Topologiaren arloan, X espazio topologiko baten azpiespazioa, X-ren A azpimultzo bat da X-tik heredaturiko topologia duena, azpiezpazio topologia ( edota topologia erlatiboa) deiturikoa.
azpiespazioan itxiak izango dira,espazioan itxia den eta A-ren arteko ebakidura gisa adieraz badaiteke, eta itxien multzoa denotatuko dugu.
multzoak azpiezpazio topologia badauka, orduan, berez espazio topologikoa da, eta -ren azpiezpazioa deritzo. Espazio topologikoen azpimultzoek azpiezpazio topologia dutela ulertzen da maiz, besterik esaten ez bada.
, -ren azpimultzo baterako azpiezpazio topologia modu honetan ere defini dezakegu: topologiarik txikiena zeinetarako partekotasun aplikazioa jarraitua den.
-ren gaineko beste topologia bada non jarraitua den, orduan, .
Ondorioz, jarraitua bada, orduan jarraitua da. Izan ere, ,
eta aurreko proposizioaren ondorioz, jarraitua da.
Propietate gehiago:
∈ baldin eta soilik baldin badago non den.
baldin eta soilik baldin badago non den.
-ren ireki-oinarria bada, orduan, -ren ireki-oinarria da.
baldin eta soilik baldin badago non den.
x-ren ingurune-oinarria bada espazio topologikoan, orduan x-ren ingurune-oinarria da -n.
-ren azpioinarria bada orduan -ren azpioinarria da.
bada, orduan, eta
bada, orduan, eta , eta berdintza ematen da denean.
Izan bitez espazio topologikoa, eta . -ren azpiezpazio moduan ikus daiteke, -ren gaineko topologia erlatiboa lortuz edota -ren azpiezpazio moduantopologia erlatiboa lortuz. Orduan,
Zenbaki arrunten, , azpiezpazio topologia, -ren azpiezpazio gisa, topologia diskretua da(zenbaki osoena, , ere bai) .
Zenbaki arrazionalek,, -ren azpiezpazio gisa, ez dute topologia diskretua,, {0} adibidez ez da multzo irekia -n. a eta b arrazionalak badira, orduan (a,b) eta [a,b] tarteak irekia eta itxia dira hurrenez hurren, baina a eta b irrazionalak badira, orduan x arrazional guztien multzoa non a < x < b itxia eta irekia da.
[0,1] multzoa -ren azpiezpazio gisa, itxia eta irekia da, aldiz, -ren azpiezpazio gisa bakarrik itxia da.
-ren azpiezpazio gisa, [0, 1] ∪ [2, 3] multzoa, bi multzo ireki disjuntuek osatzen dute (itxiak ere direnak), eta, ondorioz, azpiespazio ez-konexu bat da.
Izan bitez A = [0, 1) -ren azpiezpazioa . Orduan [0, 1/2) irekia da A -n, baina ez -n. Halaber, [½, 1) itxia da A-n, baina ez -n. A bai irekia eta itxia da bere buruaren azpimultzo gisa, baina ez -ren azpimultzo gisa.
Adibide gehiago ikasitako espazio topologikoetan
espazioan, non ,edozein , .
espazioan,non ,-ren partiketa ,orduan edozein ,
espazioan, non, , infinitua bada, orduan eta finitua bada, orduan .
espazioan, non , kontagarria ez bada, orduan eta kontagarria bada, orduan .
Propietate bat heredagarria da, espazio topologiko batek propietate bat betetzeak inplikatzen badu bere edozein azpiezpaziok ere propietate hori beteko duela. Azpiezpazio itxiek soilik propietatea betetzen badute orduan ahulkiheredagarri deritzo.