Lankide:Be4tBm/Proba orria

Azalpen sinplifikatua

Tunel efektua era sinplifikatuan azaltzen duen diagrama. Mekanika klasikoak eta kuantikoak baimendutako bideak alderatzen ditu.

Mekanika kuantikoaren arloko fenomenoa da tunel efektua eta mundu mikroskopikoaren ezagutzarekin lotura estua du. Orokorrean, asko jota tamaina atomikoa duten partikulekin ari garenean bakarrik beha daiteke. Eskala horretan mekanika klasikoak balioa galtzen du. Dena den, kontzeptua ulertzeko, potentzial langa bat zeharkatu nahian dabiltzan partikulak mendixka batean behera doan pilota batekin aldera daitezke.

Grabitatearen eginez, pilotak Lurraren zentroranzko norabidean higitzeko joera du. Mekanika klasikokoaren arabera, abiadura (energia) nahikoa ez badu, baloiak ezingo du muinoa gainditu.

Hala eta guztiz ere, mekanika kuantikoaren ikuspuntutik, partikulek noizbehinka beste aldera tunelatu dezakete. Hau da, partikulek energia nahikoa ez badute ere, muinoa gurutzatuko duten probabilitate txiki bat dago.

Bi ikuspuntuen arteko aldearen jatorria materiak uhin zein partikulen propietateak dituela onartzea da. Dualtasun honen interpretazio batek Heisenbergen ziurgabetasunaren printzipioa sartzen du tartean. Printzipio honek muga bat jartzen du aldi berean partikula baten posizioa eta momentu lineala jakiteko zehaztasunean. Hori dela eta, "partikularen posizioa $x$ da" esan beharrean, testuinguru honetan egokiena "partikula $x$ posizioan aurkitzeko probabilitatea $P(x)$ da" esatea da. Heisenbergen printzipioaren ondorioz, egoera batek zero (edo bat) probabilitatea izatea debekatuta dago. Hortaz, partikula bat oztopo baten beste aldean topatzeko probabilitatea beti izango da ez-nulua.

Tunelatzea

Partikula baten uhin-funtzioak sistema fisiko bati buruz jakin daitekeen guztia laburbiltzen du .

1. Irudia. Potentzial langa bat erasotzen duen uhin-fardelaren simulazioa. Uhin-fardelaren zati batek langa zeharkatzen du.

Schrödingerren ekuazioa bezalako formulazio matematikoak erabiliz aurki daiteke uhin-funtzioa. Bere moduluaren karratua zuzenean dago erlazionatuta partikula espazioko puntu batean aurkitzeko probabilitatearekin.

Langa zenbat eta zabalagoa eta energia altuagokoa izan, orduan eta txikiagoa da tunelatzeko probabilitatea. Tunelatzearen eredu sinpleak, dimentsio bateko potentzial langa esaterako, aljebraikoki analiza eta ebatz daiteke. Horrelakoetan, oztopoaren barruan anplitude ez-nulua duen uhin-funtzio batek ereduztatzen du prozesua. 1. irudiko simulazioak mota honetako sistema erakusten du.

Errealitateko mota honetako problemek askotan soluziorik ez dutenez, WKB hurbilketa bezalako metodo "semiklasikoak" garatu dira soluzio hurbilduak aurkitzeko.

...

...

Garapen matematikoa

Tunelatze kuantikoa. Jatorrian (x=0) potentzial langa oso garai (baina estua) dago. Tunel efektu adierazgarria ikus daiteke.

Denborarekiko independentea den Schrodingerren ekuazioa

$-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\Psi (x)+V(x)\Psi (x)=E\Psi (x)$

${\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\Psi (x)={\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)\Psi (x)\equiv {\frac {2m}{\hbar ^{2}}}M(x)\Psi (x),$

non

• $\hbar$ Plancken konstantea den.
• $m$ partikularen masa den.
• $x$ mugimenduaren norabidean neurtutako distantzia den.
• $\Psi$ Schrödingerren uhin funtzioa den.
• $V$ partikularen energia potentziala (erreferentziazko maila egoki batekiko neurtuta) den.
• $E$ partikularen $x$ ardatzeko higidurari dagokion energia den ($V$-rekiko neurtuta) den.
• $M(x)$ fisikan izen jakinik ez duen magnitudea den, $V(x)-E$ definituta den.

Schrödinger ekuazioak hainbat forma har ditzake $x$-ren balio ezberdinetarako, $M(x)$-ren arabera. $M(x)$ negatiboa eta konstantea den kasuetan, ekuazioa honela idatz daiteke:

${\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\Psi (x)={\frac {2m}{\hbar ^{2}}}M(x)\Psi (x)=-k^{2}\Psi (x),\qquad \mathrm {non} \;\;\;k^{2}=-{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}M\quad \mathrm {den}$

Soluzioak uhinak dira, $+k$ edo $-k$ fase-konstanteekin. Aldiz, $M(x)$ positiboa eta konstantea bada, Schrödingerren ekuazioak honako forma hartzen du:

${\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\Psi (x)={\frac {2m}{\hbar ^{2}}}M(x)\Psi (x)={\kappa }^{2}\Psi (x),\qquad \mathrm {non} \;\;\;{\kappa }^{2}={\frac {2m}{\hbar ^{2}}}M\quad \mathrm {den}$

$M(x)$ konstantea izan beharrean $x$-rekin aldatzen diren kasuak zailagoak dira. Salbuespenak diren kasuetan da errazagoa ebazpena, baina errealitate fisikoarekin loturarik ez duten egoerei dagozkie.

WKB hurbilketa

Klasikoki, partikularen posizioa $E\geq V(x)$ deneko gunera dago mugatuta.

WKB (Wentzel-Kramers-Brillouin) hurbilketak koefiziente aldakorreko ekuazio diferentzial linealen soluzio hurbilduak ematen ditu. Bereziki erabilgarria da mekanika kuantikoko kalkulu semiklasikoak egiteko, zeinetan uhin funtzioa esponentzial gisa idatz daitekeen. Uhin funtzioaren anplitudea oso mantso aldatzen denean erabiltzen da. Ondoko forma duen soluzioa bilatuko dugu:

$\psi (x)=A(x)e^{i\phi (x)}$

Deribatuak:

${\frac {d\psi }{dx}}=(A'+iA\phi ')e^{i\phi },\quad {\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}=(A''+2iA'\phi '+iA\phi ''-A(\phi ')^{2})e^{i\phi }$

Schrödingerren ekuazioa, $-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}+V(x)\psi =E\psi$, horrela berridatz daiteke $p(x)\equiv {\sqrt {2m[E-V(x)]}}$ funtzioa definituz

${\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}=-{\frac {p^{2}}{\hbar ^{2}}}\psi$

Gure soluzioa ordezkatuz

$A''+2iA'\phi '+iA\phi ''-A(\phi ')^{2}=-{\frac {p^{2}}{\hbar ^{2}}}A$

Zati errealak eta irudikariak bananduz, hurrengo bi ekuazioak lortuko ditugu

$A''-A(\phi ')^{2}=-{\frac {p^{2}}{\hbar ^{2}}}A,\quad \mathrm {edo} \quad A''=A\left[(\phi ')^{2}-{\frac {p^{2}}{\hbar ^{2}}}\right]$

$2A'\phi '+A\phi ''=0,\quad \mathrm {edo} \quad (A^{2}\phi ')'=0$

Bigarren ekuaziotik lortzen dugun soluzioa

$A^{2}\phi '=C^{2},\quad \mathrm {edo} \quad A={\frac {C}{\sqrt {\phi '}}}$

Lehenengo ekuazioko $A''$ arbuiagarria da

$(\phi ')^{2}={\frac {p^{2}}{\hbar ^{2}}},\quad \mathrm {edo} \quad {\frac {d\phi }{dx}}=\pm {\frac {p}{\hbar }}\Rightarrow \phi (x)=\pm {\frac {1}{\hbar }}\int p(x)dx$

Beraz, gure soluzioa eta probabilitate banaketa

$\psi (x)\cong {\frac {C}{\sqrt {p(x)}}}e^{\pm {\frac {i}{\hbar }}\int p(x)dx},\qquad |\psi (x)|^{2}\cong {\frac {|C|^{2}}{p(x)}}$

Hurbilketa hau baliagarria izateko, ezinbestekoa da $E\neq V_{0}$ izatea, bestela $p(x)$-k zerorantz joko luke, eta uhin funtzioak infiniturantz. Potentzial langa bertikala bada (hau da, $0$-tik $V$-rako jauzia bat-batatekoa bada) oso zaila da $E=V$ ematea. Hala ere, benetako kasuetan, malda ez da bertikala, eta orduan partikula aurki daitekeen puntuetako batean $E=V$ emango da. Hori betetzen duten puntuei puntu kritiko deituko diegu. Hain zuzen ere, klasikoki puntu kritiko hauetan partikulak buelta emango luke, baino kuantikoki hau ez da gertatzen. Hori dela eta, puntu hauetatik hurbil ekuazioa beste modu batean ebatzi behar da.

Eskuineko puntu kritikoa hurbiletik. Gune klasikoaren eta ez-klasikoaren arteko muga.

Lehendabizi, $x=0$ puntuan kokatuko dugu puntu hori translazio baten bitartez eta bi zatitan banatuko dugu lehen lortutako soluzioa, puntu kritikotik urrun baliagarria izan dadin:

$\psi (x)\cong \left\{{\begin{array}{l}{\frac {1}{\sqrt {p(x)}}}\left[Be^{{\frac {1}{\hbar }}\int _{x}^{0}p(x')dx'}+Ce^{-{\frac {1}{\hbar }}\int _{x}^{0}p(x')dx'}\right],&x<0\\{\frac {1}{\sqrt {p(x)}}}De^{-{\frac {1}{\hbar }}\int _{0}^{x}|p(x')|dx'},&x>0\end{array}}\right.$

Potentzialaren hurbilketa lineala hartuko dugu

$V(x)\cong E+V'(0)\,x$

Hori ordezkatuz, Schrödingerren ekuazioak forma hau hartzen du

$-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi _{p}}{dx^{2}}}+(E+V'(0)\,x)\psi _{p}=E\psi _{p}$

Orduan $\alpha \equiv \left[{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}V'(0)\right]^{1/3}$ definituz eta $z\equiv \alpha x$ aldagai aldaketa eginez, ekuazio diferentziala horrela geratzen zaigu

${\frac {d^{2}\psi _{p}}{dx^{2}}}=\alpha ^{3}x\psi _{p}\quad \longrightarrow \quad {\frac {d^{2}\psi _{p}}{dz^{2}}}=z\psi _{p}$

Horren soluzioak Airy-ren funtzioak dira, funtzio berezi batzuk. Hauen adierazpenak konplikatuak dira, baina $0$-tik urrun hurrengo hurbilketak erabil daitezke

$\left.{\begin{array}{l}&Ai(z)\sim {\frac {1}{2{\sqrt {\pi }}z^{1/4}}}e^{-{\frac {2}{3}}z^{3/2}}\\&Bi(z)\sim {\frac {1}{{\sqrt {\pi }}z^{1/4}}}e^{{\frac {2}{3}}z^{3/2}}\\\end{array}}\right\}\,z\gg 0\left.{\begin{array}{l}&Ai(z)\sim {\frac {1}{{\sqrt {\pi }}(-z)^{1/4}}}\sin \left[{\frac {2}{3}}(-z)^{3/2}+{\frac {\pi }{4}}\right]\\&Bi(z)\sim {\frac {1}{{\sqrt {\pi }}(-z)^{1/4}}}\cos \left[{\frac {2}{3}}(-z)^{3/2}+{\frac {\pi }{4}}\right]\\\end{array}}\right\}\,z\ll 0$

Arreta berezia eskatzen duen gunea eta soluzioen bi gainezarmenak

Puntu kritikoetatik urrun WKB hurbilketa erabil daiteke, baina puntu kritikoetan ordea, ez. Hala ere, partikula baten higidura deskribatzeko funtzioek jarraituak izan behar dute. Hau betetzeko, hurbilketaren konstanteak Airyren funtzioen limite asintotikoekin doituko dira, eta horrela hurrengo uhin funtzioa lortuko dugu puntu kritikotik urrun. Ikusi puntu kritikoa hasierako posiziora ($x=x_{2}$) itzuli dugula, hasieran zerora eramateko translazioa deseginez.

$\psi (x)\cong \left\{{\begin{array}{l}{\frac {2D}{\sqrt {p(x)}}}\sin {\left[{\frac {1}{\hbar }}\int _{x}^{x_{2}}p(x')dx'+{\frac {\pi }{4}}\right]},&x<x_{2}\\{\frac {D}{\sqrt {p(x)}}}e^{-{\frac {1}{\hbar }}\int _{x_{2}}^{x}|p(x')|dx'},&x>{x_{2}}\end{array}}\right.$

Transmisio eta islapen koefizienteak

Transmisio eta islapen koefizienteak aztertzeko, kasu erraz bat aukeratuko dugu: potentzial langa. $V(x)=V_{0}$ da $0<x<a$ artean, eta $0$ hortik kanpo. Kasu honetan jauzia bertikala dela suposatuko dugu, eta beraz, potentzial langaren barruan WKB hurbilketa eginez lortutako emaitza baliagarria da:

Potentzial langa. Transmisio eta islapen indizeak aztertzeko erabiliko dugun kasu partikularra.

$\psi (x)\cong {\frac {\tilde {C}}{\sqrt {|p(x)|}}}e^{-{\frac {1}{\hbar }}\int |p(x')|dx'}+{\frac {\tilde {D}}{\sqrt {|p(x)|}}}e^{{\frac {1}{\hbar }}\int |p(x')|dx'}\qquad (0<x<a)$

Baina potentziala konstantetzat hartuko dugunez, $|p(x)|$ integrakizunetik atera daiteke. Ondoko parametroak definituz, $\alpha \equiv p(x)/\hbar ={\sqrt {2m[E-V_{0}]/\hbar ^{2}}}$ eta $k\equiv {\sqrt {2mE}}/\hbar$, eta integralaren ordez $\int dx'=x$ ipiniz, tarte horretan gure adierazpenek hartuko duten itxura:

$\psi (x)={\frac {\tilde {C}}{\sqrt {\alpha \hbar }}}e^{-\alpha x}+{\frac {\tilde {D}}{\sqrt {\alpha \hbar }}}e^{\alpha x}$

$\alpha$ eta $\hbar$ konstanteak direnez ${\tilde {C}}$ eta ${\tilde {D}}$-ren barruan sar daitezke: $\psi (x)=Ce^{-\alpha x}+De^{\alpha x}$.

Beraz, guztira daukaguna:

$\psi (x)=\left\{{\begin{array}{ll}&Ae^{ikx}+Be^{-ikx},\qquad &x<0\\&Ce^{-\alpha x}+De^{\alpha x},\qquad &0<x<a\\&Fe^{ikx},\qquad &a<x\end{array}}\right.$

Transmisio eta islapen koefizienteen adierazpenetara iristeko aurreko ekuazioetan mugalde baldintzak inposatu behar dira: $\psi (0)$, $\psi (a)$ eta bi hauen deribatuek jarraituak izan behar dute. Horrela lau ekuazio lortzen dira

Horma garai eta zabal bat zeharkatu duen uhin funtzioaren egitura kualitatiboa.

$\left\{{\begin{array}{l}A+B=C+D\\ik(A-B)=\alpha (D-C)\\Ce^{-a\alpha }+De^{a\alpha }=Fe^{ika}\\\alpha (De^{a\alpha }-Ce^{-a\alpha })=Fike^{ika}\end{array}}\right.$

Hemen soluzio zehatzak lor daitezke; hala ere, kalkuluak zailak dira. Baina horma oso handia edota oso garaia baldin bada (hau da, tunelatze-probabilitatea txikia da), esponentzialki hazten den gaiaren koefizienteak ($D$) txikia izan behar du (izatez, zero izango litzateke horma infinituki handia balitz). Horrela, zuzenean hurrengoa lortzen da

$Ce^{-a\alpha }\approx Fe^{ika}\Rightarrow |C^{2}|e^{-2a\alpha }=|F|^{2}$

Bestela, lehenengo bi ekuazioetatik, $D=0$ hartzen bada, $C$ $A$-ren funtzio gisa lor daiteke

$A+B=C\Rightarrow ik(2A-C)=-\alpha C\Rightarrow C={\frac {2ik}{ik-\alpha }}A$

Lehen bezala, moduluak kalkulatzerakoan ondokoa lortzen da

$|D|^{2}={\frac {4k^{2}}{k^{2}+\alpha ^{2}}}|A|^{2}$

Eta beraz, $T$ transimisio-indizea modu honetan idatz daiteke

$T={\frac {|F|^{2}}{|A|^{2}}}\approx {\frac {|C|^{2}}{|A|^{2}}}e^{-2ka}=4{\frac {k^{2}}{k^{2}+\alpha ^{2}}}e^{-2ka}$

Orain, $k$ eta $\alpha$-ren definizioak ordezkatuz

$T\approx {\frac {4E}{V_{0}}}e^{-2a{\sqrt {2m(V_{0}-E)}}/\hbar ^{2}}$

Transmisio-indizea (tunelatze probabilitatearen adierazletzat har dezakegu) esponentzialki txikitzen da potentzial-langaren zabalera handitzean. Hala ere hau ez da emaitza zehatza. Hurbilketarik erabiltzen ez bada, lortutako adierazpena:

$T={\frac {1}{1+{\frac {4E}{V_{0}}}\left(1-{\frac {E}{V_{0}}}\right)\sinh ^{2}{a\alpha }}}$

Modu berean, errefrakzio-indizea kalkula daiteke:

$R={\frac {{\frac {4E}{V_{0}}}\left(1-{\frac {E}{V_{0}}}\right)\sinh ^{2}{a\alpha }}{1+{\frac {4E}{V_{0}}}\left(1-{\frac {E}{V_{0}}}\right)\sinh ^{2}{a\alpha }}}$

Erraz konproba daiteke $R+T=1$ betetzen dela, behar den moduan.