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})\qquad {\mbox{edo baita ere}}\qquad (a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})\in R}
Kasu berezia da multzoak berdinak direnean:
A
1
=
A
2
=
…
=
A
n
{\displaystyle A_{1}=A_{2}=\ldots =A_{n}}
A
×
A
×
…
×
A
{\displaystyle A\times A\times \ldots \times A}
A
n
{\displaystyle A^{n}\,}
R
⊆
A
n
{\displaystyle R\subseteq A^{n}}
R
{\displaystyle R}
A
{\displaystyle A}
Erlazio bat erreflexiboa da baldin eta a
R
{\displaystyle R}
∀
{\displaystyle \forall }
∈
{\displaystyle \in }
A
{\displaystyle A}
Erlazio bat simetrikoa da baldin eta a
R
{\displaystyle R}
R
{\displaystyle R}
Erlazio bat trantsitiboa da baldin eta a
R
{\displaystyle R}
R
{\displaystyle R}
R
{\displaystyle R}
Erlazio bat antisimetrikoa da baldin eta a
R
{\displaystyle R}
R
{\displaystyle R}
Erlazio bat simetrikoa eta antisimetrikoa bada aldi berean, horrek trantsitiboa izango dela inplikaten du.
R
{\displaystyle R}
A
{\displaystyle A}
R
=
{
(
a
,
a
)
|
a
∈
A
}
{\displaystyle R=\{(a,a)|a\in A\}}
Baliokidetasun erlazioak Aldatu
Baliokidetasun erlazio bat sortzeko propietate antisimetrikoa kenduko dugu, hau da, erlazioa erreflexiboa, simetrikoa eta trantsitiboa izan beharko da. Baliokidetasun erlazioa adierazteko
a
R
b
{\displaystyle aRb}
a
∼
b
{\displaystyle a\sim b}
a
≡
b
{\displaystyle a\equiv b}
Baliokidetasun klaseak Aldatu Baliokidetasun klasea a-rekin erlazionatuta dauden elementuen multzoa da,
R
{\displaystyle R}
A
{\displaystyle A}
∈
{\displaystyle \in }
A
{\displaystyle A}
[
a
]
=
{
x
∈
A
|
x
R
a
}
{\displaystyle [a]=\{x\in A|xRa\}}
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} }
R
=
{
(
a
,
b
)
∈
Z
×
Z
:
|
a
|
=
|
b
|
}
{\displaystyle R=\{(a,b)\in \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} :\left\vert a\right\vert =\left\vert b\right\vert \}}
|
a
|
{\displaystyle \left\vert a\right\vert }
a
{\displaystyle a}
|
a
|
=
{
a
,
a
>
0
bada
−
a
,
a
<
0
bada
{\displaystyle \left\vert a\right\vert ={\begin{cases}a,&a>0{\text{ bada }}\\-a,&a<0{\text{ bada}}\end{cases}}}
Erreflexiboa da. Izan ere,
|
a
|
=
|
a
|
,
∀
a
∈
Z
{\displaystyle \left\vert a\right\vert =\left\vert a\right\vert ,\forall a\in \mathbb {Z} }
Simetrikoa da; hau da,
|
a
|
=
|
b
|
⟹
|
b
|
=
|
a
|
,
∀
a
,
b
∈
Z
{\displaystyle \left\vert a\right\vert =\left\vert b\right\vert \Longrightarrow \left\vert b\right\vert =\left\vert a\right\vert ,\forall a,b\in \mathbb {Z} }
Trantsitiboa da,
(
|
a
|
=
|
b
|
eta
|
b
|
=
|
c
|
)
⟹
|
a
|
=
|
c
|
{\displaystyle (\left\vert a\right\vert =\left\vert b\right\vert {\text{eta}}\left\vert b\right\vert =\left\vert c\right\vert )\Longrightarrow \left\vert a\right\vert =\left\vert c\right\vert }
Ez da antisimetrikoa. Izan ere,
|
2
|
=
|
−
2
|
eta
|
−
2
|
=
|
2
|
,
baina
2
≠
−
2
{\displaystyle \left\vert 2\right\vert =\left\vert -2\right\vert {\text{ eta }}\left\vert -2\right\vert =\left\vert 2\right\vert ,{\text{ baina }}2\neq -2}
Beraz, balio absolutua baliokidetasun-erlazioa da.
Honako hauek izango dira baliokidetasun klaseak:
[
a
]
=
{
x
∈
Z
:
|
a
|
=
|
x
|
}
=
{
a
,
−
a
}
{\displaystyle [a]=\{x\in \mathbb {Z} :\left\vert a\right\vert =\left\vert x\right\vert \}=\{a,-a\}}
Ordena erlazioak Aldatu
Baliokidetasun erlazioa sortzeko orduan propietate antisimetrikoa zen kontuan hartu behar ez genuena. Ordena erlazioetan, aldiz, propietate simetrikoa da kanpoan geldituko dena. Honek esan nahi du ordena erlazioa sortzeko ezinbestekoa dela erlazioa erreflexiboa, simetrikoa eta antisimetrikoa izatea.
Izenak argi adierazten duen moduan, ordena erlazioak ohiko zenbakien gaineko ordena adierazten du. Adibidez zenbaki arrunten (ℕ) multzoak ordena erlazioa betetzen du, eta modu berean zenbaki erreal en (
R
{\displaystyle {\displaystyle \mathbb {R} }}
arrazionalen (
Q
{\displaystyle {\displaystyle \mathbb {Q} }}
Ikus, gainera Aldatu
Kanpo estekak Aldatu 
![{\displaystyle [a]=\{x\in A|xRa\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5dbb5fdce566e2c3feff0ae30fb1b5897e461e78)
![{\displaystyle [a]=\{x\in \mathbb {Z} :\left\vert a\right\vert =\left\vert x\right\vert \}=\{a,-a\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0197542d93b06ecab56b6dfd4c0c80e6b18c787d)
Datuak: Q203066
Multimedia: Relations (mathematics)
