Cauchyren formula integral

Matematikan, Cauchy-ren formula integrala, izena Augustin-Louis Cauchy-ren omenez duena, analisi konplexuaren funtsezko emaitzetako bat da. Kurba itxi sinple batean eta haren barnealdean definitutako funtzio holomorfo bat, kurban dituen balioek erabat determinatua dagoela adierazten du emaitza honek.^[1] Kurbaren barnealdeko puntuetan funtzioak duen balioa kurba itxi sinplearen gaineko integral baten bidez adierazten du teoremak. Gainera, Cauchy-ren formula integraletik ondorioztatzen dira: batetik, puntu batean holomorfoa den funtzio batek maila guztietako deribatuak dituela puntu horretan. Eta bestetik, puntu batean holomorfoa den funtzio baten deribatu guztien integral bidezko formula.^[2]

Hondar konplexuen adibide bat, $g(z)={\frac {z^{2}}{z^{2}+2z+2}}$ gainazalaren parte erreala. Puntu singularrak ikusgai, $|z|=2$ kurbaren barnealdean.

Cauchyren formulak erakusten du, analisi konplexuan, deribazioa eta integrazioa “baliokideak" direla. Deribazio konplexuak, integrazioak konplexuak bezala, "portaera ona" du konbergentzia uniformeari dagokinez. Ohartu emaitza hori ez dela betetzen analisi errealean.

Oso erabilia da Cauchy-ren formula integrala Cauchy-Goursat-en teoremarekin batera puntu singularrak dituzten funtzioen lerro integralak kalkulatzeko.

Teorema

Izan bitez, $C$ kurba itxi sinplea, positiboki orientatua, eta $C$ kurbaren puntuetan zein barnealdean holomorfoa den $f$ funtzioa. Orduan, $C$ kurbaren barnealdeko $z_{0}$ , $(z_{0}\notin C)$ , puntu bat hartuz gero,

$f(z_{0})={\frac {1}{2\pi i}}\int _{C}{\frac {f(z)dz}{z-z_{0}}}$ ,

beteko da. Formula horri deritzo Cauchy-ren formula integrala.^[1] Formula honetan argi dago eskuineko atala $C$ -ko puntuen balioen araberakoa dela ( $z_{0}$ puntua salbu) eta beraz, kurbaren barnealdeko edozein puntutan funtzio holomorfoak duen balioa kurbako balioek determinaturik dagoela.

Erreferentziak

↑ ^a ^b (Gaztelaniaz) Ward., Brown, James. (2010). Variable compleja y aplicaciones. MacGraw-Hill, 157 or. ISBN 978-84-481-4212-4. PMC 780237752. (Noiz kontsultatua: 2022-12-22).
↑ (Gaztelaniaz) Ward., Brown, James. (2010). Variable compleja y aplicaciones. MacGraw-Hill, 158-161 or. ISBN 978-84-481-4212-4. PMC 780237752. (Noiz kontsultatua: 2022-12-22).

Kanpo estekak

Datuak: Q913764

[:0-1] (Gaztelaniaz) Ward., Brown, James. (2010). Variable compleja y aplicaciones. MacGraw-Hill, 157 or. ISBN 978-84-481-4212-4. PMC 780237752. (Noiz kontsultatua: 2022-12-22).

[2] (Gaztelaniaz) Ward., Brown, James. (2010). Variable compleja y aplicaciones. MacGraw-Hill, 158-161 or. ISBN 978-84-481-4212-4. PMC 780237752. (Noiz kontsultatua: 2022-12-22).

[1]

[2]